PHẦN 3 số PHỨC

Tính toán với số phức Câu 1.. Tính mô đun của z.. Tìm môđun của số phức z... Tính môđun của số phức z.. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất... Cho z là số phức... Tìm số nghịch đảo của số p

PHẦN 3 SỐ PHỨC

3.1 Tính toán với số phức

Câu 1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (1 2 )  i z  (2 3 )i z   2 2i Tính mô đun của z Gọi z=x+yix y, R Phương trình đã cho trở thành:

1 2  ixyi  2 3  ixyi   2 2i

 x 2y  2xy i  2x 3y    3x 2y i    2 2i

 3x 5y   x y i    2 2i

z   

Câu 2 Tìm môđun của số phức z thoả mãn điều kiện z  (2 i z)   3 5i

Giả sử ,z=x+yi(x,yR ).Ta có

(2 ) 3 5

z i z  i x+yi +(2+i)(x-yi)=3+5i

3x+y+(x-y)i=3+5i

 3 3 2



     

Vậy z=2-3i

Do đó môđun của số phức z lần lượt bằng 13

Câu 3 Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa : z  1 5i   z 3 i

Giả sử : z x yi, x y,  

từ gt ,ta có : x  1 y 5i   x 3 y 1i ;

              x 4 3y

Khi đó z  x2 y2  10y2  24y 16

znhỏ nhất bằng 8

5 khi và chỉ khi: 2 6

5 5

z  i

Câu 4 Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i z   1 9i Tìm môđun của số phức z

Gọi z a bi a b, ,  ; Khi đó z 2 3i z   1 9i

   a bi 2 3i a bi    1 9i   a 3b3a 3b  1 9i

3 1

3 3 9

  



   

2 1

a b





  

2 ( 1) 5

z    

Câu 5 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: ( 2 i)( 1 i) z 4  2i Tính môđun của z Đặt zabi, (a b,  ), khi đó zabi Theo bài ra ta có

i i

b a

i bi

a i

i)( 1 ) 4 2 3 ( 1 ) 4 2

2































3

1 2

1

4

3

b

a b

a

Do đó z 1  3i, suy ra z  12 32  10

Câu 6 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 i z   5 i Tính mô đun của số phức

2

1

w  iz z

Đặt z a bi a b ,   Từ giả thiết ta có: 3 5 1



     

Do đó z  1 2i

w  iz z  i  i   i   i Vậy w 3

Câu 7 Tìm môđun của số phức z, biết

2

2 3 1

z z z

z

 



 Tìm môđun của số phức z, biết 2 2 3

1

z z z

z



 + Điều kiện z  1

+ Gọi z a bi a b,  ,

ta có :

2

2 3 1

z z

z

z



2b a 3 2ab 3b i 0

2

ab b

   

 

 



3 0

a b

 



  

 hay

3 2 3 2

a

b

  





  



Với a  3,b 0, ta có 2 2

3

z  a b 

3

4 4

z  a b    Vậy môđun của số phức z là 3 hay 3

Câu 8 Tìm môđun của số phức z thỏa mãn số phức z 6 2i

z 2 4i

 

  là số thuần ảo và đồng thời z 6 i    5

Đặt z=a+bi : Đk : z   2 4i

Theo đề bài :

2 2

(L)V

Câu 9 Cho số phức z thỏa mãn (1 i z) z 2 i Tính môđun của số phức z

Đặt z  a bi a b,( ,  ); khi đó z  a bi Do đó

(*) (1 i a)( bi) (a bi 2)i (a b) (a b i) b (a 2)i

z

Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: 3 1 3 1

z  i  i

w = 1 + I + z

z 3 i 3 i

   

1

3 i 35 12 2

1 37 37

3 i 2





72 49

37 37

    

72 49 7585 w

   

      

   

Câu 11 Trong các số phức thỏa mãn 2 3 3

2

z  i  Tìm số phức z có môđun nhỏ

nhất

2

4

x  y 

* Vẽ hình |z|min z ĐS: 26 3 13 78 9 13

z    i

Câu 12 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 11 1

2

z

z z

  

4 2

z i

z i



 11

1 2

z

z

z

  

2

4 13 0

z  z  ,     ' 9 9i2 2 3

2 3

 



  



 z  2 3i  4

2

z i

z i



 =

2

1 2

i i

 



 z  2 3i  4

2

z i

z i



 =

2 7 53

2 5 29

i i

 



