PHẦN 9 tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng và tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho tam giác ABM vuông tại M... Lập phương trình mặt cầu đường kính AB

PHẦN 9 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi

qua điểm A và vuông góc với đường thẳng và tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho tam giác ABM vuông tại M

Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;-2;1), B(-1;0;3),

C(0;2;1) Lập phương trình mặt cầu đường kính AB và tìm tọa độ điểm H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC

Tìm được tọa độ tâm I của mặt cầu I(0;-1;2), bán kính mặt cầu:R  3

Phương trình mặt cầu (S): 2 2 2

x  y  z  Giả sử H(x;y;z),AH   (x 1; y 2; z 1),   BC (1; 2; 2),  BH  (x 1; ;y z 3)

Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) Suy ra:

Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784 , suy ra 2

4 R  784   R 14

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên IH  ( )P  I d

Do đó tọa độ điểm I có dạng I2 6 ;5 3 ;1 2  t  t  t, với t  1

Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:

Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ

điểm O’ đối xứng với O qua (ABC)

*Từ phương trình đoạn chắn suy ra pt tổng quát của mp(ABC) là:2x+y-z-2=0

*Gọi H là hình chiếu vuông góc của O l ên (ABC), OH vuông góc với

(ABC) nên OH //n( 2 ; 1 ;  1 ) ;HABC

Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) có t=

1

; 3

2

; 3

4 (

Vậy ( ;( )) 2 3 2 2 2 3 1 3 4

2 3

7 18

Kiểm tra thấy A và B nằm khác phía so với mặt phẳng  P

Gọi B x y z' ; ;  là điểm đối xứng với B5; 1; 2   

Suy ra B  ' 1; 3; 4 Lại có MA MB  MA MB '  AB'  const

Vậy MA MB đạt giá trị lớn nhất khi M A B, , ' thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng AB' với mặt phẳng  P

'

AB có phương trình

1 3 2

9.2 Phương trình đường thẳng

Câu 1 Trong không gian với hệ trụcOxyz, cho hai điểm A(7;2;1), ( 5; 4; 3)B và mặt phẳng( ) : 3P x 2y 6z 3 0 Viết phương trình đường thẳng AB và chứng minh rằng AB song song với (P)

+ Đường thẳng AB đi qua A, VTCP AB   12; 6; 4    có PTTS là

x  y  z

  Tìm tọa độ giao điểm của( d1 )và ( d2).Viết phương trình đường thẳng (d) đối xứng (d1) qua (d2)

Tọa độ giao điểm I(1;2;-1)

Trên (d1) lấy M1(2;0;-3).tọa độ hình chiếu của M1lên (d2) là H(13 17; ; 16)

 Điểm đối xứng của M1 qua(d2) là M’1(22 34; ; 11

 )

.đường thẳng (d) đi qua I có VTCP (15 20; ; 4)

7 4 1 7

Câu 3 Trong không gian oxyz cho điểm A(0;2;2) Viết phương trình đường thẳng 

qua A và vuông góc đường thẳng 1: 1 2

 Phương trình vô nghiệm  d // (P)

Lấy điểm A(0; 1;1)   d

Gọi  là đường thẳng qua A và vuông góc với mp(P)

x t : y 1 t

Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P)     H (P)

Thay x, y, z của phương trình  vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

3 2

3 2

đường thẳng d1 , d2

Gọi A = d1(P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d2  (P) suy ra B(2; 3; 1)

Đường thẳng  thỏa mãn bài toán đi qua A và B

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng  là u (1; 3; 1) 

Phương trình chính tắc của đường thẳng  là: 1 2

và mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0 Lập phương trình đường thẳng song song với

mặt phẳng (P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng ()

Đường thẳng () có phương trình tham số:

Gọi

Vậy góc AKH nhọn là góc giữa (P) và (Q) Và HK là đoạn vuông góc chung của d và nên Do (Q) vuông góc với d nên (Q) có dạng:

b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và d2 Tính khoảng cách từ A đến mp(P)

a/  d1 đi qua điểm M1(1; 2; 3), có vtcp u1 (1;1; 1)

 d2 đi qua điểm M2(3;1;5), có vtcp u2 (1;2; 3)

a Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (α)

b Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) và tiếp xúc với mặt cầu (S)



