Dạng 2 phương trình bậc hai hai ẩn

Dạng 2: Phương trình bậc hai hai ẩn.. Đưa về phương trình ước số: Cách 3: Coi đó là phương trình bậc hai ẩn x, y là số đã biết.. Đặt ĐK để có x nguyên.. Ví dụ 2 Tìm các nghiẹm nguyên c

Dạng 2: Phương trình bậc hai hai ẩn

Dạng ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 (a, b, c, d, e, f là các số nguyên)

Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

5x – 3y = 2xy – 11 (1)

Hướng dẫn giải

Cách 1: Rút y theo x: y =

2

 

(Do x nguyên nên 2x + 3 khác 0)

Vì y nguyên => x + 5  2x + 3 => … 7  2x + 3 Lập bảng ta có: các cặp (x; y) là: (-1;6); (-1; -2);

(2; 3); (-5; 2) Thử lại các giá trị đó đều đúng

Cách 2 Đưa về phương trình ước số:

Cách 3: Coi đó là phương trình bậc hai ẩn x, y là số đã biết Đặt ĐK để có x

nguyên

Ví dụ 2 Tìm các nghiẹm nguyên của phương trình

x 2 + 2y2 +3xy –x – y + 3 =0 (1)

Hướng dẫn giải

Sử dụng cách thứ 3 như ví dụ trên

3 Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn

Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 (1)

Hướng dẫn giải

Phương trình (1) (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = y2

Đặt a = x2 + 3x (ĐK: a   2 (*)

Ta có: a2 – 1 = y2 GiảI phương trình này bằng cách đưa về phương trình ước số: => nghiệm phương trình (1)

Ví dụ 2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x3 - y3 = xy + 8 (1)

Hướng dẫn giải

Ta có:

xy x xyy 

Ta có x khác y vì nếu x = y => x2 + 8 = 0 Vô lý

Vì x; y nguyên => xy 1 =>

8

x xyy  xy

=> x2 + xy + y2  xy8 (2)

Nếu xy + 8 < 0=> (2) (x + y)2  -8 Vô nghiệm

N ếu xy +8 > 0 => (2) x2 + y2  8

=> x2 , y2 0;1; 4

Từ đó tìm được Hai nghiệm nguyên của (1) là: (0; - 2); (2; 0)

4 Dạng 4: Phương trình dạng phân thức

Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x y xy  (1)

Hướng dẫn giải

Đặt điều kiên sau đó đưa về phương trình ước số Tìm được hai nghiệm (43; 7); (7; 43)

Ví dụ 2 Tìm x nguyên sao cho





17 9

x

x là bình phương của một phân số

Hướng dẫn giải

Giả sử





17

9

x

x =

 

 

 

2

a

b Với a, b nguyên, b khác 0 và (a, b) = 1

Nếu a = 0 => x = 17

Nếu a khác 0 Ta có (a2, b2) = 1 => x – 17 = a2.k; x – 9 = b2.k (k nguyên)

Từ đó ta có: 8 = (a + b).(b – a).k

Lập bảng tìm được nghiệm của phương trình

x =17; 18; 8

5 Dạng 5: Phương trình dạng mũ

Ví dụ Tìm các số tự nhiên x, y sao cho:

2x + 3 = y2 (1)

Hướng dẫn giải

3 Nếu x = 0 => y2 = 4 => y = 2 hoặc y = -2

4 Nếu x = 1 => y2 = 5 Vô nghiệm nguyên

5 Nếu x  2 => 2x 4 Do đó vế tráI chia cho 4 dư 3 mà y lẻ (Do 1) =>

y2 chia 4 dư 1

=> Vô lý

6 Vậy nghiệm nguyên của (1) là:

(0; 2); (0; -2)

II BÀI TẬP:

1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

a) 2x + 3y = 11

b) 3x + 5y = 10

2 Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: 4x + 5y = 65

3 Phân tích số 100 thành hai số tự nhiên một số chia hết cho 7, một số chia hết cho 11

4 Tìm số nguyên dương bé nhất chia cho 100 dư 1, chia cho 98 dư 11

5 Có 37 cây táo có số quả bằng nhau, 17 quả hỏng, số còn lại chia đều cho 79 người Hỏi mỗi cây có ít nhất mấy quả?