Phương trình bậc hai 2

Phơng trình bậc hai 1.

Phơng trình bậc hai

1 Định nghĩa: Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng ax2bx c 0 (a ạ 0)

2 Công thức nghiệm: Ta có  b24ac

- Nếu D < 0 thì phơng trình vô nghiệm

- Nếu D = 0 thì phơng trình có nghiệm kép 1,2

b x

2a

 

- Nếu D > 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt 1

b x

2a

  



;

2

b

x

2a

  



3 Hệ thức Viet: Nếu phơng trình có nghiệm x1; x2 thì S = 1 2

b

x x

a



 

; P =

1 2

c

x x

a



Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình ax2bx c 0 (a ạ 0) Ta

có thể sử dụng định lí Viet để tính các biểu thức của x1, x2 theo a, b, c

2 2

2 2

a



3 3

3 3

3abc b

a



S3 = 1 2  1 22  1 22 1 2 2

b 4ac

a



4 Ứng dụng hệ thức Viet

a) Nhẩm nghiệm: Cho phơng trình ax2bx c 0 (a ạ 0)

- Nếu a + b + c = 0 ị x1 = 1; 2

c x a



- Nếu a - b + c = 0 ị x1 = -1; 2

c x a

 

b) Tìm hai số khi biết tổng và tích: Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P thì

x, y là hai nghiệm của phơng trình bậc hai X2 - SX + P = 0

c) Phân tích thành nhân tử: Nếu phơng trình ax2bx c 0 (a ạ 0) có hai nghiệm x1; x2 thì 2   

ax  bx c   a x x  x x 

d) Xác định dấu các nghiệm số: Cho phơng trình ax2bx c 0 (a ạ 0)

- Nếu

c 0

a thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu

- Nếu

0 c 0 a

 











thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu

- Nếu

0 c 0 a b 0 a



 











 





thì phơng trình có hai nghiệm dơng Nếu

0 c 0 a b 0 a



 











 





thì ph-ơng trình có hai nghiệm âm

5 Các dạng toán cơ bản:

Dạng 1: Tìm điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm

Phơng pháp: Điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm là

2

   ³ 0 hoặc

c 0

a 

Trong trờng hợp cần chứng minh có ít nhất một trong hai phơng trình

2

ax  bx c   0; a' x2b' x c ' 0 có nghiệm ngời ta thờng làm theo một trong hai cách sau:

Cách 1: Chứng minh     1 2 0 Cách 2:    1 2 0

Dạng 2: Tìm hai số khi biết tổng và tích

Phơng pháp: Bớc 1: Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P thì x, y là

hai nghiệm của phơng trình bậc hai X2 - SX + P = 0 Bớc 2: Giải phơng trình X2 - SX + P = 0

Bớc 3: Kết luận Dạng 3: Biểu thức đối xứng hai nghiệm

Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

Bớc 2: Tính S = 1 2

b

x x

a



 

; P = 1 2

c

x x

a

 , theo m

Bớc 3: Biểu diễn hệ thức đề bài theo S, P với chú ý rằng

1 2

x  x  S  2P;

1 2

; 1 2

x x P;

2

1 2



Dạng 4: Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

Bớc 2: Tính S = 1 2

b

x x

a



 

; P = 1 2

c

x x

a

 , theo m

Bớc 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ

thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số m Dạng 5: Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ thức cho trớc

Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

Bớc 2: Tính S = 1 2

b

x x

a



 

; P = 1 2

c

x x

a

 , theo m Bớc 3: Giải phơng trình với ẩn số m, so sánh điều kiện Bớc 4: Kết luận