Câu 13 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz + 2z  1 i Tính mô đun số phức

w = iz+ 4

Gọi z a bi a b, ( ,  )

ta có:

(2a b) (a 2 )b i 1 i

1 1

a b

a b

 



Câu 14 Gọi x x1, 2 là hai nghiệm trên tập số phức của phương trình 2

2 5 0

x  x  Tính x1  x2

2

4 4i



    ,

x    i,x2   1 2i, x1  x2  2 5

Câu 15 Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2

4 4

1 2

A z  z

    Phương trình đã cho có hai nghiệm phức z1  2 5 ,i z2  2 5i

Khi đó z1  z2  29  A 1682

Câu 16 Cho z là số phức Tìm m để phương trình 2

phân biệt z z1; 2 sao cho |z1|  |z2| 2 

Theo bài ra :

Kết hợp với điều kiện (*) ta được thỏa mãn bài toán

Câu 17 Gọi z z1; 2 là 2 nghiệm phức của phương trình sau:

z2    z 1 0,( z  C ) Tính A= z1  z2

1 2

;

z   i z   i

3

Câu 18 Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2z2 4z  11 0

Tính giá trị của biểu thức A =

2

1 2

z z

z z



Giải pt đã cho ta được các nghiệm: 1 1 3 2 , 2 1 3 2

Suy ra

2 2

Đo đó

2

1 2

11

4

z z

z z



 



Câu 19 Tính mô đun của số phức z biết rằng: 2z 1 1   i  z 1 1   i 2 2i

Gọi z= a+ bi (a, bR)

Ta có

1

3

a

a b

b

      

               

             

 



 

   



3

z  a b 

3.2 Tìm số phức Z

Câu 1 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 i z)    1 3i 0 Tìm phần ảo của số phức

1

w  zi z

(1 i z)    1 3i 0  1 3 2

1

i

i



=> w = 2 – i Số phức w có phần ảo bằng - 1

Câu 2 Tìm phần thực và phần ảo của số phức w  (z 4 )i i biết z thỏa mãn điều kiện

1 i z  2 i z   1 4 i

Giả sử z x yi x y,  , suy ra z x yi.

Thế vào gt ta tìm được x= 3, y = 4

Vậy z = 3 +4i Do đó w = 3i

w có phần thực 0; phần ảo 3

Câu 3 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn điều kiện

z  (2 i z)   3 5i

Giả sử ,z=x+yi(x,yR ).Ta có

(2 ) 3 5

z i z  i x+yi +(2+i)(x-yi)=3+5i

3x+y+(x-y)i=3+5i

 3 3 2



     

Vậy phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt bằng 2,-3

Câu 4 Tìm phần thực và phần ảo của số phức: 3 4 (3 5 )(6 )

3 2

i

i





Ta có

2

2 2

2

2 2

(3 4 )(3 2 )

18 3 30 5

3 2

9 6 12 8

3 2

i i

i i i

i i







Vậy phần thực: 298

13

 , phần ảo: 333

13

Câu 5 Cho số phức z 1 3i Tìm số nghịch đảo của số phức: z2 z z.

Với z 1 3i, ta có

 z2 z z (1 3 )i 2 (1 3 )(1i 3 )i 1 6i 9i2 1 2 9i2 2 6i

 1 1 2 6 22 6 2 2 6 1 3

2 6 (2 6 )(2 6 ) 2 36 40 10 10

i

Câu 6 Cho số phức: z  3 2i.Xác định phần thực và phần ảo của số phức 2

z  z Cho số phức: z  3 2i.Xác định phần thực và phần ảo của số phức 2

z z

2

3 2 3 2 8 14

z   z i   i   i

Phần thực a=8; phần ảo b=-14

Câu 7 Tìm phần ảo của z biết:   3 

z z  i i

z z i i

Giả sử z=a+bi

(1)  a bi 3a3bi 8 12i6i i 2 i 2 11 2 i  i

2

4a 2bi 4 2i 22i 11i 20i 15

4

    Vậy phần ảo của z bằng -10

Câu 8 Tìm số phức liên hợp của

1 (1 )(3 2 )

3

i



(3 )(3 ) 10

Suy ra số phức liên hợp của z là: 53 9

10 10

Câu 9 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết: z 2z  3 2i

Gọi z a bi a b , ( R)  z  a bi

Ta có : 3a + bi = 3-2i

Suy ra : a=1 và b = -2

Vậy phần thực là 1 và phần ảo là -2

Câu 10 Cho số phức z  3 2i Tìm phần thực và phần ảo của số phức w iz z

3 2

z  i

3 2  3 2 

1

i

Phần thực là -1, phần ảo là 1

Câu 11 Tìm phần thực, phần ảo của các số phức z, biết:











