PHẦN 9 tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng và tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng

PHẦN 9 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

− Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và vuông góc với

đường thẳng d Tìm tọa độ điểm Bthuộc dsao cho AB= 27

íï

ïïî

¡ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi

qua điểm A và vuông góc với đường thẳng và tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng

D sao cho tam giác ABM vuông tại M

é ê ê

ê ê uuuu r uuur uuuu r uuur

* Vậy ta có hai điểm M cần tìm là M(0;1;4), M(2 2 13; ;

3 3 3 )

Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;-2;1), B(-1;0;3),

C(0;2;1) Lập phương trình mặt cầu đường kính AB và tìm tọa độ điểm H là chânđường cao kẻ từ A của tam giác ABC

Tìm được tọa độ tâm I của mặt cầu I(0;-1;2), bán kính mặt cầu:R= 3

Gọi I , R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu

Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784 π, suy ra 4 πR2 = 784 π ⇒ =R 14

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên IH ⊥ ( )P ⇒ ∈I d.

Do đó tọa độ điểm I có dạng I(2 6 ;5 3 ;1 2 + t + t − t), với t ≠ − 1.

Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:

Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ

điểm O’ đối xứng với O qua (ABC)

*Từ phương trình đoạn chắn suy ra pt tổng quát của mp(ABC) là:2x+y-z-2=0

*Gọi H là hình chiếu vuông góc của O l ên (ABC), OH vuông góc với

(ABC) nên OH//n( 2 ; 1 ; − 1 ) ;H∈(ABC)

Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) có t=

3

1 suy ra )

3

1

; 3

1

; 3

2

; 3

4 (

7 18

Kiểm tra thấy A và B nằm khác phía so với mặt phẳng ( )P

Gọi B x y z' ; ;( ) là điểm đối xứng với B(5; 1; 2 − − )

Suy ra B' 1; 3;4(− − ) Lại có MA MB− = MA MB− ' ≤AB' const =

Vậy MA MB− đạt giá trị lớn nhất khi M A B, , ' thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng AB' với mặt phẳng ( )P

'

AB có phương trình

1 3 2

x t y

B M P

9.2 Phương trình đường thẳng

Câu 1 Trong không gian với hệ trụcOxyz, cho hai điểm A(7;2;1), ( 5; 4; 3)B - - - và mặtphẳng( ) : 3P x- 2y- 6z+ = 3 0 Viết phương trình đường thẳng AB và chứng minhrằng AB song song với (P)

+ Đường thẳng AB đi qua A, VTCP uuurAB= −( 12; 6; 4 − − ) có PTTS là

− − Tìm tọa độ giao điểm của( d1 )và ( d2).Viết phương

trình đường thẳng (d) đối xứng (d1) qua (d2)

Tọa độ giao điểm I(1;2;-1)

Trên (d1) lấy M1(2;0;-3).tọa độ hình chiếu của M1lên (d2) là H(13 17; ; 16)

7 4 1 7

Câu 3 Trong không gian oxyz cho điểm A(0;2;2) Viết phương trình đường thẳng ∆

qua A và vuông góc đường thẳng 1: 1 2

Đường thẳng d1có VTCP u=(3;2;2)

∆ vuông d1 ⇔uuur rAB u = ⇔ = ⇒ 0 t 3 uuurAB= −( 2;1;2)

Vậy ∆ qua A có VTCP uuurAB= −( 2;1; 2) có PTTS:

2 2

Ta có nuurP(3; 2; 3 − − ) Giả sử B(2 + 3t ; –4 – 2t ; 1 + 2t) là giao điểm của ∆ và d

Khi đó uuurAB(− + 1 3 ; 2 2 ;5 2t − − t + t) , AB||( )P ⇒ABuuur uur⊥n P ⇔uuur uurAB n. P = ⇔ = 0 t 2

được: 2t – 1 +t – 1 – 3t + 1 = 0

⇒ Phương trình vô nghiệm ⇒ d // (P)

