Sử dụng phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN o0o -HÀ THỊ LY SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU LUẬN VĂ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

o0o

-HÀ THỊ LY

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU

TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

o0o

-HÀ THỊ LY

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU

TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - 2015

Mục lục

1 Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định

1.1 Khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân 6 1.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân

tuyến tính 6

1.1.2 Hệ rút gọn 9

1.1.3 Các khái niệm về ổn định 10

1.2 Định nghĩa và các tính chất chính của số mũ đặc trưng Lyapunov 11 1.3 Số mũ đặc trưng của hàm ma trận 16

1.4 Phổ Lyapunov và phép biến đổi Lyapunov đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính 18

1.4.1 Phổ của hệ tuyến tính 18

1.4.2 Bất đẳng thức Lyapunov 21

1.4.3 Phép biến đổi Lyapunov 22

1.4.4 Một số ví dụ về phương pháp số mũ 23

1.5 Phương pháp hàm Lyapunov trong Rn 25

1.5.1 Các hàm xác định dấu 25

1.5.2 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định 26

1.5.3 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận 28

1.5.4 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định 30

1.6 Các ví dụ về phương pháp hàm Lyapunov 32

2 Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov-Bagdanov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ động lực 34 2.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều và một vài khái niệm mở đầu 35

2.1.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều 35

2.1.2 Định nghĩa tập bất biến 35

2.1.3 Tập ω - giới hạn của hệ động lực 36

2.1.4 Chuyển động ổn định theo Lagrange 38

2.1.5 Điểm đứng yên 38

2.2 Khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov 39

2.2.1 Một số khái niệm cơ bản 39

2.2.2 Tính ổn định của tập V của hệ động lực f (p, t) 42

2.2.3 Các ví dụ minh họa 49

Mở đầu

Trong các mô hình ứng dụng của lý thuyết phương trình vi phân, chúng ta thường gặp các bài toán liên quan đến các hệ phương trình vi phân phi tuyến hoặc một tập nghiệm nào đó của các phương trình vi phân Trong các trường hợp này nếu sử dụng các phương pháp thông thường để nghiên cứu hệ động lực tuyến tính hoặc hệ phương trình vi phân tuyến tính có thể sẽ gặp nhiều khó khăn, phức tạp Từ lâu, người ta đã xây dựng được nhiều phương pháp khác nhau để vượt qua các khó khăn trên (xem [4], [8], [1])

Mục đích của bản luận văn này là trình bày lại một số kết quả liên quan tới việc phát triển và cải tiến các phương pháp quen thuộc đã biết trong lý thuyết định tính của phương trình vi phân (chẳng hạn phương pháp số mũ Lyapunov hay phương pháp tập bất biến của hệ động lực) và sử dụng chúng cho việc nghiên cứu tính ổn định của chuyển động theo Lyapunov hoặc theo Lagrange

Nội dung của luận văn có thể chia làm hai phần chính

- Phần thứ nhất trình bày lại các kết quả cơ bản về phương pháp số mũ Lyapunov và phương pháp hàm Lyapunov

- Phần thứ hai của bản luận văn dành cho việc trình bày lý thuyết số mũ đặc trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov và tính ổn định của hệ động lực tổng quát trong không gian mêtric

Bố cục luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân

Chương 2: Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov - Bagdanov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ động lực

Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS Đặng Đình Châu Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy -người đã dành nhiều thời gian và công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc hoàn thành bản luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học,

trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội về kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian tôi học tập tại trường Tôi xin cảm ơn phòng Sau đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luận văn

Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân đã là chỗ dựa vững chắc cho tôi trong cuộc sống và học tập

Mặc dù đã có nhiều sự cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để bản luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2015

Hà Thị Ly

Chương 1

Sử dụng các phương pháp Lyapunov

để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân.

Bài toán nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân là một trong những bài toán cơ bản của lý thuyết định tính phương trình vi phân Để xác lập các điều kiện đủ cho tính ổn định của các nghiệm hoặc tập nghiệm của

hệ phương trình vi phân ta có thể sử dụng các phương pháp của nhà toán học Nga A.M Lyapunov Phương pháp này được Lyapunov xây dựng từ năm 1918 (xem [2]) và ngày nay đã được phát triển thành một lý thuyết khá hoàn thiện

và có khả năng áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học

tự nhiên

Trong chương 1 của bản luận văn này, chúng tôi sẽ dành cho việc trình bày lại một số kết quả cơ bản nhất của các phương pháp nghiên cứu tính ổn định chuyển động của Lyapunov Đó là phương pháp số mũ Lyapunov (xem [4]) và phương pháp hàm Lyapunov (xem [4], [8]) Dựa vào các phương pháp cơ bản này người ta có thể mở rộng và phát triển thành các phương pháp mới để áp dụng cho một số dạng của hệ động lực quen thuộc (xem [10]) Một trong các

mở rộng thú vị của các phương pháp Lyapunov mà chúng tôi sẽ đề cập tới trong bản luận văn này là phương pháp số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov (xem [6], [11]) Phương pháp này sẽ được giới thiệu trong chương 2

