Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian - Phần II: Hình chóp docx

có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào : +Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm khi các điểm nằm trên các trục tọa độ

CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TỔNG HỢP

GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ

PHẦN II: HÌNH CHĨP

Vũ Ngọc Vinh - THPT A Nghĩa Hưng - Nam Định

vungocvinh59@yahoo.com

PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI TỐN

Để giải được các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình Bài tốn đơn giản hay khơng một phần phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ vuơng gĩc và đơn vị trên các trục

Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, chú ý đến vị trí của gốc O ( Đỉnh của gĩc vuơng, tâm

mặt cầu ….)

Bước 2: Dựa vào điều kiện của bài tốn để xác định toạ độ của điểm, phương trình của đường và mặt

cần thiết trong hệ trục toạ độ ấy

(có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết)

Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào :

+)Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ) +) Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ

+) Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng

+) Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng

Bước 3: Chuyển các tính chất hình học trong giả thiết hoặc kết luận của bài tốn sang tính chất đại số

và giải tích, đưa bài tốn về bài tốn đại số, giải tích Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán

Các dạng toán thường gặp:

- Độ dài đọan thẳng

- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng

- Góc giữa hai đường thẳng

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

- Góc giữa hai mặt phẳng

- Thể tích khối đa diện

- Diện tích thiết diện

- Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc

- Bài toán cực trị, quỹ tích

Bổ sung kiến thức :

1) Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S' bằng tích của S với cosin của góc giữa mặt phẳng của tam giác và mặt phẳng chiếu

S ' S.cos

2) Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S

Ta luôn có:

SC

SC SB

SB SA

SA V

V

ABC S

C B S

' ' '

.

' ' '



Chỳ ý

a) Hỡnh chúp S.ABCD cú SA vuụng gúc với đỏy và đỏy là hỡnh vuụng (hoặc hỡnh chữ nhật) Ta chọn

hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuụng

b) Hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng (hoặc hỡnh thoi) tõm O đường cao SO vuụng gúc với đỏy

Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta cú O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h)

c) Hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy hỡnh chữ nhật ABCD và AB = b SAD đều cạnh a và vuụng gúc với đỏy Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuụng gúc với AD Chọn hệ trục tọa độ Hxyz

ta cú:

A ; 0; 0 , B ; b; 0

, C ; b; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0;



Phần II 1

HèNH CHểP Cể MỘT CẠNH BấN VUễNG GểC VỚI ĐÁY

( Hay hỡnh chúp cú hai mặt bờn vuụng gúc với đỏy)

* Lưu ý: Đường cao của hỡnh chúp là cạnh bờn vuông góc đỏy

Vớ dụ 1

Tứ diện ABCD: AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau;

AB = 3; AC = AD= 4

Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)

( KD: 2002)

Giảii

+ Chọn hệ trục Oxyz sao cho A  O

D Ox; C  Oy và B  Oz

 A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)

 Phương trình đoạn chắn của (BCD) là:

1

4 4 3

 3x + 3y + 4z - 12 = 0 Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) là:

d(A; mp’(BCD)) = 6 34

17

Vớ dụ 2

Cho tửự dieọn ABCD coự AD vuoõng goực vụựi maởt phaỳng (ABC) vaứ tam giaực ABC vuoõng taùi A,

AD = a, AC = b, AB = c.Tớnh dieọn tớch S cuỷa tam giaực BCD theo a, b, c vaứ chửựng minh raống :

2S abc a b c  (DB – ẹH K D – 2003)

Giaỷi

Choùn heọ truùc toùa ủoọ nhử hỡnh veừ, ta coự toùa ủoọ caực ủieồm laứ :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)

z

y

x

B

C

D

A

       



 

2 2 2 2 2 2 BCD

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

BC c; b; 0 ,BD c; 0;a , BC,BD ab;ac; bc

a b a c b c abc(a b c)

Theo BĐT Cauchy ta được :

a b +b c 2ab c

b c +c a







2 2 2 2 2

2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c)

c a a b 2ca b

Ví dụ 3

Cho hình chóp S.ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SA a 2. Mặt phẳng () qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt là M, N, P Chứng minh rằng tứ giác AMNP có hai