Lấy điểm A(0; 1;1) d − ∈

Gọi ∆ là đường thẳng qua A và vuông góc với mp(P)

x t : y 1 t

Thay x, y, z của phương trình ∆ vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

Gọi A = d1∩(P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d2∩ (P) suy ra B(2; 3; 1)

Đường thẳng ∆ thỏa mãn bài toán đi qua A và B

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là ur = (1;3; 1) −

Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là: 1 2

238

Gọi

chứa Giả sử tại H Hạ HK , thì Vậy góc AKH nhọn là góc giữa (P) và (Q) Và HK là đoạn vuông góc chung của d và nên Do (Q) vuông góc với d nên (Q) có dạng:

b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và d2 Tính khoảng cách từ A đến mp(P).

a/  d1 đi qua điểm M1(1; 2;3) - , có vtcp u =r1 (1;1; 1)

- d2 đi qua điểm M2(3;1;5), có vtcp u =r2 (1;2;3)

a Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (α)

b Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) và tiếp xúc với mặtcầu (S)



 = −



Vậy (β) có pt là x-2y+2z+12=0 hoặc x-2y+2z-12=0

Câu 3 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;3; 1 − ), B(− 1;1;3) và đườngthẳng d có phương trình 2x = y−−11= z1−2 Viết phương trình mặt phẳng trung trực củađoạn AB và tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho CAB là tam giác cân tại C

Tọa độ trung điểm M của đoạn AB: M(0; 2; 1), uuurAB= − −( 2; 2; 4)

Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB đi qua M, nhận nr =(1; 1; 2 − ) làm VTPT nên cóphương trình:

 = − +



= − −



Vậy pt của (P) là x+2y-z-2+4 6=0 hoặc x+2y-z-2-4 6=0

Pt của d được viết dưới dạng tham số 1 2

phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn cóbán kính bằng 3.

(S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3 (Q) chứa Ox ⇒ (Q): ay + bz = 0

Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (Q) đi qua tâm I

Suy ra: –2a – b = 0 ⇔b = –2a (a≠0) ⇒ (Q): y – 2z = 0

Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1;2), (0;0;2)- B vàđường thẳng : 3 6 1

Gọi (S) là mặt cầu tâm B, có bán kính là R

Ta có (S) tiếp xúc với (P) nên ta có R d= (B;(P)) 2 =

phẳng (P) đi qua M , song song với trục Ox , sao cho (P) cắt hai đường thẳng d d1; 2lần

lượt tại A, B sao cho AB = 1

Giả sử có mặt phẳng (P) thỏa yêu cầu đề bài

− Tìm tọa độ giao điểm của ∆ 1 và ∆2 và

viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho đường thẳng ∆ 2 là hình chiếu vuông góc của

đường thẳng ∆ 1 lên mặt phẳng (P).

Viết lại ∆ 1 và ∆2 dưới dạng tham số

Giải hệ phương trình tìm được giao điểm A(3; 0; 2)

Đường thẳng ∆ 1 có VTCP uur1 =(2; 3; 2 − )

Đường thẳng ∆ 2 có VTCP uuur2 =(6; 4; 5 − )

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆ ∆ 1 , 2 thì (Q) có VTPT là nr =u uur uur1, 2=(7; 22;26)

Vì ∆ 2 là hình chiếu vuông góc của đường thẳng ∆ 1 lên mặt phẳng (P) ⇒(P) chứa ∆ 2

và ( )P ⊥ ( )Q

Do đó (P) cũng đi qua A và có VTPT là n1=n u, 2 = −( 214;191; 104)−

(P) có phương trình là:− 214x+ 191y− 104z+ 850 0 =

Câu 12 Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2;3;0 ,) (B 0;1 2 , − ) (C 1, 4, 1 − ) .Viết

phương trình mặt phẳng (P) chứa B, C và song song với đường thẳng OA Tính

khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC

Theo đề bài mặt phẳng (P) có VTPT ( )

1;3;1

; 3; 2; 3 2;3;0

ABC S

a) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mp (P)