Một trong những vấn đề thường được thảo luận sâu sắc trong các công trình nghiên cứu gần đây là "bình luận" về tính ưu việt hoặc các hạn chế còn để lại trong các phương pháp nghiên cứu tính ổn định Trong khuôn khổ của một bản luận văn thạc sĩ chúng tôi xin phép không trình bày một cách chi tiết vấn đề này Chúng tôi sẽ dành sự quan tâm nhiều hơn cho việc xây dựng các ví dụ với mục tiêu là ứng dụng các phương pháp đã được trình bày trong chương này cho bài toán nhiễu

Trước khi đi vào các phương pháp, chúng tôi xin đưa ra một số khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân

trình vi phân

1.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

Giả sử B là không gian Banach Trong không gian B ta xét phương trình vi phân

dx(t)

dt = f (t, x(t)), (1.1) trong đó t ∈R+, x(.) ∈B và hàm f :R+×D →B với D là miền đơn liên trong

không gian Banach B Từ nay về sau nếu không nói gì thêm ta sẽ hiểu nghiệm của (1.1) là nghiệm theo nghĩa cổ điển như sau:

Định nghĩa 1.1 Hàm x = x(t), (x : I →B; I ⊂R+ xác định trên I, khả vi liên tục theo t ∈ I) được gọi là nghiệm của (1.1) nếu khi thay vào (1.1) ta thu được một đồng nhất thức trên I Tức là

dx(t)

dt = f (t, x(t)), ∀t ∈ I.

Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0) = x0 với (t0, x0) ∈ I ×B cho trước.

Tương ứng với phương trình (1.1) ta thường xét phương trình tích phân sau:

x(t) = x0+

Z t

t 0

f (τ, x(τ ))dτ. (1.2)

Nhận xét: Nếu hàm f liên tục theo chuẩn trong B thì ta có thể chỉ ra rằng nghiệm của(1.2)là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại.Sau đây ta ký hiệu:

S(ε,η) =(t, x) ∈R+×B: |t − t0| ≤ ε, ||x − x0|| ≤ η ,

với ε > 0, η > 0 là lân cận đóng của điểm (t0, x0) Khi đó ta có định lý tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy như sau:

Định lý 1.1 (Tính duy nhất nghiệm địa phương)

Giả sử tồn tại một lân cận đóng của(t0, x0)sao cho trong lân cận đó hàmf (t, x)

liên tục theo t, ||f (t, x0)|| ≤ M0< +∞ và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:

||f (t, x2) − f (t, x1)|| ≤ M ||x2− x1||, (1.3)

M là một hằng số hữu hạn

Khi đó tồn tại một lân cận của điểm x0 mà trong lân cận đó thì (1.1) có duy nhất nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0) = x0

Chứng minh Từ giả thiết ta suy ra tồn tại ε > 0, η > 0 sao cho trong miền

|t − t 0 | ≤ ε, ||x − x 0 || ≤ η, ta có:

||f (t, x)|| ≤ ||f (t, x 0 )|| + ||f (t, x) − f (t, x 0 )||

≤ ||f (t, x0)|| + M η ≤ M1 < +∞.

Lấyδ = min ε,Mη

1
và ký hiệuCδ(B)là không gian Banach các hàm liên tục x(t)

xác định trên |t − t0| ≤ δ với chuẩn

|||x||| = sup

|t−t 0 |≤δ

||x(t)||.

Gọi Bη (x0) = {x ∈ Cδ(B) : |||x − x0||| ≤ η}

Xét toán tử:

(Sx)(t) = x0+

Z t

t 0

f (τ, x(τ ))dτ.

Ta có:

||(Sx)(t) − x 0 || = ||

Z t

t 0

f (τ, x(τ ))dτ || ≤ ||t − t 0 || sup

τ ∈[t 0 ,t]

||f (τ, x(τ ))||

≤ δM1≤ η.

Suy ra toán tử S là ánh xạ đi từ Bη vào Bη

Hơn nữa, với x1, x2 ∈Bη, từ điều kiện Lipschitz ta có đánh giá:

||(Sx 2 )(t) − (Sx 1 )(t)|| ≤

Z t

t 0

||f (τ, x 2 (τ )) − f (τ, x 1 (τ ))||dτ

≤ M

Z t

t 0

||x 2 (τ ) − x 1 (τ )||dτ ≤ M (t − t 0 )|||x 2 − x 1 |||.

