5 2 phương trình bậc hai với hệ số thực

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC A.. Mỗi số phức z thỏa mãn z2 w được gọi là một căn bậc hai của w..  Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Ch

Bài 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z2 w được gọi là một căn bậc hai của w

2 Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai 2  

0 , , ; 0

ax bx c a b c a Xét 2

4

   , ta có

  0 :phương trình có nghiệm thực

2

b x a

 

  0: phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: 1,2

2

b x

a

  

  0: phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức: 1,2 | |

2

b i x

a

  

 Chú ý

 Mọi phương trình bậc n : 1

n n

A z A z   A z A  luôn có n nghiệm phức (không

nhất thiết phân biệt)

 Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai

2

ax bx c a có hai nghiệm phân biệt x x (thực hoặc phức) Ta có hệ thức Vi–ét 1, 2

1 2

1 2

b

a c

a



   







1 Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức

 Trường hợp w là số thực: Nếu a là một số thực

+ a 0,a có các căn bậc hai là i | |a

+ a 0, a có đúng một căn bậc hai là 0

+ a 0, a có hai căn bậc hai là  a

Ví dụ 1: Ta có hai căn bậc hai của – 1 là i và i Hai căn bậc hai của 2

a

 (a là số thực khác 0) là

ai và ai

 Trường hợp wabi a b , ,b0

Gọi zxyi x y ,   là một căn bậc hai của w khi và chỉ khi z2 w, tức là

2

2

x y a

x yi a bi x y xyi a bi

xy b

  



 Mỗi cặp số thực x y;  nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai xyi của số phức wa bi

Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của w  5 12i

Gọi zxyi x y ,   là một căn bậc hai của số phức w  5 12i

Ta có  

2

2 2

2

5

3

x

x

y

 







 



 Vậy w  5 12i có hai căn bậc hai là 2 3i và  2 3i

2 Dạng 2: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực và các dạng toán liên quan

 Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực

Ví dụ 3: Giải phương trình bậc hai sau: z2   z 1 0

Ta có 2

     

Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là 1,2 1 3

2

i

 Giải phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực

Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

– Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình

+ Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x 1

+ Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm 1

x  

+ Định lý Bơdu:

Phần dư trong phép chia đa thức f x cho x a bằng giá trị của đa thức f x  tại xa

Tức là f x   xa g x   f a 

Hệ quả: Nếu f a   0 thì f x   xa

Nếu f x   xathì f a   0 hay f x   0 có một nghiệm xa

– Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở

vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau:

n n

n n

f x a x a x  a x a



     chia cho x a có thương là

g x bx  b x   b xb dư r

n

a b n1 a n b n2 ab n1a n2 b n3 ab n2a n3 b1 ab2a2 b0 ab1a1 rab0b0

– Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:

– Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau

– Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có)

– Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới

– Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm

1 Chọn chế độ tính toán với số phức: MODE 2 màn hình hiện CMPLX

Nhập số thuần ảo i: Phím ENG

2 Tìm các căn bậc hai của một số phức

Ví dụ 5: Khai căn bậc hai số phức z  3 4i có kết quả:

Cách 1:

– Mode 2 (CMPLX)

– Nhập hàm X 2

– Sử dụng phím CALC, nhập từng giá trị vào, giá trị nào ra kết quả bằng z thì ta nhận

Cách 2:

– Mode 1 (COMP)

– Nhấn Shift + (Pol), ta nhập Pol  3; 4

– Nhấn Shift – (Rec), ta nhậpRec X Y, : 2, ta thu được kết quảX 1;Y 2

– Vậy 2 số phức cần tìm là 1 2i và  1 2i

Câu 1 Trong , phương trình 2x2  x 1 0 có nghiệm là

x   i x    i

Câu 2 Khai căn bậc hai số phức z  3 4i có kết quả:

A z1 1 2 ;i z2   1 2i B z1  1 2 ;i z2  1 2i

C z1 1 2 ;i z2   1 2i D z1  1 2 ;i z2   1 2i

Câu 3 Trong , nghiệm của phương trình 3

8 0

 

A z12;z2  1 3 ;i z3  1 3i B z1 2;z2   1 3 ;i z3  1 3i

C z1 2;z2   1 3 ;i z3   1 3i D z1 2;z2  1 3 ;i z3 1 3i

Câu 4 Trong , phương trình z   z 2 4i có nghiệm là

A z  3 4i B z  2 4i C z  4 4i D z  5 4i

Câu 5 Hai giá trị x1abi x; 2 a bi là hai nghiệm của phương trình:

A x2 2axa2b2 0 B x22axa2b2 0

C x2 2axa2b2 0 D x22axa2b2 0

Câu 6 [NC] Trong , phương trình 2

3 4 0

z  iz  có nghiệm là

A 3

4

















 



z i

1 3

 





