Phuong phap toa do trong khong gian

Phương pháp giải các bài toán về tọa độ trong không gian thường gặp trong TSĐH

-

THAM LUẬN

A PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua 1 điểm M0(x0; y0; z0) và song song với 1

mặt phẳng   cho trước

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua 3 điểm M, N, P không thẳng hàng

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  và 1 điểm M

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng   chứa 2 đường thẳng cắt nhau  và  ’

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng   chứa 2 song song  và  ’

Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu (S)

Phương pháp giải

1 Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S)

2 Nếu mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M (S) thì mặt phẳng   đi

qua điểm M và có VTPT là MI

3.Khi bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài toán tìm được VTPT của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 ( D chưa biết) Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d I ,  R để tìm D

II VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm M0(x0; y0; z0) và có VTCP

Dạng 2.1: Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường

thẳng d

Dạng 2.2: Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d,

cắt đường thẳng d’

Dạng 3.1: Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt 2 đường thẳng a, b

Dạng 3.2: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (), cắt 2 đường thẳng a, b

Dạng 4:

Viết phương trình đt  đi qua A(P), nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng d

Dạng 5: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (P) III CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 ĐẾN NAY:

(Khối D_2010)

Chuẩn:

Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mp (P): x + y + z  3 = 0 và (Q): x  y + z  1 = 0 Viết phương trình mp (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3)

a Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D

b Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

a Tìm tọa độ điểm A’ đối xưmgs với điểm A qua đường thẳng d1

b Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho mặt phẳng (P): 2xy+2=0 và đường thẳng

d m là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ): (2m+1)x+(1m)y+m1=0, ( ):

mx+(2m+1)z+4m+2=0 Tìm m để đường thẳng d m song song với mặt phẳng (P)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), trong đó

b, c dương và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0 Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1

(P) : y – z + 1 = 0 có VTPT là n  (0;1; 1)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;2;1), C(2;0;1)

a Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C

b Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z3=0 sao cho MA=MB=MC

a Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1, d2

b Tìm tọa độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho A, M, N thẳng hàng

b Gọi M là trung điểm của A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,

M và song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N Tính độ dài đoạn MN

   Tính khoảng cách từ A đến  Viết phương trình mặt cầu tâm

A, cắt  tại hai điểm B và C sao cho BC = 8

 d( A, ) =

17

4 9 4a

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x2yz4=0 và mặt cầu (S):

x2+y2+z22x4y6z11=0 Chứng minh rằng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn Xác

định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó

 Xác định tọa độ điểm M thuộc đường

thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau

ĐS: Chuẩn H(3;0;2), r=4 Nâng cao M1(0;1;3), 2 18 53 3; ;

35 35 35

a Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d

b Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d sao cho khoảng cáh từ A đến ( ) lớn nhất

a Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau

b Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x+y4z=0 và cắt

a Tính khoảng cách giữa đường thẳng A’C và MN

b Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc  biết

1cos

6



a Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2

b Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số của đường thẳng  nằm trong mặt phẳng (P), biết  đi qua A và vuông góc với d

ĐS: a I1(3;5;7), I2(3;7;1)

-

22 (Khối A_2004)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,

AC cắt BD tại gốc tọa độ O.Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S0; 0; 2 2.Gọi M là trung điểm của

cạnh SC

a.Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM

b.Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

-

ĐS: a 2xz=0, b H(2;3;4)

24 (CĐ_Khối A_2009)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các mặt phẳng (P1): x+2y+3z+4=0 và (P2):

3x+2yz+10 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;1;1), vuông góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2)

a Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d

b Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O

-

Bài1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

x1 2 y2 2 z32 14 và điểm M    1; 3; 2 Lập phương trình mặt phẳng (P)

đi qua sao cho (P) cắt (S) theo một giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất

Ta thấy M thuộc miền trong của (S) và (S) có tâm I  1; 2; 3 , R 14 Do đó, (P) qua M cắt (S) theo một giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất

Vậy (P) có phương trình là y-z+1=0

Bài 2: Trong kg Oxyz cho đường thẳng (  ): x= t ; y=2t 1; z=t +2 và mp(P):2x – y 2z

*2 đường thẳng chéo nhau

*đường thẳng cần tìm cắt d2 tại A(-1-2t;t;1+t)  OA=(-1-2t;t;1+t)

) 0

; 1

; 1 ( 1 0

-

Bài 4: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1; 3; -2), B (-3; 7; -18) và mặt phẳng

(P): 2x - y + z + 1 = 0

a Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P)

b Tìm tọa độ điểm M  (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất

Phương trình mp(Q) chứa AB và vuông góc với (P) là :

2(x + 1) + 5(y  3) + 1(z + 2) = 0

 2x + 5y + z  11 = 0

b Tìm M  (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất

Vì khoảng cách đại số của A và B cùng dấu nên A, B ở cùng phía với Mp (P)

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (P) ; Pt AA' : x 1 y 3 z 2

Bài 5: Trong không gian (Oxyz), lập phương trình mặt phẳng   đi qua hai điểm

A(2, 1;0), B(5;1;1) và khoảng cách từ điểm 1

M(0;0; )

