Một số tính chất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH- - - - F -NGUYỄN THỊ THANH TRẦM MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê Toán họ

- - - - F

-NGUYỄN THỊ THANH TRẦM

MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

- - - - F

-NGUYỄN THỊ THANH TRẦM

MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê Toán học

Mã số: 60.46.01.06

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Thị Thế

Nghệ An - 2016

MỤC LỤC

1.1 Không gian xác suất và tính chất của xác suất 4

1.2 Xác suất có điều kiện và biến cố độc lập 6

1.3 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 8

1.4 Kỳ vọng 10

1.5 Kỳ vọng có điều kiện 12

1.6 Quá trình ngẫu nhiên 13

1.7 Tích phân ngẫu nhiên Itô 17

1.8 Công thức Itô 21

2 Một số tính chất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên 23 2.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 23 2.2 Một số tính chất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên 32

MỞ ĐẦU

Phương trình vi phân với nhiễu ngẫu nhiên được phát sinh trong nghiêncứu các bài toán vật lí và kỹ thuật Chúng thường là một trong hai dạngsau:

Dạng thứ nhất: các hệ số hoặc giá trị ban đầu trong phương trình cổđiển bị nhiễu Chẳng hạn

Xt0 = f (t, Xt, ηt), Xt0 = c,với tham số ηt và điều kiện ban đầu c là ngẫu nhiên Khi đó nghiệm củaphương trình vi phân với nhiễu ngẫu nhiên này là các hàm khả vi Nếu cáchàm ngẫu nhiên này có tính chất chính qui nào đó, chúng ta có thể xéttính chất nghiệm bằng phương pháp cổ điển của lí thuyết phương trình viphân thường theo từng quĩ đạo mà không cần đến công cụ giải tích ngẫunhiên

Dạng thứ hai: nhiễu trắng xuất hiện trong hệ Khi đó dẫn đến nghiêncứu phương trình vi phân ngẫu nhiên dạng

dXt = f (t, Xt)dt + G(t, Xt)dWt, Xt0 = c,trong đó Wt là chuyển động Brown Phương trình này được hiểu theo nghĩa

Trong khuôn khổ của luận văn cao học, tôi chọn đề tài nghiên cứu là "Một

số tính chất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên" Ở đây tôi đọchiểu và chứng minh lại chi tiết các kết quả đã có

Nội dung của luận văn được chia thành hai chương

Chương I Các khái niệm cơ bản về xác suất

Chương II Một số tính chất nghiệm của phương trình vi phânngẫu nhiên

Luận văn trên được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh,dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS Nguyễn Thị Thế Tác giả xin được bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới cô giáo về sự hướng dẫn tận tình đối vớitác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu Nhân dịp này, tác giảxin gửi lời biết ơn tới các thầy cô: GS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS

Lê Văn Thành, TS Nguyễn Trung Hòa, TS Nguyễn Thanh Diệu, TS VõThị Hồng Vân cùng các thầy cô giáo trong tổ Xác suất thống kê và Toánứng dụng, khoa sư phạm Toán học Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tớigia đình, bạn bè, người thân đã quan tâm giúp đỡ tác giả hoàn thành luậnvăn này Và cuối cùng tác giả xin được chân thành cảm ơn ban lãnh đạotrường THPT Nam Đàn 1 cùng các đồng nghiệp - nơi tác giả đang côngtác, đã tạo điều kiện bố trí thời gian cũng như động viên tinh thần trongsuốt quá trình tác giả tham gia khóa đào tạo sau đại học này

Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng song do năng lực còn hạn chế nênluận văn không thể không tránh khỏi sự thiếu sót Tác giả rất mong nhậnđược những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô giáo và sự góp ý tận tìnhcủa bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 8 năm 2016

Tác giả

CHƯƠNG 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT

Trong chương này, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyếtxác suất để vận dụng vào chương sau Các nội dung được trình bày dựavào tài liệu chính [1] và [4]

1.1 Không gian xác suất và tính chất của

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử (Ω, F ) là không gian đo Ánh xạ

P: F → R,được gọi là độ đo xác suất trên F nếu

(i) P (A) > 0, với mọi A ∈ F ,

(ii) P (Ω) = 1,

• Bộ ba (Ω, F ,P) được gọi là không gian xác suất.

