Tính chất bóng của phương trình sai phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ THỦY TÍNH CHẤT BÓNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014... ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM THỊ THỦY

TÍNH CHẤT BÓNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM THỊ THỦY

TÍNH CHẤT BÓNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Lê Huy Tiễn

Hà Nội - 2014

Mục lục

1 Điểm bất động hyperbolic, đa tạp ổn định, đa tạp không ổn

1.1 Điểm bất động hyperbolic của vi phôi 1

1.2 Đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định 2

1.3 Tính chất điểm yên ngựa 3

1.4 Tính trơn của đa tạp ổn định địa phương 10

1.5 Vi phôi phụ thuộc tham số 16

2 Tập hyperbolic của vi phôi 19 2.1 Định nghĩa tập hyperbolic 19

2.2 Tính bị chặn của phép chiếu 20

2.3 Tính liên tục của phép chiếu 22

2.4 Nhị phân mũ của phương trình sai phân 26

2.5 Tính chất của tập hyperbolic 30

2.6 Tính vững của tập hyperbolic 32

3 Định lý bóng cho tập hyperbolic của vi phôi 35 3.1 Định lý bóng 35

3.2 Nói thêm về tính vững của tập hyperbolic 41

3.3 Không gian tiệm cận của tập hyperbolic 45

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành được chương trình đào tạo và hoàn thiện luận văn này, trong thời gian vừa qua tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quí báu của gia đình, thầy cô và bạn bè Vì vậy, nhân dịp này, tôi muốn được gửi lời cảm ơn tới mọi người

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, thầy

đã rất nhiệt tình hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong quá trình hoàn thành luận văn Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các thầy cô trong Khoa, những người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tôi trong quá trình học cao học

Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện các thủ tục bảo vệ luận văn

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình tôi, những người luôn động viên và ủng

hộ tôi

LỜI MỞ ĐẦU

Tính chất bóng có nguồn gốc từ việc giải số phương trình vi phân/sai phân Tính chất bóng có nghĩa là tồn tại một quỹ đạo gần một giả quỹ đạo cho trước Tính bóng được nghiên cứu bởi Anosov, Bowen, Sinai - những người đầu tiên nhận ra rằng nó liên quan đến bài toán ổn định toàn cục của hệ động lực Trước đây, Anosov, Bowen, Sinai đều dùng phương pháp hình học để nghiên cứu tính bóng Sau này, Palmer đã dùng cách tiếp cận giải tích cho tính bóng thông qua lý thuyết nhị phân mũ của phương trình vi phân

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính bóng của hệ động lực trong lân cận của tập hyperbolic từ cuốn sách "Shadowing in Dynamical Systems Theory and Applications" của Ken Palmer năm 2000

Luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1 trình bày những khái niệm về điểm cố định hyperbolic của vi phôi; đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định; tính chất điểm yên ngựa; tính nhẵn của đa tạp ổn định địa phương và vi phôi phụ thuộc tham số

Chương 2 trình bày định nghĩa của tập hyperbolic; các tính chất của tập hyperbolic Ngoài ra, chương này cũng trình bày về tính liên tục và tính bị chặn của phép chiếu; nhị phân mũ của phương trình sai phân Tính co giãn trên tập bất biến của vi phôi được định nghĩa và chỉ ra nó là một hệ quả của tính hyperbolic

Chương 3 là nội dung chính của luận văn Trong chương này chúng tôi nêu

và chứng minh định lý bóng Sau đó chúng ta áp dụng định lý bóng để chứng minh kết quả về tính vững của tập hyperbolic và không gian tiệm cận của các tập hyperbolic

Do thời gian có hạn, luận văn có thể không tránh khỏi thiếu sót Chúng tôi mong nhận được ý kiến đóng góp để luận văn hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 03 tháng 12 năm 2014

Học viên

Phạm Thị Thủy

Chương 1

Điểm bất động hyperbolic,

đa tạp ổn định, đa tạp

không ổn định của vi phôi

1.1 Điểm bất động hyperbolic của vi phôi

Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa vi phôi)