2 đến mặt phẳng   bằng 7

6 3

2 x y 5z 1 0;5x17y19z270

Bài 6: Trong không gian (Oxyz), cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0),C(0; 0; c),(a, b, c0)

và luôn thỏa mãn a2 b2 c2 3 Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ điểm

O(0;0;0) đến mặt phẳng (ABC) lớn nhất

Bài 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1);

C(0;2;0); D(3;0;0) Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau Viết phương trình đường thẳng (D) vuông góc với mặt phẳngOxy và cắt các đường thẳngAB; CD

Bài 8: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình là:

Do đó (P) và (S) không có điểm chung.Do vậy, min MN = d –R = 5 -3 = 2

Trong trường hợp này, M ở vị trí M0 và N ở vị trí N0 Dễ thấy N0 là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P) và M0 là giao điểm của đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S)

Gọi  là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với (P), thì N0 là giao điểm của  và (P)

Đường thẳng  có vectơ chỉ phương là n P 2; 2; 1 

và qua I nên có phương trình là

Gọi I(a;b;c) là tâm và R là bán kính của mặt cầu (S) Từ giả thiết ta có:

-

Từ (2) và (3) suy ra: a2b2c2 9 (5)

Thế (4) vào (5) và thu gọn ta được: a2 221 a658 0

Như vậy a  hoặc 2 658

+ Với t1 = 1 ta được M13; 0; 2; + Với t2 = 0 ta được M21;3; 0

+ Ứng với M1, điểm N1 d2 cần tìm phải là giao của d2 với mp qua M1 và // mp

x32y2z20x2y2z 7 0 (1)

Phương trình tham số của d2 là:

5 64

Thay (2) vào (1), ta được: -12t – 12 = 0  t = -1 Điểm N1 cần tìm là N1(-1;-4;0)

+ Ứng với M2, tương tự tìm được N2(5;0;-5)

Bài 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua

điểm D(–1; 1; 1) và cắt ba trục tọa độ tại các điểm M, N, P khác gốc O sao cho D là trực tâm của tam giác MNP)

Theo giả thiết ta có M(m; 0; 0) Ox , N(0; n; 0) Oy , P(0; 0; p)  Oz

Một điểm M thay đổi trên đường thẳng 

Xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất

Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM

Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất

Đường thẳng  có PTTS:

1 212

2 2

1;0; 2

 M và minAMBM2 29

Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2 11 29

Bài 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

HD: Mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng là đường kính

Bài 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;0; 0) , (0; 0; 4)B và mặt phẳng (P): 2x y 2z 4 0 Tìm điểm C trên mặt phẳng (P) sao cho ABC đều HD: C thuộc đường thẳng d với d là giao của (P) và mp trung trực của đoạnh AB

Tìm điểm C thuộc d sao cho CA.=.AB

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có phương

a.Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d

b.Viết phương trình mặt phẳng ( ) // d và đi qua A sao cho khoảng cách từ d đến ( ) lớn nhất

Bài 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng

a.Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d

b Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, // d sao cho khoảng cách từ  đến d lớn nhất

Bài 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 2

II Phương trình đường thẳng:

1 Một đường thẳng  được xác định khi biết một điểm M(x0;y0) và một vectơ pháp tuyến

-

Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: yk x x0y0

2 Khoảng cách từ một điểm M(x M ;y M) đến một đường thẳng :AxByC 0 là:

III Phương trình đường tròn:

1 Một đường tròn được xác định khi biết tâm I(a;b) và bán kính r

Phương trình:

Dạng 1:  2  2 2

xa  yb r Dạng 2: x2 y22ax2byd 0, điều kiện a2 b2 d 0 và



I M

2 Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol (P) nhận Ox làm trục đối xứng, đi qua gốc tọa độ và

đi qua điểm M2 ; 2 2

a Lập phương trình của (P)

b Đường thẳng (D) đi qua điểm E(2;0), song song với đường thẳng:

01

 x y và cắt (P) tại hai điểm F1, F2 Xác định tọa độ của F1, F2

c Tính diện tích của tam giác có một đỉnh nằm trên đường chuẩn của (P), còn hai

đỉnh kia là hai đầu dây đi qua tiêu điểm và song song với trục Oy

d Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P) với đường thẳng (D)