• Tập Ω được gọi là không gian biến cố sơ cấp

• σ- đại số F được gọi là σ-đại số các biến cố

• P được gọi là độ đo xác suất trên F

• Mỗi A ∈ F được gọi là một biến cố

• Biến cố Ω ∈ F được gọi là biến cố chắc chắn

• Biến cố ∅ ∈ F được gọi là biến cố không thể

• Biến cố A = Ω \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A

• Hai biến cố A, B thỏa mãn AB = ∅ được gọi là hai biến cố xung khắc

Không gian xác suất (Ω, F ,P) được gọi là không gian xác suất đầy đủ nếumọi tập con của biến cố có xác suất 0 đều là biến cố Để đơn giản, từ nay

về sau, khi nói đến không gian xác suất( Ω, F ,P), ta luôn xem đó là khônggian xác suất đầy đủ

Tính chất 1.1.3 Giả sử A, B, C là những biến cố Khi đó, xác suất củachúng có các tính chất sau

1) P(∅) = 0

2) Nếu AB = ∅ thì P(A ∪ B) = P(A) +P(B)

3) P(A) = 1 −P(A)

4) Nếu A ⊂ B thì P(B \ A) = P(B) −P(A) và do đó P(A) ≤ P(B).5) P(A ∪ B) =P(A) +P(B) −P(AB).

6) P(Snk=1Ak) =Pnk=1P(Ak) −P1≤k<i≤nP(AkAi)+

P

1≤k<l<m≤nP(AkAlAm) − + (−1)n−1P(A1A2 An)

7) P(S∞n=1An) ≤ P∞n=1P(An)

8) (Tính liên tục của xác suất)

(i) Nếu (An, n ≥ 1) là dãy đơn điệu tăng, tức là A1 ⊂ A2 ⊂ ⊂ An ⊂ , thì tồn tại

Trong thực tiễn P(B/A) là số đo khả năng xảy ra biến cố B trong điềukiện giả thiết rằng biến cố A đã xảy ra

Tính chất 1.2.2 1) 0 ≤ P(B/A) ≤ 1

2) Nếu B ⊃ A thì P(B/A) = 1 Đặc biệt P(Ω/A) = 1

3) Nếu (Bn) là dãy các biến cố đôi một xung khắc thì

Định lý 1.2.4 Giả sử H1, H2, , Hn là họ đầy đủ các biến cố và P(Hi) >

0, ∀i = 1, 2, , n Khi đó, với biến cố A bất kì ta có

(i) P(A) =Pn

i=1P(A/Hi)P(Hi),(ii) Nếu P(A) > 0 thì

P(Hk/A) = PPn(A/Hk)P(Hk)

i=1P(A/Hi)P(Hi), k = 1, 2, , n.

Công thức (i) gọi là công thức xác suất đầy đủ còn công thức (ii) gọi làcông thức Bayes

Định nghĩa 1.2.5 Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu

P(AB) = P(A)P(B)

Tính chất 1.2.6 Giả P(A) > 0,P(B) > 0, Khi đó:

1) A, B độc lập khi và chỉ khi P(A/B) = P(A) hoặc P(B/A) = P(B).2) Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi một trong các điều kiện sauthỏa mãn

(i) A, B độc lập

(ii) A,B độc lập.

(iii) A, B độc lập

Nhận xét 1.2.7 Dễ thấy rằng hai đẳng thứcP(A/B) = P(A) vàP(B/A) =

P(B) đều tương đương với định nghĩa độc lập và do đó tương đương vớinhau

Định nghĩa 1.2.8 Họ các biến cố (Ai)i∈I được gọi là độc lập đôi một nếuhai biến cố bất kỳ của họ đều độc lập

Họ các biến cố (Ai)i∈I được gọi là độc lập toàn cục (gọi vắn tắt là độclập), nếu đối với mọi họ hữu hạn các biến cố Ai1, Ai2, , Ain của họ đó, tađều có