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với mp (P) biết rằng mp(Q) cắt hai trục Oy, Oz lần lượt tại điểm phân biệt M và N sao cho OM = ON.a) Vì (S) có tâm A và tiếp xúc (P) nên bán kính của (S) là R = d(a, (P)) = 8

3 Vậy pt của (S) là: 2 2 2 64

+ a = - b thì MNuuuur=(0; − −a a; ) Z [ ur(0;1;1) và nuur rQ ⊥u =>nuurQ =u nr uur, P=(0;1; 1− )

Khi đó mp (Q):y z− = 0 và M(0;0;0) và N(0;0;0) (loại)

Vậy ( )Q : 2x+ + − =y z 2 0

Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng

d có phương trình

3

1 1

Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH ≥HI=> HI lớn nhất khi A≡I

Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến

) 3 1

;

; 2 1 ( t t t H

d

H∈ ⇒ + + vì H là hình chiếu của A trên d nên

) 3

; 1

; 2 ( ( 0

Vậy phương trình mp(P) : x=0 hoặc 3x+4z =0

Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) và hai đường

cùng nằm trên một mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng đó

*(d) đi qua M1 (0; 1;0) − và có vtcp uuur1= − − (1; 2; 3)

(d’) đi qua M2 (0;1; 4) và có vtcp uuur2 = (1;2;5)

*Dễ thấy điểm M(1;-1;1) thuộc mf(P) , từ đó ta có đpcm

Câu 17 Cho mặt cầu (S): x2 +y2 + −z2 2x+ 6y− + = 8z 1 0

a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S)

b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại M(1;1;1)

a.Từ phương trình mặt cầu ta có:

Câu 18 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 1; 1), B(2; 2; 2), mặt

phẳng (P): x + y  z + 1 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2  2x + 8z  7 = 0 Viết phươngtrình mặt phẳng (Q) song song với đường thẳng AB, vuông góc với mặt phẳng (P) vàcắt (S) theo một đường tròn (C) sao cho diện tích hình tròn (C) bằng 18π

Mp(Q) // AB, (Q)  (P), cắt (S) theo đường tròn có bán kính 3 2

= (2; 1; 1) Suy ra pt mp(Q): 2x  y + z + d = 0

Gọi r, d lần lượt là bán kính của (C), khoảng cách từ tâm I của (S) đến mp(Q)

Ta có diện tích hình tròn (C) bằng 18π nên r2 = 18

Do đó d2 = R2  r2 = 24  18 = 6  d = 6

Ta có d = 6  |d 2| = 6  d = 8 hoặc d =  4.

Từ đó, có 2 mp là (Q1): 2x  y + z + 8 = 0, (Q2): 2x  y + z  4 = 0

Mp(Q) có pt trên có thể chứa AB

Kiểm tra trực tiếp thấy

A(1; 1; 1)  (Q1) nên AB // (Q1); A(1; 1; 1)  (Q2) nên AB  (Q2)

KL: pt mp(Q): 2x  y + z + 8 = 0

9.4 Phương trình mặt cầu

Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểmA(0;0; 3), (2;0; 1) − B − và mặt

phẳng( ) : 3P x y z− − + = 1 0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng

AB, bán kính bằng 2 11 và tiếp xúc với mặt phẳng (P)

Đường thẳng AB đi qua A(0;0;-3) có VTCP uuurAB= (2;0; 2)

Nên phương trình tham số của đường thẳng AB là:

2 0

3 2

x t y

Gọi I là tâm của mặt cầu thì I(2t;0;-3+2t)

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi:

6 3 2 1 ( ;( )) 2 11 2 11

 PTTQ của mp(ABC):8(x+ - 1) 12(y- 1) 24( + z- 1) = 0

8x- 12y+ 24z- 4 = Û 0 2x- 3y+ 6z- 1 0 =

- Mặt cầu ( )S có tâm D, tiếp xúc mp(ABC)

Tâm của mặt cầu: A -(0; 3;1)