Mặt khác ta lại có:

|| S2x2
(t) − S2x1
(t) || ≤ M

t Z

t 0

|| (Sx2) (τ ) − (Sx1) (τ ) ||dτ

≤ M2|||x2− x1|||

t Z

t 0

(τ − t0) dτ

= [M (t − t0)]

2

2! |||x2− x1|||.

Sử dụng phép đánh giá liên tiếp ta được:

|| (Snx 2 ) (t) − (Snx 1 ) (t) || ≤ [M (t − t0)]

n

n! |||x 2 − x 1 |||

||Snx 2 − Snx 1 || ≤ [δM ]

n

n! |||x 2 − x 1 |||.

Do [δM ]n! → 0khi n → +∞ nên với n đủ lớn thìSn là toán tử co trong Bη Do

đó, sử dụng định lý ánh xạ co ta có thể suy ra rằng phương trình tích phân

x(t) = x 0 +

Z t

t 0

f (τ, x(τ ))dτ.

Nên x(t) = (Sx)t có nghiệm duy nhất Do đó tồn tại duy nhất nghiệm

x(t) ∈Bη(x0)

Định lý 1.2 (Sự kéo dài nghiệm của bài toán Cauchy)

Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t 0, hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện ||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||), trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất

r Z

r 0

dr

L (r) → ∞, khi r → ∞,

khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.2) có thể kéo dài trên khoảng thời gian

vô hạn t0 ≤ t < ∞

Chứng minh Vì

||x(t2) − x(t1)

t2− t1 || ≥

||x(t2)|| − ||x(t1)||

t2− t1

⇒ ||dx

dt || ≥

d||x||

dt

.

Mặt khác ta có

d (x)

dt = f (t, x (t)) ,

và

kf (t, x)k ≤ L (kxk) ,

nên ta suy ra

L (kxk) ≥

d kxk dt

.

Lấy tích phân dọc theo đường cong x = x(t) từ điểm x0 = x (t0) đến điểm x

theo chiều tăng của t ta được:

t Z

t 0

dr ≥

t Z

t 0

d kxk

dt · 1

L (kxk)dr

⇒ t − t0 ≥

kxk Z

kx 0 k

dr L(kxk).

Kết luận

Bản luận văn này đã trình bày lại một cách hệ thống các nội dung sau đây : Phương pháp số mũ Lyapunov và phương pháp hàm Lyapunov Sau đó đã trình bày cách phát triển các phương pháp đó thành phương pháp số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov để nghiên cứu tính ổn định của tập bất biến cho hệ động lực tổng quát

Đóng góp nhỏ của luận văn này là xây dựng được các ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các phương pháp trên cho hệ động lực tổng quát

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết

ổn định, NXB Đại học Quốc gia Hà nội, (2000)

[2] A.M Lyapunov, Bài toán tổng quát về ổn định chuyển động Tuyển tập các công trình V.6.T.2, (1956) (Bằng tiếng Nga)

[3] A Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Diffirential Equations, Springer - Verlag, Beclin - NewYork (1983)

[4] B.P.Demidovic, Lectures on the mathematical theory of stability, "Nauka" Moscow (Russian) (1967)

[5] C.Chicone - Y.Latushkin, Evolution Semigroup in dynamical systems differential equations, Amer Math.Soc (1999)

[6] L.A Chelusheva, Về lý thuyết số đặc trưng tổng quát của các phương trình

vi phân T.4 N9 trang 1610 - 1627 (Bằng tiếng Nga)

[7] J.D.Murray, Mathematical Biology Spatial Modeds and Biomedical Applica-tions, Third Edition, Springer (2001)

[8] Ju L.Daleckii and M.G.Krein, Stability of Solutions of Differential Equa-tions in Banach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island, (1974)

[9] Klaus-Jochen Engel Rainer Nagel, One-Parameter Semigroups for linear evolution Equations, Springer Verlog NewYork (2000)

Tài liệu tham khảo 54

[10] N.Rush.P.Abets - M.Lalya, Phương pháp trực tiếp của Lyapunov về lý thuyết ổn định, Mosscow (1988) (Bằng tiếng Nga)

[11] U.X Bagdanov, Phương pháp định tính của lý thuyết dao động Tuyển tập các công trình Kiev, (1970) (Bằng tiếng Nga)

[12] U.X Bagdanov, Về dấu hiệu biểu thị tính ổn định tiệm cận nhờ số vd−

bé, Tạp chí phương trình vi phân (Differential Equations), 1966, TII, N3 (Bằng tiếng Nga)