Định nghĩa 1.3.2 Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất, X : Ω → R

là biến ngẫu nhiên Ký hiệu

FX := {X−1(B)/B(R)}

Khi đó FX là một σ-đại số con của F và được gọi là σ-đại số sinh bởiX

Định nghĩa 1.3.3 Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất, X : Ω → R

là biến ngẫu nhiên Khi đó hàm tập

PX : B(R) →R

B 7→PX(B) : = P(X−1(B)),được gọi là phân phối xác suất của X

Sau đây là tính chất của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiênĐịnh lý 1.3.4 Phân phối xác suất PX của biến ngẫu nhiên X là độ đoxác suất trên σ đại số Borel B(R)

Định nghĩa 1.3.5 Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất, X : Ω → R làbiến ngẫu nhiên Khi đó, hàm số

F (x) := P (X < x) = P (ω : X(ω) < x), ∀x ∈ R,được gọi là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X

Hàm phân phối F (x) có các tính chất sau

(i) F (x) là đơn điệu không giảm: x < y ⇒ F (x) 6 F (y)

(ii) F (x) liên tục trái, có giới hạn phải tại mọi điểm

Định nghĩa 1.3.7 Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất Họ hữu hạn{Fi, i ∈ I} các σ-đại số con của F được gọi là độc lập nếu

3) Nếu tồn tại EX thì với mọi C ∈ R, ta có E(CX) = CEX;

4) Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY ;

5) Nếu X ≥ 0 và EX = 0 thì X = 0 hầu chắc chắn

ElimXn ≥ limEXnNếu | Xn |≤ Y với mọi n ≥ 1 và EY < ∞ thì

ElimXn ≤ limEXn ≤ limEXn ≤ ElimXn

9) (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |Xn| ≤ Y với mọi n ≥ 1,

EY < ∞ và Xn → X thì X khả tích, E | Xn− X |→ 0 và EXn → EXkhi n → ∞

10) (Bất đẳng thức Markov) Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm Khi

đó, với mọi ε > 0 ta có

P(X ≥ ε) ≤ EX

ε .11) Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm Khi đó, với mọi p > 0 ta có

Định lý 1.4.3 (Định lí hội tụ bị chặn) Cho p ≥ 1, (Xn, n = 1, 2, ) và

Y là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích bậc p Giả sử rằng |Xk| ≤ Y hầuchắc chắn và {Xn} hội tụ theo xác suất tới X Khi đó X cũng là biến ngẫunhiên khả tích bậc p và (Xn) hội tụ theo trung bình bậc p tới X và

(ii) Với mọi A ∈ G, ta có

Tính chất 1.5.2 Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất cố định, X, Y

là các biến ngẫu nhiên đều có kỳ vọng (khả tích hoặc nửa khả tích), G ⊂ F

là σ-đại số con nào đó Khi đó

6) E(X|F ) = X (h.c.c);

7) E(E(X|G)) = EX (h.c.c);

8) E(E(X|G2)|G1)) = E(X|G1) = E(E(X|G1)|G2) (h.c.c) nếu G1 ⊂ G2;9) Nếu X độc lập với G (nghĩa là σ(X) và G độc lập) thì E(X|G) = EX(h.c.c);

10) Nếu Y là G-đo được, E|Y | < ∞ và E|X.Y | < ∞ thì E(XY |G) =

YE(X|G) (h.c.c)

1.6 Quá trình ngẫu nhiên

Đối tượng nghiên cứu của quá trình ngẫu nhiên là họ vô hạn các biếnngẫu nhiên phụ thuộc tập tham số nào đó

Định nghĩa 1.6.1 Giả sử T là tập vô hạn nào đó Nếu với mỗi t ∈ T ,X(t) là biến ngẫu nhiên thì ta kí hiệu X = (X(t), t ∈ T ) và gọi X là hàmngẫu nhiên (với tham biến t ∈ T )

• Nếu T là tập đếm được thì ta gọi X = (X(t), t ∈ T ) là quá trình ngẫunhiên với tham số rời rạc

• Nếu T = N thì ta gọi X = (X(t), t ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên(một phía)

