ĐỀ HSG TOÁN 7(15 16)

Tìm một số chính phương có ba chữ số biết rằng nó chia hết cho 56.. a Chứng minh rằng: BM = CN b Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.. Chứng minh rằng: KC  AC.. - Họ

PHÒNG GD & ĐT HẬU LỘC

-*** -ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề thi gồm 01 trang có 05 bài

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP

HUYỆN MÔN TOÁN 7

Năm học 2015 - 2016

Thời gian làm bài 150 phút

Bài 1 (4,0 điểm) Thực hiện phép tính

a)

b) Chứng minh rằng đa thức P(x) = x2 + x - 2017 không thể có nghiệm nguyên

Bài 2 (5,0 điểm)

1 Tìm x biết:

a) 7x+2 + 2.7x-1 =345

 1005 161 4018

2010

8

5 6

4

4

3

2 Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: x2 + xy – 2y – 3x = 3

Bài 3 (4,0 điểm)

1 Cho hàm số y=f(x)= x

3

2

 (1) a) Tính f(2016)

b) Cho điểm M(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số (1) và thỏa mãn biểu thức

5y +2 x =8

Xác định tọa độ của điểm M

2 Tìm một số chính phương có ba chữ số biết rằng nó chia hết cho 56

Bài 4 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân ở A Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB

a) Chứng minh rằng: BM = CN

b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN

c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K Chứng minh rằng: KC  AC

Bài 5 (1,0 điểm)

Tìm các số tự nhiên a; b sao cho (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225

HẾT

Chú ý: - Giám thị không giải thích gì thêm.

- Học sinh không được dùng máy tính.

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

TOÁN 7 Giám khảo chú ý :

1) Trước khi chấm nên đọc để chắc chắn rằng hướng dẫn này không có sai sót

Hoặc nếu sai sót thì sẽ được điều chỉnh lại

2) Tổ chấm nên hội ý để thống nhất một số phương án chấm

3) Bài hình: thí sinh không vẽ hình thì không chấm điểm; vẽ sai hình ở ý nào thì

không chấm điểm ở ý đó và ý sau (có liên quan) nếu thí sinh không chứng

minh được ý nào đó ở trên nhưng lại sử dụng kết quả này ở ý sau thì trừ đi

50% số điểm ý đó (nếu đúng)

4) Thí sinh chứng minh hoặc làm ý nào đó khác đáp án mà đúng thì giám khảo tự cho điểm

thành phần với số điểm đạt được tương ứng với đáp án.

1

a)

12 5 12 4 10 3 8 4

12 6 12 5 9 3 9 3 3

2 3 2 3 5 7 5 7

2 3 2 3 5 7 5 2 7

2 3 (3 1) 5 7 (5 7)

2 3 (3 1) 5 7 (1 8)

1 18 1 2 17

6 5.9 6 5 30

0,5

1

0,5 b) Giả sử đa thức có nghiệm nguyên là x = n Khi đó :

n2 + n -2017 = 0

nên n2 + n = 2017  n(n + 1) = 2017 (*)

do n và n + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên n(n + 1)  2

Do đó (*) không thể xảy ra, vì 2017   2

Chứng tỏ phương trình đã cho không có nghiệm nguyên

0,5

0,5 0,5

0,5

a) 7 x+2 + 2.7x-1 =345

1

0 1

1 7

345 345 7

345 ) 2 7 ( 7 1 1

3 1





















x x

x x x

Vậy x=1

 1005 161 4018

2010

8

5 6

4 4

3

0,5

0.5

0,5

0,5

0 4 2012

1 2

1 2

2

16 1005 2

1 1005

16 1005 )

2

1

2

1 2

1 ( 2

2010

16 1005 2

2010

2

1 2

1 2

.

2

1

16 1005 2009

2

2010

4 2

5 3 2

4 2

.

2

3

4 2012

2008 4 4

1 2008

1 1 1































x

x

x x

x

x x x

Vậy x=503

0,5

0,5

2) Ta có:

2

2 2

( 2) ( 2) ( 2) 5 ( 2)( 1) 5

Do đó : x – 2 và x + y - 1 là các ước của 5

Lập bảng:

Vậy các cặp số nguyên (x; y) là : ( -3; 3) , ( 1; -5), ( 3; 3), ( 7; -5)

0,5

0,5

0,5

0,5

3 a )f(2016)= .2016 1344

3

2







b)

+) M(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số (1) ta có y0= 0

3

2

x

 +) M(x0;y0) thỏa mãn biểu thức 5y+2 x =8 ta có 5y0+2 x0 =8

Suy ra 5( 3 0

2

x

 )+2 x0 =8 hay  10x0  6x0  24

TH1:x0  0: Ta có -10x0+6x0=24

-4x0 = 24

x0 = -6(loại)

TH2: x0  0:Ta có -10x0-6x0=24

-16x0 =24

x 0 =-23 (Thỏa mãn) suy ra y 0 =1

KL:vậy M( ; 1 )

2

3



0,5

0,5

0,5

0,5 b) gọi số chính phương đó là : xyzvới 1 ≤ x ≤ 9 ; 0 ≤ y ; z ≤ 9

ta có : k N l N

l





56

do đó : k2 = 56.l = 4 14l suy ra : l = 14h2 (1) với h  N

mặt khác 100 ≤ 56l ≤ 999  2 ≤ l ≤ 17 (2)

từ (1) và (2) suy ra: h = 1 do đó l = 14

nên số chính phương phải tìm là: 784

0,5

0,5 0,5 0,5

Theo giả thiết, ta có:

2AB = AB + AB = AB + AM + BM

AM + AN = AM + AC + CN

ABC cân ở A  AB = AC

Do đó, từ AM + AN = 2AB

 BM = CN

0,5 0,5 0,5 0.5

b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN

MN x BC = I

Qua M kẻ ME // AC (E  BC)

ABC cân ở A  ABCACB (1)

Mà ME// AC nên MEBACB(2)

Từ (1) và (2) suy raMEBABC  BME cân ở M  EM = BM = CN

 MEI = NCI (g-c-g)

 IM = IN

Vậy: BC đi qua trung điểm của MN

0,5 0,5 0,5 0,5

c) Chứng minh rằng: KC  AN.

+ K thuộc đường trung trực của MN  KI  MN

 IMK = INK( c.g.c)

 KM = KN( hai cạnh tương ứng) (3)

+ ABK = ACK (c-g-c)  KB = KC (4); ABKˆ ACKˆ (*)

+ Kết quả câu c/m câu a) BM = CN (5)

+ Từ (3), (4) và (5)  BMK = CNK (c-c-c)  ABKˆ NCKˆ (**)

+ Từ (*) và (**)

0 0 180

2

0,5 0,5

0,5

0,5

5 Theo đề bài  2008a + 3b + 1 và 2008a + 2008a + b là 2 số lẻ.

Nếu a  0  2008a + 2008a là số chẵn

để 2008a + 2008a + b lẻ  b lẻ

Nếu b lẻ  3b + 1 chẵn do đó

2008a + 3b + 1 chẵn (không thoả mãn) Vậy a = 0

Với a = 0  (3b + 1)(b + 1) = 225

Vì b  N  (3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 5 45 = 9.25

3b + 1 không chia hết cho 3 và 3b + 1 > b + 1

3 1 25

8

1 9

b

b b

 



 

 Vậy a = 0 ; b = 8

0,25

0,5

0,25

Hết