  



Vậy (β) có pt là x-2y+2z+12=0 hoặc x-2y+2z-12=0

Câu 3 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;3; 1  , B  1;1;3 và đường thẳng d có phương trình 1 2

x y  z

 Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB và tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho CAB là tam giác cân tại C

Tọa độ trung điểm M của đoạn AB: M0; 2; 1, AB   2; 2; 4  

Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB đi qua M, nhận n 1; 1;  2 làm VTPT nên có phương trình:

   



  



Vậy pt của (P) là x+2y-z-2+4 6=0 hoặc x+2y-z-2-4 6=0

Pt của d được viết dưới dạng tham số 1 2

Câu 7 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:

x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 14 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3

(S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3 (Q) chứa Ox  (Q): ay + bz = 0

Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (Q) đi qua tâm I

Suy ra: –2a – b = 0 b = –2a (a0)  (Q): y – 2z = 0

Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1;2), (0; 0;2)B và

Gọi (S) là mặt cầu tâm B, có bán kính là R

Ta có (S) tiếp xúc với (P) nên ta có Rd(B; (P))  2

Viết lại 1 và 2 dưới dạng tham số

Giải hệ phương trình tìm được giao điểm A(3; 0; 2)

Đường thẳng 1 có VTCP u 1 2; 3; 2  

Đường thẳng 2 có VTCP u 2 6; 4; 5  

Câu 12 Trong không gian Oxyz cho các điểm A2;3; 0 , B 0;1 2 ,   C 1, 4, 1  .Viết

phương trình mặt phẳng (P) chứa B, C và song song với đường thẳng OA Tính

khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC

a) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mp (P)

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với mp (P) biết rằng mp (Q) cắt hai trục Oy, Oz lần lượt tại điểm phân biệt M và N sao cho OM = ON a) Vì (S) có tâm A và tiếp xúc (P) nên bán kính của (S) là R = d(a, (P)) = 8

cắt hai trục Oy và Oz tại M0; ; 0 ,a  N 0; 0;b phân biệt sao cho

Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH  HI=> HI lớn nhất khi A  I

Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến

) 3 1

;

; 2 1

; 1

; 2 ( ( 0

Câu 16 Trong không gian vớ i hê ̣ to ̣a đô ̣ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) và hai đường thẳng ( ) : 1

  Chứ ng minh: điểm M, (d), (d’)

cù ng nằm trên mô ̣t mă ̣t phẳng Viết phương trình mă ̣t phẳng đó

*Dễ thấy điểm M(1;-1;1) thuộc mf(P) , từ đó ta có đpcm

Câu 17 Cho mặt cầu (S): 2 2 2

x y z  x y z  a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S)

b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại M(1;1;1)

a.Từ phương trình mặt cầu ta có:

Mp(Q) // AB, (Q)  (P), cắ t (S) theo đườ ng tròn có bán kính 3 2

Ta có x2 + y2 + z2  2x + 8z  7 = 0  (x 1)2 + y2 + (z +4)2 = 24

Suy ra (S) có tâm I(1 ; 0 ;  4), bán kính R = 2 6

Gọi n P, n Q lần lượt là vecto pháp tuyến của mp(P), mp(Q) Ta có

Gọi r, d lần lươ ̣t là bán kính của (C), khoảng cách từ tâm I của (S) đến mp(Q)

Ta có diê ̣n tích hình tròn (C) bằng 18 nên r2 = 18

Do đó d2 = R2  r2 = 24  18 = 6  d = 6

Ta có d = 6  |d 2| = 6  d = 8 hoặc d =  4

Từ đó, có 2 mp là (Q1): 2x  y + z + 8 = 0, (Q2): 2x  y + z  4 = 0

Mp(Q) có pt trên có thể chứa AB

Kiểm tra trực tiếp thấy

A(1; 1; 1)  (Q1) nên AB // (Q1); A(1; 1; 1)  (Q2) nên AB  (Q2)