• Nếu T = Z thì ta gọi X = (X(t), t ∈ Z) là dãy các biến ngẫu nhiên haiphía

• Nếu T là một nửa khoảng của đường thẳng thực, tức là T thuộc mộttrong các tập sau: (−∞, +∞), [a; +∞), (−∞; b], [a; b), [a; b], (a; b], (a; b)thì ta gọi X = (X(t), t ∈ T ) là quá trình ngẫu nhiên với tham số liêntục Khi đó, tham số t đóng vai trò thời gian

Trong luận văn này, tôi nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên với tham sốliên tục và thường viết X = (Xt) nếu tập chỉ số đã rõ Sau đây ta giới thiệukhái niệm phân phối hữu hạn chiều của quá trình ngẫu nhiên.

Giả sử X = {Xt, t ∈ T } là quá trình ngẫu nhiên và I = (t1, t2, , tn) làtập con hữu hạn của T Hàm phân phối đồng thời của Xt1, , Xtn

F1(x1, , xn) = F (x1, , xn; t1, , tn) =P{(Xt1) ≤ x1, ,P(Xtn) ≤ xn},được gọi là phân phối hữu hạn chiều của X ứng với I và tập {FI} được gọi

là họ các phân phối hữu hạn chiều của X Đây là một trong những kháiniệm then chốt của lí thuyết quá trình ngẫu nhiên Nhiều tính chất quantrọng của quá trình được xác định bởi các tính chất của họ các phân phốihữu hạn chiều của nó Rõ ràng họ các phân phối hữu hạn chiều thỏa mãncác điều kiện sau:

(i) Điều kiện đối xứng, tức là F (x1, , xn; t1, , tn) không thay đổi khihoán vị các cặp (xk, tk),

(ii) Điều kiện nhất quán theo nghĩa

lim

x n →∞F (x1, , xn; t1, , tn) = F (x1, , xn−1; t1, , tn−1)

Hai quá trình trên cùng tập tham số (nhưng có thể xác định trên cáckhông gian xác suất khác nhau) được gọi là tương đương ngẫu nhiên yếu,nếu chúng có cùng họ các phân phối hữu hạn chiều Hai quá trình ngẫunhiên X = {Xt, t ∈ T } và Y = {Yt, t ∈ T } trên cùng không gian xác suất(Ω, F ,P) được gọi là

• Tương đương ngẫu nhiên hay Y là bản sao của X nếu với mỗi t ∈ T

ta có

P{ω ∈ Ω|Xt(ω) = Yt(ω)} = 1

• Bằng nhau nếu

P{ω ∈ Ω|Xt(ω) = Yt(ω), ∀t ∈ T } = 1

Hiển nhiên hai quá trình bằng nhau thì tương đương ngẫu nhiên; haiquá trình tương đương ngẫu nhiên thì tương đương ngẫu nhiên yếu.

là hai quá trình tương đương, nhưng không bằng nhau

Định nghĩa 1.6.2 Cho không gian xác suất (Ω, F ,P) Họ các σ-đại sốcon (Ft)t≥0 ⊂ F được gọi là một bộ lọc thỏa mãn điều kiện thông thườngnếu

i) Đó là một họ tăng, tức là Fs ⊂ Ft nếu s < t,

ii) Họ đó liên tục phải Ft = T

>0

Ft+,iii) Ft chứa mọi tập con của tập có xác suất 0, ∀t ≥ 0

Định nghĩa 1.6.3 Cho quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ≥ 0) Xét họ σđại số Ft sinh bởi quá trình ngẫu nhiên Xt, tức là Ft = σ(Xs, 0 ≤ s ≤ t).Khi đó, họ (Ft, t ≥ 0) được gọi là bộ lọc tự nhiên (lịch sử) của quá trìnhX

Định nghĩa 1.6.4 Cho một bộ lọc (Ft, t ≥ 0) trên (Ω, F ) Một quá trìnhngẫu nhiên (Xt) được gọi là tương thích với bộ lọc này, nếu với mọi t thì