đường chéo vuông góc và tính diện tích của tứ giác

Giải

Dựng hệ trục Ax, Ay, Az đôi một vuông góc,

với A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), S(0; 0; a 2)

1

SC (a; a; a 2) a(1; 1;    2) a.u

2

SB (a; 0; a 2) a(1; 0;    2) a.u

3

SD (0; a; a 2) a(0; 1;    2) a.u

Phương trình mp(qua A(0; 0; 0) với

pháp vectơ nu1(1; 1; 2)

: ( ) : x y   2z0

Phương trình đường thẳng SC qua C(a; a; 0) với vectơ chỉ phương u1

:

(SC) : y a t

 







 



N SC  N(a t; a t;   2t)

Phương trình đường thẳng (SB): x = a + t; y = 0; x  2t

  Phương trình đường thẳng (SD):

S

A

P

N

M

B

C

a

O

z

a 2

a

x

D

y

z

y

x

A

B

C

D

a a a 2 2a 2a 2a 2

Ta có:

 

(đpcm)

Diện tích tứ giác AMNP:

2

Ví dụ 4

Cho hình chóp S ABCD, SA  (ABCD), SA = a, SC  BD; đáy ABCD là hình thang vuông có

AD

2

 và đường cao AB = a M là điểm trên cạnh SA, đặt AM = x (0 x a)  Tính độ dài đường cao DE của BMD Định x để DE đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

Dựng hệ trục Axyz với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0), a

D 0; ; 0 , S(0; 0; a), M(0; 0; x) 2

BM ( a; 0; x). 



Phương trình đường thẳng BM qua B với , vectơ chỉ phương:

x a at

(BM) : y 0

z xt

 









 



a

2



a

2



2

a

x a Ta có:

2





2

Ví dụ 5

Cho hình chóp SABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SA = 2a Mặt phẳng () qua BC hợp với AC một góc 30o, cắt SA, SD lần lượt tại M, N Tính diện tích thiết diện BCNM

Giải

Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc,

A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), S(0; 0; 2a)

Đặt: AM = h; (0 < h < 2a)  M(0; 0; h)

M

E

y

z

S

a

B

x

BM ( a; a; h), BC (0; a; 0),   

2 [BM; BC] ( a.h; 0; a )      a(h; 0; a)

 a.n

, với n (h; 0; a)

n (h; 0; a)

  

là pháp vectơ của mặt phẳng ()

Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương

1

u (a; a; 0) a(1; 1; 0) a.u ,    

với u1 (1; 1; 0)

() hợp với AC một góc 30o



o

sin 30

2

2

   M là trung điểm SA

Ta có: MN ( ) (SAD)

MN // BC // AD

BC // AD

  









BC(SAB) BCBM BCNM là hình thang vuông tại B và M

ABM vuông cân đỉnh A  BMa 2.MN là đường trung bình của SAD a

2

tích hình thang vuông BCNM:

2

Ví dụ 6

Cho hình chĩp O.ABC cĩ OA = a, OB = b, OC = c đơi một vuơng gĩc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC cĩ khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3 Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất

Giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta cĩ:

O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

d[M, (OAB)] = 3  zM = 3

Tương tự  M(1; 2; 3)

pt(ABC): x y z

1

a  b  c

O.ABC

1

6

3

1

abc 27 6

C

y 2a S

N

D

y

a

x

a

B

M

(2) min 1 2 3 1

3 6 9

a b c







 

 



Ví dụ 7

Tứ diện S.ABC cĩ cạnh SA vuơng gĩc với đáy và ABC vuơng tại C Độ dài của các cạnh là SA = 4,

AC = 3, BC = 1 Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M Tính cosin gĩc phẳng nhị diện [H, SB, C]

Giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta cĩ:

A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và H(1; 0;

0)

mp(P) qua H vuơng gĩc với SB tại I cắt đường thẳng SC

tại K, dễ thấy

[H, SB, C] = IH, IK  (1)

SB   ( 1; 3; 4), SC (0; 3; 4) suy ra:

ptts SB:

  



  



 



, SC:

z 4t

 



  



 



và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0 5 15 3  51 32

I ; ; , K 0; ;