 13

10

z

z z

Tìm phần thực, phần ảo của các số phức z, biết:











 13

10

z

z z

Giả sử z = x + yi =>z= x– yi (x, yIR)

Theo đề bài ta có :















13

10 2

2 2

y x

x













 12

5

y

x

Câu 12 Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 3 5   

1 4

i

i



 Tìm phần thực và phần ảo của số phúc sau:

3 5

1 4

3 5 1 4

15 2 5 6

1 16

18

i

i

i i

i i







     

 

Kết luận phần thực bằng -18, phần ảo bằng 0

Câu 13 Cho số phức z 1 2i Tìm phần thực và phần ảo của số phức

2

w z 2iz

Ta có z   1 2i, khi đó w  (1 2 )  i 2  2 (1 2 ) 1 4i  i   i  4i2  2i 4i2

7 2i

Do đó, phần thực của số phức w là: -7 và phần ảo của số phức w là: -2

Câu 14 Cho số phức z thỏa mãn 1 i z   3 i z   2 6i Tìm phần thực, phần ảo của

số phức w 2z 1

Giả sử z a bi a b ,    z a bi, khi đó:

1 i z   3 i z     2 6i 1 ia bi    3 ia bi    2 6i 4a 2b 2bi  2 6i

2 3

Do đó w 2z  1 2 2 3  i   1 5 6i

Vậy số phức w có phần thực là 5, phần ảo là 6

3.3 Giải phương trình nghiệm phức

Câu 1 Giải phương trình sau đây trên tập số phức: 2

2z - 2z + 5 = 0

2

2z 2z 5 0 (*)

 Ta có, ( 2) 2 4.2.5 36 (6 )i 2

 Vậy, phương trình (*) có 2 nghiệm phức phân biệt:

; z

Câu 2 Giải phương trình 2

3z  6z 15  0 trên tập hợp số thức

+ Tính đúng    ' 36  0

+ Nêu được hai nghiệm 1 3 6 1 2

3

i

z     i

, 2 3 6 1 2

3

i

z     i

Câu 3 Giải phương trình sau trên tập số phức 2

1 0

z   z

1 4 3 3i

      căn bậc hai của  là i 3

i

Câu 4 Giải phương trình nghiệm phức: 1,( )

4

C z i

z

i z



















 Đk: khi đó, pt đã cho tương đương

Vậy pt có tập nghiệm z={-1;0;1}

Câu 5 Giải phương trình nghiệm phức: z2  i 0,(zC)

i 1.(2 )i 1(1 )i 2











Câu 6 Giải các phương trình sau trên tập số phức 2

2 5 0

x  x 

2

4 20 16 16i

     

Căn bậc hai của  là 4i

Phương trình có nghiệm: x1   1 2 ,i x2    1 2i

Câu 7 Giải các phương trình sau trên tập số phức 4 2

2 3 0

z  z  

Đặt t = z2

Phương trình trở thành:

2 2

2

1

2 3 0

z

 



            

Vậy phương trình có 4 nghiệm: -1, 1, i 3, i 3

Câu 8 Giải phương trình sau đây trên tập số phức: z2 2z 5 0

- Ta có, 22 4.( 1).( 5) 16 (4 )i 2

 Vậy, pt (*) có 2 nghiệm phức phân biệt 1 2 4 1 2

2

i

2

i

Câu 9 Giải phương trình trong tập số phức: z2  3 z  7  0

 2

i 19

19 







Phương trình đã cho có hai nghiệm phức:

2

19 2

3 2

i 19 3

2

19 2

3 2

i 19 3

z2    

Câu 10 Giải phương trình sau trên tập số phức: 3x2 2 3x 2 0

2

3x 2 3x 2 0

Ta có: ( 2 3)2 4.3.2 12 24 12 (2 3 )i 2

Phương trình có 2 nghiệm phức

;

Câu 11 Giải phương trình sau trên tập số phức: x2 – 6x + 29 = 0

20







Phương trình có 2 nghiệm phức: x 3  2i 5

Câu 12 Giải phương trình sau trên tập số phức: x2 4x  11 0.

2 1,2

7 )

2 7

' 4 11 7 ( i

x   i

     