Xt là đo được đối với σ−đại số Ft

Chú ý rằng mọi quá trình ngẫu nhiên đều tương thích với bộ lọc tựnhiên của nó

Sau đây ta định nghĩa một loại quá trình ngẫu nhiên có nhiều áp dụng

để mô hình hoá các bài toán thực tiễn, đó là chuyển động Brown hay quátrình Wiener Đây là mô hình chuyển động hỗn loạn của hạt phấn hoatrong nước, do nhà thực vật học người Anh, Robert Brown quan sát và mô

tả từ những năm 1820

Định nghĩa 1.6.5 (Chuyển động Brown 1 chiều) Quá trình ngẫu nhiên(Wt)t∈[0,T ], với không gian trạng thái R, được gọi là chuyển động Brownhay quá trình Wiener một chiều nếu nó thỏa mãn các tính chất sau

P{ω, Wt(ω) liên tục} = 1

Định nghĩa 1.6.6 (Chuyển động Brown m chiều) Quá trình ngẫu nhiên(Wt), với không gian trạng thái Rm, được gọi là chuyển động Brown m -chiều nếu Wt = (W1(t), , Wm(t))T, trong đó mỗi thành phần Wi(t), i =

1, , m, là chuyển động Brown 1- chiều và chúng là quá trình ngẫu nhiênđộc lập với nhau

Đối với chuyển động Brown thì hầu chắc chắn các quỹ đạo của nó liêntuc nhưng có biến phân không bị chặn trên mọi đoạn hữu hạn Tức là vớimọi đoạn [a, b] ⊂ R+ thì

1.7 Tích phân ngẫu nhiên Itô

Giả sử Wt là chuyển động Brown trên không gian xác suất (Ω, F ,P) đãcho với lọc (Ft)t≥0 Giả sử 0 ≤ a ≤ b ≤ +∞

Trong phần này ta định nghĩa tích phân

Z b a

mà tích phân ngẫu nhiên Itô sẽ được xác định là L2([a, b], Ω), được địnhnghĩa như sau:

Kí hiệu 1.7.1 Ký hiệu L2([a, b], Ω) là không gian gồm các quá trình ngẫunhiên đo được f : [0, T ] × Ω −→ R , thỏa mãn hai điều kiện sau

(i) f (t, ·) là Ft đo được với mọi t ∈ [0, T ],

(ii) R0T E(|f (t)|2)dt < ∞

Đầu tiên,ta định nghĩa tích phân (1.1) cho các hàm đơn giản

Định nghĩa 1.7.2 Một quá trình ngẫu nhiên f ∈ L2([a, b], Ω) được gọi làqúa trình đơn giản nếu tồn tại phân hoạch

0 = t0 < t1 < · · · < tn = T,của đoạn [a, b] và các biến ngẫu nhiên Z(i), i = 1, , n thỏa mãn

Z(i) ∈ Fti, EZ2(i) < ∞, i = 1, , n − 1,và

Ký hiệu S là tập tất cả các hàm đơn giản trong L2([a, b], Ω)

Định nghĩa 1.7.3 Tích phân Itô trên đoạn [a, b] của hàm đơn giản f ∈ S

f (t)dW (t) + β

Z b a

βg(t)dW (t)

(iii) Đẳng cự Itô:

E(|I(f )|2) =

Z T 0

E(|f (t)|2)dt (1.4)

Tiếp theo, mỗi hàm f ∈ L2([a, b], Ω) được Itô xấp xỉ bởi một dãy hàmđơn giản {fn(t), n ≥ 1} ⊂ S theo nghĩa sau

Bổ đề 1.7.5 Cho f ∈ L2([a, b], Ω) Khi đó luôn tồn tại dãy hàm đơn giản{fn(t), n ≥ 1} ⊂ S sao cho

Z T 0

E{|f (t) − fn(t)|2}dt −→ 0, khi n → ∞ (1.5)Như vậy tập tất cả các hàm đơn giản S là trù mật trong L2([a, b], Ω).Bây giờ với {fn(t), n ≥ 1} là dãy hàm như trong Bổ đề 1.7.5, theo tínhchất "Đẳng cự Itô” trong công thức (1.4), ta có

