HSG toan 8,15 16 (1)

Các đường trung tuyến AM, BD, CE cắt nhau ở G.

UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2015 – 2016

- Khóa ngày 15/11/2015

ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 8

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (4 điểm)

a/ Tìm số nguyên dương n để n5 + 1 chia hết cho n3 + 1

b/ Chứng minh rằng: n(n + 2(25n2 – 1) chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n

Bài 2: (4 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a/ (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3

b/ (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24

Bài 3: (4 điểm)

a/ Tìm x, y sao cho A = 2x2 + 9y2 – 6xy – 6x – 12y + 2044 có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó ?

b/ Cho x y z 1

a b c  và a b c 0

x yz  Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 2 1

Bài 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c Các đường trung tuyến AM, BD, CE cắt nhau ở G Chứng minh rằng :

a/ BD + CE > 3

2a b/ AM + BD + CE > 3

4(a + b + c)

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của B và

C trên đường thẳng DE

a/ Chứng minh EH = DK

b/ Nếu tam giác ABC cân ở A thì tứ giác BCKH là hình gì ? Vì sao?

HẾT

-Đề chính thức

UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2015 – 2016

- Khóa ngày 15/11/2015

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8

1a

2đ

n5 + 1  n3 + 1  n2(n3 + 1) – (n2 – 1)  n3 + 1 0,5

 (n + 1)(n – 1)  (n + 1)(n2 – n + 1)

 (n – 1)  (n2 – n + 1) (vì n + 1 khác 0)

0,5

Nếu n = 1 thì ta được 0 chia hết cho 1

Nếu n > 1 thì n – 1 < n(n – 1) + 1 = n2 – n + 1 do đó n – 1 không chia hết cho

n2 – n + 1

Vậy giá trị duy nhất của n là 1

0,5

0,5 1b

2đ

n(n + 2(25n2 – 1) = n(n + 2)(n2 – 1 + 24n2)

= n(n + 2)(n2 – 1) + 24n2.n(n + 2)

= (n – 1)n(n + 1)(n + 2) + 24n3(n + 2)

1

Vì (n – 1)n(n + 1)(n + 2) tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, cho 3,

cho 4

0,25

Do đó (n – 1)n(n + 1)(n + 2)  2.3.4 hay (n – 1)n(n + 1)(n + 2)  24 0,25

Vậy n(n + 2(25n2 – 1) chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n 0,25 2a

2đ

Đặt x – y = a ; y – z = b ; z – x = c  a + b + c = 0 0,5

 a + b = - c  (a + b)3 = (-c)3

 a3 + b3 + 3ab(a + b) = - c3

 a3 + b3 + c3 = -3ab(a + b) = 3abc

1

Vậy (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) 0,5 2b

2đ (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 == (x2 + 7x + 11 – 1)(x2 + 7x + 11 + 1) – 24 0,5

= (x2 + 7x + 16)(x2 + 7x + 6)

3a

2đ

A = (x2 – 6xy + 9y2) + (4x – 12y) + (x2 – 10x + 25) + 2019 0,5

A = (x – 3y)2 + 4(x – 3y) + 4 + (x – 5)2 + 2015 0,5

A = (x – 3y + 2)2 + (x – 5)2 + 2015  2015 0,5

Vậy minA = 2015 khi

5

5 0

7

3 2 0

3

x x

 





0,5

3b

a b c

ayz bxz cxy

ayz bxz cxy xyz

0,5

Từ

2 2

        

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1

dpcm

4a

2đ a/ Trong

GBC

 có GB + GC > BC

Mà GB = 2

3BD ; GC = 2

3CE Nên GB + GC = 2

3(BD + CE)

 BD + CE = 3

2(GB + GC) > 3

2BC = 3

2a

0,5 0,5 0,5 0,5 4b

2đ b/ Từ câu a/ BD + CE >

3

2a Chứng minh tương tự câu a ta có:

BD + AM > 3

2c ; CE + AM > 3

2b

 2(AM + BD + CE) > 3

2(a + b + c)

 AM + BD + CE > 3

4(a + b + c)

1 0,5 0,5 5a

2đ Gọi M là trung điểm của BC

EBC vuông ở E có EM là trung tuyến,

nên EM = BC : 2

DBC vuông ở D có DM là trung tuyến,

nên DM = BC : 2

Gọi I là trung điểm của DE thì IM  DE

 MI // BH // CE

 MI là đường trung bình của hình thang BHKC

 IH = IK

0,75

5b

Khi đó ABD = ACE (cạnh huyền-góc nhọn) 0,75

 ABC cân tại A và ADE cân tại A, có góc A chung

 ABCAED  ED // BC

0,25 0,25

 BHKC là hình bình hành có BHK  900 nên là hình chữ nhật 0,25

x

x _

_

//

//

G

M

A

x x

//

//

I

M

K

H E

D A