12645



Ví dụ 8

Cho hình chóp S ABCD có SA  (ABCD) và SA = a 6, đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a

Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC)

Giải

Dựng BB/ AD, CC/ AD và I là trung điểm AD

Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông

góc A(0; 0; 0), B ; ; 0 , C ; ; 0 ,

D(0; 2a; 0), S(0; 0; a 6)

với n (2 2; 0; 1)  Phương trình mặt phẳng (SBC) qua S với pháp vectơ n

: (SBC) : 2 2x z a 6  0 Vì: AD // BC AD //(SBC) d(AD; (SBC)) d(SBC))

z S

a 6

x A

B

B /

C

C /

2a y

Ta có: 0 0 a 6 a 6

d(A; (SBC))

3

8 1

 

a 6

3



BÀI TẬP

Bài 1( KA 2000)

Cho tứ diện OABC cĩ OA, OB, OC vuơng gĩc với từng đơi một cĩ OA = a, OB = a 2 , OC = c Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của BC (P) là mặt phẳng qua A, M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuơng gĩc với AM

1) Gọi E là giao điểm của (P) với OC, tính độ dài OE

2) Tính khoảng cách từ C đến mp’(P)

3) Tính tỉ số thể của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chĩp C.AOBD bởi mặt phẳng (P)

Bài 2 ( ĐH 2001 )

Cho tam giác vuơng cân ABC cĩ AB = AC = a, M là trung điểm BC Trên các nửa đường thẳng AA1,

MM1 vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) về cùng một phía, lấy tương ứng các điểm N, I sao cho 2MI =

NA = a Gọi H là chân đường vuơng gĩc hạ từ A xuống NB Chứng minh rằng: AH  NI

Bài 3

Trên ba tia Ox, oy, oz vuơng gĩc với từng đơi một lấy lần lượt các điểm A, B, C Giả sử A cố định cịn

B, C thay đổi sao cho OA = OB + OC Hãy xác định vị trí của B, C sao cho thể tích của tứ diện OABC

là lớn nhất

Bài 4

Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA = a 3 và vuơng với đáy

1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

2) Tính khoảng cách từ tâm O của hình vuơng đến mặt phẳng (SBC)

3) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC)

Bài 5

Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân với BA = BC = a, SA = a và vuơng gĩc với đáy Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC

1) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBC)

2) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SEF) và mặt phẳng (SBC)

Bài 6

Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA = 2a và vuơng gĩc với đáy

1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC), từ C đến mặt phẳng (SBD)

2) MN lần lượt là trung điểm của AB, AD CMR: MN // (SBD) và tính khoảng cách từ MN đến mặt phẳng (SBD)

Bài 7

Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với cạnh AB = a, AD = 2a, SA = a và vuơng gĩc với đáy

1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) và khoảng cách từ trung điểm I của SC đến mặt phẳng (SBD)

2) Gọi M là trung điểm của cạnh CD, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM)

Bài 8.( KA – 2000)

Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D với AB = AD = a, DC = 2a ,

SD = a và vuơng gĩc với đáy

1) Chứng minh rằng tam giác SBC vuơng và tính diện tích của tam giác đĩ

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Bài 9

Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA = 2a và vuơng gĩc với đáy

1) Gọi M, N theo thứ tự thuộc BC, DC sao cho BM = , 3

DN  Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAM) và mặt phẳng (SMN) vuông góc với nhau

2) Gọi M, N theo thứ tự thuộc BC, DC sao cho BM = x, DN = y

a Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để hai hai mặt phẳng (SAM) và mặt phẳng (SMN) vuông góc với nhau

b Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để nhị diện (M, SA, N) có số đo bằng 600 là :

2

3 ( )

a xy  xy  a

Bài 10

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a,

SA = a 6 và vuông góc với đáy

1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBC); Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (SBC)

2) Tính khoảng cách từ A , D đến mặt phẳng (SBC) và từ đường thẳng AB đến mặt phẳng (SCD)

3) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD tạo bởi mặt phẳng ( ) song song với mặt

phẳng (SAB) và cách mặt phẳng (SAB) một khoảng bằng 3

4

a

Bài 11

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = a, SA a 2 và vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm của AB Tính độ dài đường vuông chung của SM và BC