 Vì (P) tiếp xúc với ( )S nên ( ,( )) 2.0 3.( 3)2 26.1 2 2

4 2

t y

t x

2 4

2 1 Gọi B=d∩(P), do B∈d nên B( − 1 + 2t; 4 −t; − 2t)

Do B∈(P) nên 2 ( − 1 + 2t) − 2 ( 4 −t) − 2t− 6 = 0 ⇔t= 4 ⇒B( 7 ; 0 ; − 8 )

Gọi I là tâm mặt cầu (S), do I thuộc d nên I( − 1 + 2a; 4 −a; − 2a)

Theo bài ra thì (S) có bán kính R=IA=d(I, (P))

2 2 2 2

2 2

1 2 2

6 2 ) 4 ( 2 ) 2 1 ( 2 ) 2 2 ( ) 1 ( )

2

2

(

+ +

−

−

−

− +

−

= +

+

− +

−

3

16 4 9 2

= +

175 110

65 )

16 4 ( ) 9 2

9

(

; 13

83 13

70 13

87 13

179 658 659

(1) 30

Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và mặt phẳng

( )P : 2 –x y+ 2z+ = 1 0 Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) vàtìm tọa độ các giao điểm của mặt cầu đó với trục Ox

+) Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính

x z

Câu 7 Trong không gian với hệ trục 0xyz, cho hai điểm A(1; -2; 3), B(-1; 0; 1) và

mặt phẳng (P): x + y + z + 4 = 0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P) vàviết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng AB, bán kính bằng 1 và tiếpxúc với mặt phẳng (P)

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P), uuurAH =(x− 1;y+ 2;z− 3)

AH có ptts là :

1 2 3

3 3 2

t t

và (x+ + 5 3) (+ − −y 4 3) (+ + +z 3 3) = 1.

Câu 8 Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A(1;1; 1),

B(1; 2; 1), C(1; 1; 2) và A'(2; 2; 1) Tìm tọa độ các đỉnh B', C' và viết phương trìnhmặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, A'

- Do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên uuur uuur BB' =AA' ⇒B' 2;3;1( )

Tương tự: CC uuuur uuur' =AA' ⇒C' 2; 2; 2( )

- Gọi phương trình mặt cầu (S) cần tìm dạng

Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;-3), B(4;3;-2),

C(6;-4;-1) Chứng minh rằng A, B,C là ba đỉnh của một tam giác vuông và viết

phương trình mặt cầu tâm A đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

thành tam giác Mặt khác: uuur uuurAB AC = 2.4 2.( 5) 1.2 0 + − + = ⇒AB⊥ACsuy ra ba điểm A; B;

C là ba đỉnh của tam giác vuông

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G(4;0; -2) Ta có: AG= 6

Mặt cầu cần tìm có tâm A và bán kính AG= 6 nên có pt: 2 2 2

(x− 2) + − (y 1) + + (z 3) = 6

Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm A(1; 1; 0); B(1; 0; 2);

C(2;0; 1), D(-1; 0; -3) Chứng minh A, B, C, D là 4 đỉnh của một hình chóp và viếtphương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó

Ta có uuurAB = (0; 1; 2); − uuuurAC = − (1; 1;1);uuuurAD = − − − ( 2; 1; 3)

uuur uuuur uuur uuuur uuuur

Do uuur uuuur uuuurAB AC, .AD = − ≠7 0, nên 3 véc tơ uuur uuuur uuuurAB AC AD, , không đồng phẳng suy ra A, B,

Với t= ⇒ 1 M(0;1;0)

t = − ⇒ 1 M(0; 1;0 − )

Câu 12 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

( )P :x y− − 2z− = 1 0 và hai điểm A(2;0;0 ,) (B 3; 1;2 − ) Viết phương trình mặt cầu ( )S

tâm I thuộc mặt phẳng ( )P và đi qua các điểm A B, và điểm gốc toạ độ O

Giả sử I x y z( , , ) Ta có I ∈( )P ⇒ − −x y 2z− = 1 0 ( )1

Do A B O, , ∈( )S ⇒IA =IB =IO Suy ra 2 5 ( )2

1

x y z x