Cho U là một tập mở trong Rn Ánh xạ f : U ⊂ Rn → Rn được gọi là Cr

-vi phôi nếu tồn tại f−1 và các ánh xạ f, f−1 thuộc lớp Cr

Định nghĩa 1.1.2 (Định nghĩa điểm bất động hyperbolic của vi phôi, không gian con ổn định và không gian con không ổn định)

Cho U là một tập mở trong Rn, f : U → Rn là C1 - vi phôi Điểm x0 ∈ U được gọi là điểm bất động hyperbolic của f nếu f (x0) = x0 và các giá trị riêng của ma trận Df (x0) không nằm trên đường tròn đơn vị Khi đó tổng của các không gian riêng suy rộng ứng với các giá trị riêng nằm trong (ngoài) đường tròn đơn vị tương ứng gọi là không gian con ổn định (không ổn định) và được

ký hiệu là Es (Eu)

1.2 Đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định

Cho U là tập con mở trong Rn, f : U → Rn là C1 - vi phôi Từ định nghĩa của Es, Eu trong mục 1.1.2, ta biết rằng Es, Eu là bất biến dưới Df (x0) Hơn nữa, bằng kết quả trong đại số tuyến tính, nếu ta gọi λ1 và λ2 là các hằng số dương sao cho |λ| < λ1 < 1 với tất cả các giá trị riêng λ của Df (x0) mà

|λ| < 1 và 1 < λ−12 < |λ| với tất cả các giá trị riêng λ của Df (x0) mà |λ| > 1 Khi đó tồn tại các hằng số dương k1, k2 sao cho với ∀k ≥ 0, k ∈ Z

k[Df (x0)]kξk ≤ k1λk1kξk với ∀ξ ∈ Es và

k[Df (x0)]−kηk ≤ k2λk2kηk với ∀η ∈ Eu Như vậy

[Df (x0)]kξ → 0 khi k → ∞ nếu và chỉ nếu ξ ∈ Es và

[Df (x0)]kξ → 0 khi k → −∞ nếu và chỉ nếu ξ ∈ Eu Định nghĩa 1.2.1 (Định nghĩa đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định) Cho x0 là một điểm bất động hyperbolic của C1 - vi phôi f : U → Rn Khi

đó, tập hợp

Ws(x0) = {x ∈ U : fk(x) → x0, k → ∞}

được gọi là đa tạp ổn định của x0

Tập hợp

Wu(x0) = {x ∈ U : fk(x) → x0, k → −∞}

được gọi là đa tạp không ổn định của x0

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng đa tạp ổn định, mặc dù tên của nó như vậy, có thể không là một đa tạp con của Rn Tuy nhiên chúng ta có thể mô tả nó bằng hệ các đa tạp ổn định địa phương mà chúng là các đa tạp con của Rn

Định nghĩa 1.2.2 (Định nghĩa đa tạp ổn định địa phương)

Cho U là một tập con mở trong Rn, f : U → Rn là một C1 - vi phôi với x0

là một điểm bất động hyperbolic Với ε > 0 cho trước, ta định nghĩa đa tạp ổn định địa phương của x0 là

Ws,ε(x0) = {x ∈ U : fk(x) → x0 khi k → ∞ và kfk(x) − x0k < ε, ∀k ≥ 0}

Ta dễ dàng thấy rằng với mỗi ε > 0 thì

Ws(x0) = ∪

k≥0f−k(Ws,ε(x0))

Ngoài ra, ta còn thấy tính chất bất biến

f (Ws(x0)) = Ws(x0), f (Ws,ε(x0)) ⊂ Ws,ε(x0)

Trong phần tiếp theo, chúng ta chỉ ra rằng với ε > 0 đủ nhỏ thì tập Ws,ε(x0)

là một đa tạp con trơn thực sự của Rn chứa x0 sao cho không gian tiếp xúc với

Ws,ε(x0) tại x0 là không gian con ổn định, Tx0Ws,ε(x0) = Es

1.3 Tính chất điểm yên ngựa

Định nghĩa 1.3.1 (Khái niệm về tính chất điểm yên ngựa)

