Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở E, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở D.. Tia DA cắt tia BC ở E nằm ngoài đường tròn.
Trang 1UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2015 – 2016
- Khóa ngày 15/11/2015
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (4 điểm)
a/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số 9n + 1 không chia hết cho 4
b/ Chứng minh: với x là số nguyên lẻ, giá trị của biểu thức A = x3 – 3x2 – x + 21 chia hết cho 6
Bài 2: (4 điểm)
a/ Cho biểu thức y =
1 1
2 2
x x
x x x
x
x x
Hãy rút gọn A = 1 - y x 1 với 0 x 1
b/ Giải phương trình sau : x 3 4 x 1 x 8 6 x 1= 5
Bài 3: (4 điểm)
a/ Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b = 5
4 Chứng minh rằng 4 1 5
4
a b Đẳng thức xảy ra khi nào?
b/ Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó:
A x x 2015
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở E, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở D
a/ Chứng minh các tam giác AED và ABC đồng dạng
b/ Tính tổng ME2 + MD2, biết MC = 8cm và 3
5
DC
DA
Bài 5: (4 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Dây CD cắt đường kính AB tại I (với I khác O) Tia
DA cắt tia BC ở E nằm ngoài đường tròn Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên CD
a/ Chứng minh rằng EA.ED = EB.EC
b/ Chứng minh rằng CH = DK
HẾT
-Đề chính thức
Trang 2UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2015 – 2016
- Khóa ngày 15/11/2015
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9
1a/
1,5 đ
Ta có: 9n + 1 = (3n)2 + 1
Số 3n luôn là số lẻ (tận cùng 1,3,7,9)
0,5
Do đó: 3n = 2k + 1
Nên (3n)2 + 1 = (2k + 1)2 + 1 = 4k2 + 4k + 1 + 1 = 4k(k + 1) + 2 0,5 4k(k+1) 4 ; 2 không chia hết cho 4
Vậy 9n + 1 = (3n)2 + 1 không chia hết cho 4
0,5
1b/
2,5 đ Do x là số nguyên lẻ nên x
A = x3 – 3x2 – x + 21 chẵn, hay A 2 0,5
Mặt khác ta có x3 – x = x(x – 1)(x + 1) 3, x 0,5
A = x(x – 1)(x + 1) – 3x2 + 21 3, x 0,5
Mà (2,3) = 1 nên A 2.3 hay A 6 với x là số nguyên lẻ 0,5 2a/
y
=x x x x 2 x 1
A = 1 2 x x 1 1 x12 1 x1 = 1 x1 x
(do 0 x 1 x 1 0 )
1
2b/
2 đ
1 6 8 1
4
x 1 4 x 1 4 x 1 6 x 1 9 5
x1 2 2 x1 3 2 5
0,25 0,25
Vậy nghiệm của phương trình là 1 x 10
0,5
3a/
2 đ Từ a + b =
5
4 4a4b5
0,25
Vế trái: 4 1 4 1 5 5 4 1 4 4 5
a b a b a b
0,25
1
Trang 3Vậy 4 1 5
4
a b dấu “=” xảy ra khi
4
1 4
1 1
4
a a
a
b b b
(vì a > 0; b > 0) 0,5
3b/
2 đ A x x 2015 có điều kiện: x 2015
0,25
2
x
0,5
Dấu “=” xảy ra khi 2015 1 0 2015 1 20151
x x x (thỏa điều kiện) Vậy minA = 20143
4 khi 20151
4
x
0,75
a/
2 đ Vì MD là phân giác của góc AMC nên ta có: (1)
DA MA
0,5
Vì ME là phân giác của góc AMB nên ta có: EB MB (2)
EAMA
0,5
Do MB = MC (gt) nên từ (1) và (2) sauy ra: DC EB
DA EA
0,25
Theo định lí Ta-Let đảo ta có ED // BC Vậy AED ABC 0,5 b/
2 đ
Theo giả thiết MB = MC = BC:2 BC = 2MC = 2.8 = 16cm 0,25
5
DC
DA
Vì AED ABC 16 8
10 5
Mặt khác ME MD (do phân giác hai góc kề bù)
Xét EMD vuông tại M, theo Py-Ta-Go: ME2 + MD2 = ED2 = 102 =100
0,5
0,5
a/ Ta có ABC nội tiếp (O), có AB là đường kính nên ACB 900 0,25
//
//
D E
M
A
N M K
H I
E
B
D
C
Trang 42 đ ABD nội tiếp (O), có AB là đường kính nên ADB 900 0,25
EC EA
EB EC EA ED
ED EB
b/
2 đ
Kẻ OM CD, OM cắt AK tại N MC MD và ON//AH//BK 0,5
Xét AKB có :
//
OA OB
AN NK
ON BK
0,5
Xét AHK có :
//
AN NK
MN AH
0,5