KL: pt mp(Q): 2x  y + z + 8 = 0

9.4 Phương trình mặt cầu

Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểmA(0; 0; 3), (2; 0; 1)  B  và mặt phẳng( ) : 3P x   y z 1 0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng

AB, bán kính bằng 2 11 và tiếp xúc với mặt phẳng (P)

Đường thẳng AB đi qua A(0;0;-3) có VTCP AB (2;0; 2)

Nên phương trình tham số của đường thẳng AB là:

2 0

3 2

x t y

Gọi I là tâm của mặt cầu thì I(2t;0;-3+2t)

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi:

- Mặt cầu ( )S có tâm D, tiếp xúc mp(ABC)

Tâm của mặt cầu: A(0; 3;1)

 Vì (P) tiếp xúc với ( )S nên

4 2

t y

t x

2 4

2 1 Gọi Bd(P), do B  d nên B(  1  2t; 4 t;  2t)

Do B  (P) nên 2 (  1  2t)  2 ( 4 t)  2t 6  0 t  4 B( 7 ; 0 ;  8 )

Gọi I là tâm mặt cầu (S), do I thuộc d nên I(  1  2a; 4 a;  2a)

Theo bài ra thì (S) có bán kính RIAd(I, (P))

2 2 2 2

2 2

1 2 2

6 2 ) 4 ( 2 ) 2 1 ( 2 ) 2 2 ( ) 1 ( )

35

; 1 0

175 110

65 )

16 4 ( ) 9 2

70

; 13

87

; 13

83 13

70 13

87 13

179 658 659

(1) 30

Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và mặt phẳng

 P : 2 –x y 2z  1 0 Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) và tìm tọa độ các giao điểm của mặt cầu đó với trục Ox

+) Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính

+) Tọa độ giao điểm của mặt cầu và trục Ox là nghiệm của hệ pt:

x z

Câu 7 Trong không gian với hệ trục 0xyz, cho hai điểm A(1; -2; 3), B(-1; 0; 1) và

mặt phẳng (P): x + y + z + 4 = 0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P) và viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng AB, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P)

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P), AH x 1;y 2;z 3

AH có ptts là :

1 2 3

Mặt khác: H∈ (P) nên suy ra: 1          t 2 t 3 t 4 0 t 2

3 3 2

3 3 2

t t

Câu 8 Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A(1;1; 1),

B(1; 2; 1), C(1; 1; 2) và A'(2; 2; 1) Tìm tọa độ các đỉnh B', C' và viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, A'

- Do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên BB'  AA' B' 2;3;1 

Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;-3), B(4;3;-2),

C(6;-4;-1) Chứng minh rằng A, B,C là ba đỉnh của một tam giác vuông và viết

phương trình mặt cầu tâm A đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

Ta có: (2; 2;1); (4; 5; 2) 2 2 ;

 không cùng phươngA; B; C lập thành tam giác Mặt khác: AB AC  2.4 2.( 5) 1.2      0 AB ACsuy ra ba điểm A; B;

C là ba đỉnh của tam giác vuông

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G(4;0; -2) Ta có: AG  6

Mặt cầu cần tìm có tâm A và bán kính AG  6 nên có pt: 2 2 2

(x 2)  (y 1)   (z 3)  6

Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm A(1; 1; 0); B(1; 0; 2);

C(2;0; 1), D(-1; 0; -3) Chứng minh A, B, C, D là 4 đỉnh của một hình chóp và viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó

a b c d  Vậy phương trình mc là: 2 2 2 5 31 5 50

Câu 12 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng

 P :x  y 2z   1 0 và hai điểm A2;0;0 , B 3; 1;2   Viết phương trình mặt cầu  S

tâm I thuộc mặt phẳng  P và đi qua các điểm A B, và điểm gốc toạ độ O

Giả sử I x y z , ,  Ta có I  P   x y 2z   1 0  1

1

x y z x