 



2 3 1

 





 



Câu 7 Trong , phương trình z2   có nghiệm là z 1 0

A 3 5

3 5

 



  



2 3 2

2 3 2













i z

i z

C

1 5 2

1 5 2













i z

i z

D

1 3 2

1 3 2













i z

i z

Câu 8 Tính căn bậc hai của số phức z 8 6i ra kết quả:

A 3

3

 



  



3

 



   



3

  



  



3

 



   



Câu 9 Trong , nghiệm của phương trình z2 50 là

5

z z

 



 



4

4

5 5

 



 



C 5i D  5i

Câu 10 Trong , nghiệm của phương trình z2   5 12i là

A 2 3

2 3

 



   



B z23i C z2 3 i D 2 3

2 3

 



   



Câu 11 Trong , nghiệm của phương trình z24z 5 0 là

A z 2 i B z  2 i C 2

2

  



   



D z  2 i

Câu 12 Trong , tập nghiệm của phương trình z22z 1 2i0 là

A S 2i;i B Si2;i C S 2i; 2i D S 2i;i

Câu 13 Cho z 3 4i Tìm căn bậc hai của z

A   i2 và 2  i B 2  i và 2  i

C 2  i và   i2 D 3 i2 và  3 i2

Câu 14 [NC] Cho z 1 i Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của z:

A 42 cos sin



i và 4 2 cos7 sin7



B 2 cos sin



C 2 cos sin



D 4

2 cos sin



2 cos sin



Câu 15 [NC] Trong , phương trình  2  2 

2 1 0

z i z iz có nghiệm là

C 31 2 

2  i ; 3 2 

2   i ; 4i B 1 i ;  1 i; 2i

A 2 1 

2

 i

, 2 1 

2   i , i D 1 2i ; 15i ; 3i

Câu 16 Trong , phương trình z46z2250 có nghiệm là

A 8; 5 i B   i 3; 4 C 5; 2 i D 2i ; 2i

Câu 17 Trong , phương trình z12i

z có nghiệm là

A 1 3i B 5 2i C 1 2i D 2 5i

Câu 18 Trong , phương trình z3 1 0 có nghiệm là

A 1; 2 3

2

 i

B 1; 1 3

2

 i

C 1; 1 5

4

 i

D 1; 5 3

4

 i

Câu 19 Trong , phương trình 4

1 0

 

z có nghiệm là

A   i 1; 2 B 2; 2 i C   i 3; 4 D   i 1;

Câu 20 Trong , căn bậc hai của 121 là

A 11i B 11i C 11 D 11i và 11i

Câu 21 Phương trình 2

8z 4z  có nghiệm là 1 0

A 1 1 1 ; 2 5 1

z   i z   i B 1 1 1 ; 2 1 3

z   i z   i

C 1 1 1 ; 2 1 1

z   i z   i D 1 2 1 ; 2 1 1

z   i z   i

Câu 22 Biết z1; z là hai nghiệm của phương trình 2 2

2z  3z 3 0 Khi đó giá trị của 2 2

z z là

A 9

9 4



Câu 23 Phương trình z2 az b  có một nghiệm phức là 0 z 1 2i Tổng 2 số a và b bằng:

Câu 24 Gọi z1; z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z2 4z  Khi đó phần thực của 5 0 2 2

z z là

Câu 25 Gọi z1; z là hai nghiệm phức của phương trình2 z22z  Khi đó 4 0 2 2

| | | |

A z  z có giá trị là

A 7 B – 8 C 4 D 8

Câu 26 Phương trình 3

8

z  có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm?

Câu 27 Biết z z là hai nghiệm của phương trình 1, 2 2z2 3z 3 0 Khi đó giá trị của z12z22 là

9 4



Câu 28 Phương trình sau có mấy nghiệm thực: 2

2 2 0

z  z 

Câu 29 Tìm các căn bậc hai của 9

Câu 30 Trong , phương trình z4 4 0 có nghiệm là

A 1 4 ; i  1 4 i  B 1 2 i ;  1 2 i 

C 1 3 ; i  1 3 i  D ±1 i ;  1 i 

Câu 31 Giải phương trình z22z  trên tập số phức ta được nghiệm là 7 0

A z 1 2 2i B z 1 6i

C z 1 2i D z 1 7i

Câu 32 Căn bậc hai của số phức 4 6 5i là

A 3 5i B 3 5i C 3 5i D 2

Câu 33 Gọi z là căn bậc hai có phần ảo âm của 33 56i Phần thực của z là

Câu 34 Tập nghiệm trong  của phương trình z3z2    là z 1 0

A i;i;1; 1  B i i; ;1 C  i; 1 D i i; ; 1 

Câu 35 Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm   4 3 ;i    2 i là

Câu 36 Có bao nhiêu số phức thỏa mãn điều kiện z2 | |z 2 z?