Cho x0 là một điểm bất động hyperbolic của vi phôi f , x0 được gọi là có tính chất điểm yên ngựa nếu tồn tại hằng số dương ∆ mà bất kỳ điểm x nào thỏa mãn kfk(x) − x0k ≤ ∆ với mọi k ≥ 0 thì fk(x) → x0 khi k → ∞

Đặc biệt hơn nữa, chúng ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 1.3.2 Cho U ⊂ Rn là tập mở và f : U → Rn là C1 - vi phôi với x0

là một điểm bất động hyperbolic và tương ứng với các không gian con ổn định, không ổn định Es, Eu sao cho các bất đẳng thức sau được thỏa mãn

k[Df (x0)]kξk ≤ k1λk1kξk với ξ ∈ Es, (1.1) k[Df (x0)]−kηk ≤ k2λk2kηk với η ∈ Eu (1.2) Gọi P là ánh xạ chiếu của Rn lên Es dọc theo Eu và đặt Ms = kP k,

Mu = kI − P k Giả sử ∆ là hằng số dương đủ nhỏ (ta luôn tìm được) thỏa mãn

σ = [k1Ms(1 − λ1)−1 + k2Muλ2(1 − λ2)−1]w(∆) < 1, (1.3)

ở đây

ω(∆) = sup{kDf (x) − Df (x0)k : kx − x0k ≤ ∆}

Khi đó nếu x ∈ U và kfk(x) − x0k ≤ ∆ với ∀k ≥ 0 thì bất đẳng thức

kfk(x) − x0k ≤ k1Ms(1 − σ)−1[λ1+ k1Ms(1 − σ)−1ω(∆)]kkx − x0k thỏa mãn với ∀k ≥ 0

Như vậy nếu có thêm điều kiện

k1Msω(∆) < (1 − σ)(1 − λ1) thì suy ra rằng fk(x) → x0 khi k → ∞, tức là x0 có tính chất của điểm yên ngựa

Chứng minh Đặt yk = fk(x) − x0 Khi đó fk(x) = yk + x0

Với k ≥ 0:

yk+1 = fk+1(x) − x0,

yk+1 = f (x0+ yk) − x0 Như vậy,

trong đó A = Df (x0), g(yk) = f (x0 + yk) − f (x0) − Df (x0)yk

Đặt

g(y) = f (x0+ y) − f (x0) − Df (x0)y

Ta biết rằng

f (x0+ y) − f (x0) = Df (ξ)y (với ξ nào đó mà ξ = λx0+ (1 − λ)(x0 + y), λ ∈ (0, 1)) và như vậy

g(y) = Df (ξ)y − Df (x0)y

Với giả thiết ω(∆) = sup{kDf (x) − Df (x0)k, với kx − x0k ≤ ∆} thì

kg(y)k ≤ ω(∆) · kyk nếu kyk < ∆

Tiếp theo, đặt uk = P yk, vk = (I − P )yk Rõ ràng uk + vk = yk

Từ A giao hoán với P , tức là AP = P A, nhân (1.4) với P , ta được

P yk+1 = uk+1 = P (Ayk + g(yk))

uk+1 = AP (yk) + P g(yk)

uk+1 = Auk + P g(yk)

Theo tính chất của dãy truy hồi, với k ≥ 0, ta có kết quả

uk = Aku0+

k−1

X

m=0

Ak−m−1P g(ym) (1.5)

Tương tự, nhân (1.4) với (I − P ) ta được

(I − P )yk+1 = vk+1 = (I − P )(Ayk + g(yk))

vk+1 = A(I − P )(yk) + (I − P )g(yk)

vk+1 = A(vk) + (I − P )g(yk)

Nhân hai vế với A−1, và biến đổi, ta thu được

vk = A−1vk+1 − A−1(I − P )g(yk)

Truy hồi vk theo vm, với 0 ≤ k ≤ m ta thu được

vk = A−(m−k)vm −

m−1

X

l=k

A−(l−k+1)(I − P )g(yl) (1.6)

Ta sẽ xét vk khi m → ∞ Ta có

kA−(m−k)vmk = kA−(m−k)(I − P )(ym)k

≤ k2λm−k2 Mukymk ≤ k2λm−k2 Mu∆

(Theo giả thiết kfk(x) − x0k ≤ ∆ với k ≥ 0 mà yk = fk(x) − x0 ⇒ kykk ≤ ∆ với ∀k ≥ 0)