3 Trong mặt phẳng cho Elip: 9x216y2 144

a Tìm các tiêu điểm, tiêu cự và tâm sai của Elip

b Lập phương trình của Parabol có đỉnh trùng với gốc tọa độ và có tiêu điểm

trùng với tiêu điểm bên phải của Elip đã cho

y=

b

ax

b

-

4 Trong mặt phẳng Oxy cho Hyberbol (H) : 1

45

2 2



 y

x

a Tìm tâm sai và các tiệm cận của (H)

b Lập phương trình tiếp tuyến của (H) đi qua điểm M5 ; 4

5 Trong mpOxy cho cho Parabol (P) có phuơng trình : y2 8x

a Tìm tọa độ của tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của (P)

b Chứng minh rằng với mọi k 0đường thẳng : kxy2 k 0 luôn luôn cắt

(P) tại hai điểm phân biệt

6 Trong mpOxy cho ba điểm A(0;1),B1;1 ,C 2;0

a Tìm tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và viết phương trình đường tròn

b Viết phương trình của parabol (P) có tiêu điểm là F và có đỉnh là gốc tọa độ O

c Chứng tỏ rằng (P) tiếp xúc với (D), tìm tọa độ tiếp điểm

8 Trong mặt phẳng Oxy cho Elip : 9x2 25y2 225

a Viết phương trình chính tắc và xác định các tiêu điểm, tâm sai của Elip

b Một đường tròn (C) có tâm I(0;1) và đi qua điểm A(4;2) Viết phương trình của đường tròn và chứng tỏ rằng (C) đi qua hai tiêu điểm của Elip

9 Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E): x2 y3 2 12

a Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ hai tiêu điểm và tâm sai của Elip (E)

b Cho đường thẳng (D) có phương trình: mx  y3 90 Tính m để (D) tiếp xúc với (E)

c Viết phương trình của Parabol có đỉnh trùng với gốc tọa độ và có tiêu điểm là tiêu điểm bên trái của Elip đã cho

10 Trong mpOxy cho đường thẳng (D) có phương trình : 4x  y3 20 và F(2;0)

a Viết phương trình Parabol (P) nhận F làm tiêu điểm và đỉnh là gốc tọa độ

b Tìm khỏang cách từ F đến đường thẳng (D) Tìm tọa độ tiếp điểm

11 Trong mpOxy cho Elip (E) có phương trình : 9x2 25y22250

a Tìm tọa độ tiêu điểm và tâm sai của (E)

b Viết phương trình đường thẳng (D1) qua F1 và có hệ số góc k = 1 và (D2) qua F2

và có hệ số góc k= 1 Chứng tỏ (D1)  (D2)

c Viết phương trình đường tròn tâm F2 qua giao điểm của hai đường thẳng (D1)

và (D2) Từ đó suy ra (D1) tiếp xúc với đường tròn

12 Trong mpOxy cho F(0;3) và đường thẳng (D) : 3x  y4 160

a Lập phương trình đường tròn tâm F và tiếp xúc với (D)

b Lập phương trình của Parabol (P) có tiêu điểm F và có đỉnh là gốc tọa độ Chứng tỏ rằng (P) tiếp xúc với (D) Tìm tọa độ tiếp điểm

13 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường Hypebol với phương trình :

-

14 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(1;2), B(2;1) và C(2;5)

a Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC Tính độ dài các đoạn thẳng AB và AC

b Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC

15 Trên mặt phẳng Oxy cho Elip có phương trình : x2 + 4y2 = 4

a Tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm và tâm sai của elip

b Đường thẳng qua 1 tiêu điểm của elíp và song song với trục Oy cắt elíp tại 2 điểm M và N Tính độ dài đoạn thẳng MN

c Tìm giá trị của k để đường thẳng y = x + k cắt elíp đã cho

16 Trong mặt phẳng Oxy cho hypebol : 1

94

2 2

b Tìm các giá trị của n để đường thẳng y = nx – 1 có điểm chung với hypebol

17 Trong mặt phẳng Oxy cho elíp (E) có phương trình 3x2 + 5y2 = 30

a Xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tâm sai của elíp

b Một đường thẳng  đi qua tiêu điểm F2(2;0) của elíp (E), song song với trục tung, cắt elíp (E) tại 2 điểm A và B Tính khoảng các từ A và B tới tiêu điểm F1

18 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2;3) và B(2;1)

a Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm nằm trên trục

hoành

b Viết phương trình chính tắc của Parabol có đỉnh là gốc tọa độ, đi qua điểm A và

nhận trục hoành làm trục đối xứng Vẽ đường tròn và Parabol tìm được trên cùng một hệ trục tọa độ

19 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(5;0) và B(4;3 2 )

a Lập phương trình đường tròn nhận AB làm đường kính Tìm tọa độ các giao

điểm của đường tròn và trục hoành

b Lập phương trình chính tắc của đường Elíp đi qua A và B

20 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol có phương trình :

369

4x2 y2 

a Xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tâm sai của hypebol

b Viết phương trình chính tắc của elíp đi qua điểm 

;2

37

M và có chung các tiêu điểm với hypebol đã cho

21 Trên mặt phẳng Oxy cho cho đường tròn (C) có phương trình: x2 y2 6x2y0

a Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C)

b Chứng minh rằng : Đường tròn (C) đi qua gốc tọa độ O Gọi OA là đường kính của đường tròn, viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A

22 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho Elíp (E) : 1

26

2 2



 y

x

a Xác định tọa độ các tiêu điểm và độ dài các trục của (E)

b Điểm M thuộc (E) nhìn hai tiêu điểm của nó dưới một góc vuông Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M

23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình :

0326

2