Tính ổn định của phương trình volterra vi tích phân tuyến tính trên không gian banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH______________________ Nguyễn Thành Trung TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH TRÊN KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thành Trung

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thành Trung

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành : Toán Giải tích

Mã số :

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS LÊ HOÀN HOÁ

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

LỜI CẢM ƠN

Để thực hiện thành công luận văn này tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy cô thuộc hai trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Đại học Khoa học Tự Nhiên đã nhiệt tình giảng dạy cho tôi trong suốt khoá học, cảm

ơn phòng Khoa học Công nghệ Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và khi thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cám ơn PGS TS Lê Hoàn Hoá đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt thời gian qua, cám ơn các anh chị học viên lớp Giải tích K17 đã động viên giúp đỡ và cho nhiều ý kiến quý báu giúp tôi hoàn thiện luận văn này

Tác giả luận văn Nguyễn Thành Trung

MỤC LỤC

Trang Trang phụ bìa

Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắc

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 : CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 4

Chương 2 : TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH KHẢ TÍCH CỦA ÁNH XẠ GIẢI 10

2.1 Định lý 2.1 10

2.2 Định lý 2.2 13

Chương 3 : ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN ĐỀU VÀ NGHIỆM -BỊ CHẶN, NGHIỆM HẦU TUẦN HOÀN TIỆM CẬN 19

3.1 Nghiệm -bị chặn 19

3.2 Nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận 22

Chương 4 : ÁP DỤNG VÀO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT HƠN 30

4.1 Áp dụng vào phương trình Volterra tổng quát hơn 30

4.2 Ví dụ 4.2 31

KẾT LUẬN 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Trong luận văn này, chúng tôi kí hiệu

- X, X  không gian Banach với chuẩn X

- Với J  kí hiệu:

+ C J X( ; ) không gian các hàm liên tục trên J, nhận giá trị trên X

+ ( ; )BC J X không gian con của gồm các hàm liên tục và bị

chặn trên J Khi đó

( ; )

C J X

( ; )

BC J X là không gian Banach với chuẩn sup

J

- L(X) không gian Banach các ánh xạ tuyến tính bị chặn trên X với chuẩn ánh

xạ tuyến tính

- AP( ;X) không gian các hàm : f  X hầu tuần hoàn

MỞ ĐẦU

Trong luận văn này, chúng tôi xem xét các phương trình Volterra vi tích phân tuyến tính:

    0

( )

t

du t

dt



   

( )

t

dv t

dt





    0

( )

t

du t

dt



   

( )

t

dv t

dt





trong đó:

- A là phần tử sinh của nửa nhóm compact C0 các ánh xạ tuyến tính bị chặn

trên không gian Banach X

- B(t,s) ánh xạ tuyến tính bị chặn trên X thoả mãn hầu tuần hoàn theo t đều

theo s

- Trong trường hợp X là hữu hạn chiều, các tác giả trong [1], [2] đã đánh

giá được mối liên hệ giữa tính ổn định của phương trình Volterra vi tích phân

và phương trình giới hạn Trong đó, nổi bật là tính ổn định tiệm cận đều và sự

khả tích của ánh xạ giải (resolvent operator), ứng dụng để chỉ ra sự tồn tại của

nghiệm bị chặn của phương trình không thuần nhất

- Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi mở rộng nhiều kết quả

trong [1], [2] cho trường hợp X là vô hạn chiều Nếu theo con đường trong [1], [2] khi X vô hạn chiều, chúng ta sẽ gặp nhiều khó khăn, ví dụ như đánh

giá tính khả tích của ánh xạ giải

- Để giải quyết khó khăn trên, chúng tôi đưa ra những tính chất yếu hơn cho ánh xạ giải (định lý 2.1) Thật vậy, khi (E) là phương trình chập, nghĩa là ( , ) ( )