⇒ kA−(m−k)vmk → 0 khi m → ∞

Ngoài ra,

k

∞

X

l=k

A−(l−k+1)(I − P )g(yl)k ≤

∞

X

l=k

k2λl−k+12 Muω(∆)∆

Áp dụng Mệnh đề 2.5.2 cho g và SO, nếu σ và ∆ đủ nhỏ chỉ phụ thuộc vào

K1, K2, λ1, λ2, Ms, Mu và ω(·) (như đã xác định trong (??)), tồn tại các hằng

số L1, L2 chỉ phụ thuộc vào K1, K2, λ1, λ2, Ms, Mu sao cho nếu

kzk − zkk ≤ ∆ với |k| ≤ N, thì

kzk − zkk ≤ [L1β1k+N + L2β2N −k]∆ với |k| ≤ N

(Chú ý rằng trong chứng minh của Mệnh đề 2.5.2 được áp dụng cho g, ω(·) được thay thế bởi ω(∆) + 2σ, do

kDg(x) − Dg(y)k ≤ kDg(x) − Df (x)k + kDf (x) − Df (y)k + kDf (y) − Dg(y)k.) Cho trước ε > 0, chọn N > 0 sao cho

[L1β1N + L2β2N]∆ < ε (3.18) Tiếp theo chú ý rằng với |k| ≤ N

kzk − zkk ≤ kzk − xkk + kxk − xkk + kxk − zkk

≤ 2M σ + kxk − xkk

≤ ∆, với điều kiện là

4M σ ≤ ∆

và kx − xk đủ nhỏ sao cho

kxk − xkk ≤ ∆/2 với |k| ≤ N

Khi đó từ Mệnh đề 2.5.2 suy ra rằng

kh(x) − h(x)k = kz0− z0k ≤ [L1β1N + L2β2N]∆ < ε

Vì vậy h là liên tục

Cuối cùng, ta chứng minh rằng h−1 cũng liên tục (Thực ra điều này suy được ngay từ tính liên tục của h và tính compact của S Chứng minh dưới đây

có một ưu điểm là có thể sử dụng được trong trường hợp tập S không compact)

Giả sử z, z thuộc SO và đặt zk = gk(z), zk = gk(z) với k ∈ Z Các quỹ đạo tương ứng {xk}∞k=−∞ và {xk}∞k=−∞ của f trong S thỏa mãn

kzk − xkk ≤ M σ, kzk − xkk ≤ M σ với k ∈ Z Ở đây z = h(x0), z = h(x0) Chọn β1, β2 như trong (3.17) Khi

đó áp dụng Mệnh đề 2.5.2 cho f và S, tồn tại một số dương ∆ chỉ phụ thuộc vào K1, K2, λ1, λ2, Ms, Mu và ω(·) và các hằng số L1, L2 chỉ phụ thuộc vào

K1, K2, λ1, λ2, Ms, Mu sao cho nếu

kxk − xkk ≤ ∆ với |k| ≤ N, thì

kxk − xkk ≤ [L1β1k+N + L2β2N −k]∆ với |k| ≤ N

Cho trước ε > 0, ta chọn N như trong (3.18) Chú ý rằng với |k| ≤ N

kxk − xkk ≤ kxk − zkk + kzk − zkk + kzk − xkk

≤ 2M σ + kzk − zkk

≤ ∆, với điều kiện là

4M σ ≤ ∆

và kz − zk đủ nhỏ sao cho

kzk − zkk ≤ ∆/2 với |k| ≤ N

Khi đó suy ra rằng

kh−1(z) − h−1(z)k = kx0− x0k ≤ [L1β1N + L2β2N]∆ < ε

Vậy ta đã chứng minh rằng h và h−1 liên tục và Định lý 3.2.2 được chứng minh xong

3.3 Không gian tiệm cận của tập hyperbolic

Cho f : U → Rn là C1 - vi phôi và S là tập compact hyperbolic của f Chúng ta có thể xác định đa tạp ổn định của S :

Ws(S) = {x ∈ U : dist (fk(x), S) → 0 khi k → ∞}