E(|I(fn) − I(fm)|2) =

Z T 0

E(|I(fn) − I(fm)|2)dt −→ 0, khi n, m → ∞

Do đó {I(fn), n ≥ 1} là dãy Cauchy trong L2(Ω), với L2(Ω) là khônggian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích Đây là không gian địnhchuẩn đầy đủ với chuẩn kXk2 = pE(X)2 Suy ra tồn tại giới hạn

I(f ) = lim

n→∞I(fn), trong L2(Ω) (1.6)Hơn nữa, có thể chứng minh được rằng I(f ) xác định như ở (1.6) khôngphụ thuộc vào cách chọn dãy {fn, n ≥ 1} trong Bổ đề 1.7.5 Từ đây ta cóđịnh nghĩa

Định nghĩa 1.7.6 Giới hạn I(f ) trong phương trình (1.6) được gọi làtích phân ngẫu nhiên Itô của hàm ngẫu nhiên f và được ký hiệu bởi

RT

0 f (t)dW (t)

Như vậy I(f ) được xác định cho mọi f ∈ L2([a, b], Ω) Bây giờ, với mọi

f ∈ L2([a, b], Ω) và a ≤ t1 ≤ t2 ≤ b, ký hiệu 1[t1,t2] là hàm chỉ tiêu của đoạn[t1, t2], tức là

1[t1,t2](s) =



1 nếu s ∈ [t1, t2],

0 nếu s /∈ [t1, t2] (1.7)Lúc này ta định nghĩa

Z t 2

t

f (s)dW (s) =

Z T 0

f (s)1[t1,t2](s)dW (s)

Khi đó Xt là một quá trình ngẫu nhiên.

Tích phân ngẫu nhiên Itô của các hàm trong L2([a, b], Ω) có đầy đủ cáctính chất của tích phân thường, như là tính tuyến tính, tính cộng tính,ngoài ra còn có các tính chất sau:

Mệnh đề 1.7.7 Tích phân ngẫu nhiên của f ∈ L2([a, b], Ω) có các tínhchất sau:

(i) ER0T f (t)dW (t) = 0

(ii) Đẳng cự Itô: E(|I(f )|2) = R0T E(|f (t)|2)dt

(iii) Quá trình ngẫu nhiên Xt = R0tf (s)dW (s), 0 ≤ t ≤ T là Martingaleđối với lọc của chuyển động Brown và có quỹ đạo liên tục

(iv) Quá trình (Xt) có gia số không tương quan

Chứng minh các tính chất trên có thể xem trong ([5])

Kí hiệu 1.7.8 Ký hiệu L2([a, b], Ω) là không gian gồm các quá trình ngẫunhiên đo được f : [0, T ] × Ω −→ R thỏa mãn hai điều kiện sau

(i) f (t, ·) là Ft đo được với mọi t ∈ [0, T ],

(ii) Hầu chắc chắn R0T(|f (t)|2)dt < ∞

Ta có L2([a, b], Ω) ⊂ L2([a, b], Ω) Tích phân ngẫu nhiên Itô cũng được

mở rộng cho lớp hàm L2([a, b], Ω) và có các tính chất tương tự như trên.Ngoại trừ các tính chất (i), (ii), (iii) trong Mệnh đề 1.7.7 nói chung khôngthỏa mãn nhưng quá trình ngẫu nhiên (Xt) là Martingale địa phương

sẽ giới thiệu công thức này.

Định nghĩa 1.8.1 Một quá trình Itô là quá trình ngẫu nhiên (Xt, t ∈[0, T ]) có dạng

Z T 0

|f (t)|dt < ∞,

Z T 0

|σ(t)|2dt < ∞

Khi đó, ta nói quá trình ngẫu nhiên Xt có vi phân ngẫu nhiên và viết

dXt = f (t)dt + σ(t)dWt, t ∈ [0, T ] (1.9)Định lý 1.8.2 (Công thức Itô) Giả sử U (t, x) là hàm liên tục xác địnhtrên [0, T ] ×Rn, nhận giá trị trong Rd với các đạo hàm riêng liên tục Kí