B t s B t  , tính chất yếu cho ta tính khả tích của ánh xạ giải, kết quả là s

chúng ta có thể đánh giá tính ổn đinh tiệm cận đều của (E) bằng tính khả tích của ánh xạ giải, cũng như bằng tính khả nghịch của ánh xạ đặc trưng (định lý

2.2) Do vậy, định lý 2.2 là sự tổng quát hoá các kết quả cho trường hợp X vô

hạn chiều

Cuối cùng, bằng cách sử dụng tiêu chuẩn yếu của ánh xạ giải, chúng tôi đi đến những kết quả như sự tồn tại của nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận của phương trình không thuần nhất với phần tuần hoàn tiệm cận (định lý 3.2.4),

và các kết quả về phổ Borh của phần hầu tuần hoàn của nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận (định lý 3.2.7)

Các kết quả được trình bày trong luận văn này được tham khảo chủ yếu từ các bài báo, các công trình nghiên cứu của Hino, Y và Murakami

Luận văn được chia làm các chương sau:

Chương 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các định nghĩa, các kết quả sơ bộ: mệnh đề và định lý phục vụ cho các chứng minh trong các chương sau

Chương 2: TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH KHẢ TÍCH CỦA ÁNH XẠ GIẢI

Chương này chúng tôi trình bày điều kiện cần và đủ để nghiệm không của (E) là ổn định (định lý 2.1), liên hệ giữa tính ổn định của nghiệm không của

(E) và tính khả tích của ánh xạ giải R(t, s) (định lý 2.2)

Chương 3: ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN ĐỀU VÀ NGHIỆM -BỊ CHẶN, NGHIỆM HẦU TUẦN HOÀN TIỆM CẬN

Trong chương này, với giả thiết (E) ổn định tiệm cận đều, chúng tôi đi đến các kết quả như: Tính duy nhất của nghiệm -bị chặn của (P ) (định lý

3.1.1), công thức nghiệm -bị chặn của (P ) (định lý 3.1.2) Ngoài ra, khi đưa ra khái niệm hầu tuần hoàn tiệm cận và khái niệm về phổ Borh, chúng tôi

đi đến kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm -bị chặn hầu tuần hoà tiệm cận

và quan hệ phổ Borh của phần hầu tuần hoàn của nghiệm (định lý 3.2.7)

Chương 4: ÁP DỤNG VÀO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA

VI TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT HƠN

Trong chương này, chúng tôi xét thêm một phương trình Volterra vi tích phân tuyến tính để thấy rõ các kết quả đã có vẫn áp dụng được vào phương trình này Ngoài ra, chúng tôi còn nghiên cứu thêm một ví dụ về phương trình

vi tích phân với điều kiện biên Neumann để thấy rỏ tính áp dụng của lý thuyết vừa nêu

Chương 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ

Equation Chapter 1 Section 1

Xét các phương trình Volterra vi tích phân tuyến tính:

    0

( )

t

du t

dt



   

( )

t

dv t

dt





    0

( )

t

du t

dt



   

( )

t

dv t

dt





1.1 Định nghĩa 1.1

B(t, s) được gọi là hầu tuần hoàn biến t đều theo s nếu với mọi 0  và bất kỳ tập compact J0  : ( ;0], tồn tại số dương l( , ) J0 sao cho mọi

0

B( , t t s) B t( ,t  s) , , t s J

1.2 Định nghĩa 1.2

Với bất kỳ ( , )   BC[0; ]; X và pBC[ ; );Xtồn tại



Hàm u được gọi là nghiệm yếu của (P) theo ( , ) trên [ ;    và kí hiệu là )

( , , , )

u   p

Tương tự, với bất kỳ ( , )   BC(- ; ];  X và pBC[ ; );X

tồn







Hàm v được gọi là nghiệm yếu của (P ) theo ( , ) trên [ ;    và kí hiệu là ) ( , , , )

v   p

1.3 Định nghĩa 1.3

( ) 0

[ ; ); 

[0; ]

sup ( )

X

x

s









1.4 Định nghĩa 1.4

[ ; ); 

[ ; ]

sup ( )X

s

x





 