2i z az b 0 a b,   có hai nghiệm là 3 i và 1 2i Khi đó a ?

A  9 2i B 15 5i C 92i D 15 5i

Câu 38 Cho số phức z thỏa mãn z26z13 Tính 0 z 6

z i





Câu 39 Gọi z z là các nghiệm phức của phương trình 1, 2 2    

z   i z i  Khi đó

1 2 3 1 2

wz z  z z là số phức có môđun là

Câu 40 Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z: 2 2

4z 8 | z |  3 0 là

Câu 41 Tìm số phức z để z z z2

A z0;z  1 i B z0;z  1 i

C z0;z 1 i z;   1 i D z 1 i z;   1 i

Câu 42 Với mọi số ảo z, số z 2 | z |2 là

A Số thực âm B Số 0

C Số thực dương D Số ảo khác 0

Câu 43 Trong trường số phức phương trình 3

1 0

z   có mấy nghiệm?

Câu 44 Giá trị của các số thực b, c để phương trình z2bz  nhận số phức c 0 z 1 i làm một

nghiệm là

A 2

2

b c







 



2

b c

 





 



2

b c

 









2

b c











Câu 45 Trên tập hợp số phức, phương trình z27z15 có hai nghiệm 0 z z Giá trị biểu thức 1, 2

1 2 1 2

z z z z là

Câu 46 [NC] Tìm số nguyên x , y sao cho số phức z x yi thỏa mãn z3 18 26 i

1

x y







 



1

x y







 



1

x y











1

x y

 





 



Câu 47 Trên tập số phức, cho phương trình sau:  4 2

zi  z  Có bao nhiêu nhận xét đúng trong

số các nhận xét sau?

1 Phương trình vô nghiệm trên trường số thực 

2 Phương trình vô nghiệm trên trường số phức 

3 Phương trình không có nghiệm thuộc tập số thực

4 Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức

5 Phương trình chỉ có hai nghiệm là số phức

6 Phương trình có hai nghiệm là số thực

Câu 48 Phương trình 6 3

9 8 0

z  z   có bao nhiêu nghiệm trên tập số phức?

Câu 49 Giả sử z z là hai nghiệm của phương trình 1, 2 2

2 5 0

z  z   và A, B là các điểm biểu diễn của

1, 2

z z Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là

A I 1;1 B I  1; 0 C I0;1 D I1; 0

Câu 50 Cho phương trình 2

6 0

z mz i Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5

thì m có dạng m a bi a b,   Giá trị  a2b là

Câu 51 Gọi z z z z là các nghiệm phức của phương trình 1, 2, 2, 4

4 1 1 2

z

z i







  Giá trị của

 2  2  2  2 

A 17

17

9

17 9

i

Câu 52 Trong tập số phức, giá trị của m để phương trình bậc hai z2mz i  có tổng bình phương 0

hai nghiệm bằng 4i là

A 1 i  B 1 i  C 1 i  D  1 i

Câu 53 Cho phương trình 2

2 1 0

z mz m   trong đó m là tham số phức Giá trị của m để phương

trình có hai nghiệm z z thỏa mãn 1, 2 z12z22  10 là

A m 2 2 2i B m 2 2 2i C m 2 2 2i D m  2 2 2i

Câu 54 Gọi z z là hai nghiệm của phương trình 1, 2 z22z 8 0, trong đó z có phần ảo dương Giá 1

trị của số phức w2z1z2z1 là

A 12 6i B 10 C 8 D 12 6i

Câu 55 Tổng bình phương các nghiệm của phương trình z  4 1 0 trên tập số phức là bao nhiêu?

Câu 56 Gọi z z là hai nghiệm của phương trình 1, 2 z22z  Trong đó 6 0 z có phần ảo âm Giá trị 1

biểu thức M |z1|| 3z1z2| là

A 62 21. B 62 21 C 64 21 D 64 21

Câu 57 Phương trình 4 2

2 24 72 0

x  x  x  trên tập số phức có các nghiệm là

A 2i 2hoặc 2 2  i 2 B 2i 2hoặc 1 2 i 2

C 1 2 i 2 hoặc 2 2  i 2 D  1 2i 2 hoặc 2 2  i 2

Câu 58 Gọi z z là các nghiệm phức của phương trình 1, 2 2

3 7 0

z  z  Khi đó 4 4

Az z có giá trị là

E ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I – ĐÁP ÁN 1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A A B A C B D B B A C D C A C D C B D D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

C D C B D A D A A D B C B D B A A B C C

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58

C B B C B C D D D D B A A C D B A A

II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 Chọn A

4 1 4.2.1 7 7 0

        