Bài 12

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông đường cao AB = a, BC = 2a, SA = a vuông góc với đáy, ngoài ra còn có SC vuông góc với BD

1) Tính AD

2) Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM = x (0 ≤ x ≤ a) Tính độ dài đường cao DE của tam giác BDM Xác định x để DE có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 13

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy mặt phẳng (ABC), ABC là tam giác vuông tại B,

AB = a, AC = 2a, mặt (SBC) hợp với mặt (ABC) góc 600

1) Tìm trên đoạn BC điểm M cách đều hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) Tính khoảng cách đó 2) Tìm trên đoạn SA điểm N cách đều hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) Tính khoảng cách đó 3) Tìm trên đoạn AB điểm P cách đều hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) Tính khoảng cách đó

Bài 14

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C với AB = 2a, góc  BAC = 300 , SA = 2a

và vuông góc với đáy Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC, đặt AM = x (0 ≤ x ≤ a 3)

1) Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x

2) Tìm giá trị x để khoảng cách trên có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 15 ( ĐH- KA 2001)

Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = a 2, SC vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a)

1) Tính độ dài đoạn thẳng MN Tìm giá trị của t để đoạn MN ngắn nhất

2) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA

Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy Gọi E là

trung điểm CD

1) Tính diện tích SBE

2) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE)

3) (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó

Bài 17 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy hình vuơng cạnh a Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy và

SA  a 3

1) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD)

2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC

3) Tính gĩc phẳng nhị diện [B, SC, D]

Bài 18 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy hình vuơng cạnh 3cm Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy và

SA  3 2cm Mp( ) đi qua A và vuơng gĩc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K

1) Chứng minh AH vuơng gĩc với SB, AK vuơng gĩc với SD

2) Chứng minh BD song song với ( )

3) Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SAC

4) Tính thể tích hình khối ABCDKMH

Bài 18 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b Cạnh bên SA vuơng gĩc với

đáy và SA = 2a Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD

1) Tính khoảng cách từ A đến (BCN)

2) Tính khoảng cách giữa SB và CN

3) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC)

4) Tìm điều kiện của a và b để cos CMN 3

3

 Trong trường hợp đĩ tính thể tích hình chĩp S.BCNM

Bài 20 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Đường cao SA = 2a

Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 m  a)

1) Tìm vị trí điểm M để diện tích SBM lớn nhất, nhỏ nhất

m 3

 , gọi K là giao điểm của BM và AD Tính gĩc phẳng nhị diện [A, SK, B]

Bài 21: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a tâm I Trên hai tia Ax, By cùng chiều và cùng vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm M,N Đặt AM=x, CN=y

1) Tính thể tích hình chóp ABCMN

2) CMR điều kiện cần và đủ để góc MIN=900 là 2xy=a2

Bài 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB = 4 2

Cạnh bên SC(ABC) và SC = 2 Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB

1) Tính góc của hai đường thẳng SM và CN

2) Tính độ dài đọan vuông góc chung của SM và CN

Phần II 2

HÌNH CHĨP CĨ MỘT MẶT BÊN ( HOẶC MẶT CHÉO) VUƠNG GĨC VỚI ĐÁY

* Lưu ý: Đường cao của hình chĩp là cạnh đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đĩ

Ví dụ

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AB và M là điểm di động trên cạnh BC Chứng minh

SH vuông góc (ABCD) Đặt x = CM với 0x a (a 0)

Tính khoảng cách từ S đến DM Tìm x để khoảng cách này lớn nhất

Giải

Ta có: (SAB) (ABCD), (SAB) (ABCD) AB









Chọn hệ trục Hxyz, với Hx, Hy, Hz

a đôi một vuông góc, H(0; 0; 0), A ; 0; 0 ,

2

B ; 0; 0 , C ; a; 0 , D ; a; 0 ,

S 0; 0; , M ; a x; 0 , 0 x a; a 0





2

2

 

2 2 4 2

 

Khoảng cách từ S đến đường thẳng DM:

2 2

d(S; DM)

DM



 

Xét hàm số:

2 2



 với 0x a (a 0)

/

2 2 2

2a(2x 3ax 2a )

f (x)

(x a )





2

z

S

a 3 2

A

D

C

B

a 2

M x

H

y