Nên phương trình có hai nghiệm phức là 1,2 1 7

4

i

Câu 2 Chọn A

Giả sử wxyi x y ,   là một căn bậc hai của số phức z  3 4i

2

2 2

1

3

2

x

x

y

 







 





Do đó z có hai căn bậc hai là z1  1 2 ;i z2   1 2i

Câu 3 Chọn B

2 2

2 2

z z









      

      

       

Câu 4 Chọn A

,

z a bi a b  z  a b

Thay vào phương trình: 2 2

2 4

    

4 4

   







a

a b a

b b

Câu 5 Chọn c

Áp dụng định lý đảo Viet : 1 2 2 2

1 2

2

  







S x x a

P x x a b

Do đó x x là hai nghiệm của phương trình: 1, 2 2 2 2 2

x SxP x  axa b 

Câu 6 Chọn B

 2 2

4 3 4.1.4 25 0

Nên phương trình có hai nghiệm phức là 1 3 5 ; 2 3 5 4

z    i z     i

Câu 7 Chọn D

 2 2

4 1 4.1.1 3 0

        

Nên phương trình có hai nghiệm phức là 1 1 3 ; 2 1 3

Câu 8 Chọn B

Giả sử wxyi x y ,   là một căn bậc hai của số phứcz 8 6i

2

2 2

3

8

1

x

x

y

 







 





Do đó z có hai căn bậc hai là z1  3 i z; 2   3 i

Câu 9 Chọn B

Câu 10 Chọn A

Giả sử zxyi x y ,   là một nghiệm của phương trình

2

2

5

6

3

x

x

y

 



 





Do đó phương trình có hai nghiệm là z 2 3 ;i z  2 3i

Câu 11 Chọn C

 2 2

z  z   z       z i z   i

Câu 12 Chọn D

1 1

    



                  



Câu 13 Chọn C

Giả sử wxyi x y ,   là một căn bậc hai của số phức z 3 4i

2

2 2

2

3

1

x

x

y

 







 





Do đó z có hai căn bậc hai là z1 2 i z; 2   2 i

Câu 14 Chọn A

       

Câu 15 Chọn A

2

2

1

0

i

z i

z i

 



 

Câu 16 Chọn D

2

2

  



  



Câu 17 Chọn C

2

0

0 1

2

2 1

z

z







  

          

  

Câu 18 Chọn B

2

1

1 0

z

z z

 



  



hoặc 1 3

2

z 

Câu 19 Chọn D

2

1 0

z



     



Câu 20 Chọn B

z  z i Do đó z có hai căn bậc hai là z11 ;i z 11i

Câu 21 Chọn A

2

1,2

2 2 1

8 4 4

           

Câu 22 Chọn D

Theo Viet, ta có:

1 2

1 2

3 2 3

2

b

S z z

a c

P z z

a



     







       

Câu 23 Chọn C

Vì z 1 2i là một nghiệm của phương trình z2az b  nên ta có: 0

1 2 i a 1 2 i  b 0a b 2ai 3 4ia b  3

Câu 24 Chọn B

Theo Viet, ta có:

1 2

1 2

4

b

a c

a



    







1 2 2 16 2.5 6

Câu 25 Chọn D

 2

z  z   z   z   i A z  z 

Câu 26 Chọn A

1 3

z





  



Do đó phương trình chỉ có một nghiệm phức có phần ảo âm

Câu 27 Chọn D

Áp dụng định lý Viet, ta có:

1 2

1 2

3 2 3 2

b

S z z

a c

P z z

a



     





   



       

Câu 28 Chọn A

2

1 2 1 0

 

        nên phương trình vô nghiệm trên tập số thực

Câu 29 Chọn A

Ta có  9 9.i2 nên 9 có các căn bậc hai là 3i và 3i

Câu 30 Chọn D

2 4

2

1 2

4 0

1 2

  



 

  

  

z

Câu 31 Chọn B

 2 2

Câu 32 Chọn C

Giả sử w là một căn bậc hai của 4 6 5i Ta có:

Câu 33 Chọn B

Ta có:  2

33 56 i 7 4 i z 7 4i Do đó phần thực của z là 7

Câu 34 Chọn D

 



           



Câu 35 Chọn B

Áp dụng định lý Viet, ta có: 2 4

11 2

 

   





   



Do đó ,  là hai nghiệm của phương trình: 2 2    

z SzP z   i z  i 

Câu 36 Chọn A

Gọi za bi a b  ,   là số phức thỏa mãn điều kiện trên Ta có:

2

2

0

2 0

1

2

1 2

2

z z z a bi a b a bi a b bi abi a b b ab i

a b

a b

b ab

a

b

 







    

  



 Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán