Tính chất bóng của phương trình sai phân

Mục lục1 Điểm bất động hyperbolic, đa tạp ổn định, đa tạp không ổn 1.1 Điểm bất động hyperbolic của vi phôi.. LỜI MỞ ĐẦUTính chất bóng có nguồn gốc từ việc giải số phương trình vi phân/s

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM THỊ THỦY

TÍNH CHẤT BÓNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM THỊ THỦY

TÍNH CHẤT BÓNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Lê Huy Tiễn

Hà Nội - 2014

Mục lục

1 Điểm bất động hyperbolic, đa tạp ổn định, đa tạp không ổn

1.1 Điểm bất động hyperbolic của vi phôi 1

1.2 Đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định 2

1.3 Tính chất điểm yên ngựa 3

1.4 Tính trơn của đa tạp ổn định địa phương 10

1.5 Vi phôi phụ thuộc tham số 16

2 Tập hyperbolic của vi phôi 19 2.1 Định nghĩa tập hyperbolic 19

2.2 Tính bị chặn của phép chiếu 20

2.3 Tính liên tục của phép chiếu 22

2.4 Nhị phân mũ của phương trình sai phân 26

2.5 Tính chất của tập hyperbolic 30

2.6 Tính vững của tập hyperbolic 32

3 Định lý bóng cho tập hyperbolic của vi phôi 35 3.1 Định lý bóng 35

3.2 Nói thêm về tính vững của tập hyperbolic 41

3.3 Không gian tiệm cận của tập hyperbolic 45

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành được chương trình đào tạo và hoàn thiện luận văn này, trongthời gian vừa qua tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quí báu của gia đình,thầy cô và bạn bè Vì vậy, nhân dịp này, tôi muốn được gửi lời cảm ơn tới mọingười

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, thầy

đã rất nhiệt tình hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong quá trình hoàn thành luậnvăn Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các thầy cô trong Khoa,những người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tôi trong quá trìnhhọc cao học

Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại họcTrường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiệncác thủ tục bảo vệ luận văn

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình tôi, những người luôn động viên và ủng

hộ tôi

LỜI MỞ ĐẦU

Tính chất bóng có nguồn gốc từ việc giải số phương trình vi phân/sai phân.Tính chất bóng có nghĩa là tồn tại một quỹ đạo gần một giả quỹ đạo cho trước.Tính bóng được nghiên cứu bởi Anosov, Bowen, Sinai - những người đầu tiênnhận ra rằng nó liên quan đến bài toán ổn định toàn cục của hệ động lực.Trước đây, Anosov, Bowen, Sinai đều dùng phương pháp hình học để nghiêncứu tính bóng Sau này, Palmer đã dùng cách tiếp cận giải tích cho tính bóngthông qua lý thuyết nhị phân mũ của phương trình vi phân

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính bóng của hệ động lực tronglân cận của tập hyperbolic từ cuốn sách "Shadowing in Dynamical SystemsTheory and Applications" của Ken Palmer năm 2000

Luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1 trình bày những khái niệm về điểm cố định hyperbolic của viphôi; đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định; tính chất điểm yên ngựa; tínhnhẵn của đa tạp ổn định địa phương và vi phôi phụ thuộc tham số

Chương 2 trình bày định nghĩa của tập hyperbolic; các tính chất của tậphyperbolic Ngoài ra, chương này cũng trình bày về tính liên tục và tính bị chặncủa phép chiếu; nhị phân mũ của phương trình sai phân Tính co giãn trêntập bất biến của vi phôi được định nghĩa và chỉ ra nó là một hệ quả của tínhhyperbolic

Chương 3 là nội dung chính của luận văn Trong chương này chúng tôi nêu

và chứng minh định lý bóng Sau đó chúng ta áp dụng định lý bóng để chứngminh kết quả về tính vững của tập hyperbolic và không gian tiệm cận của cáctập hyperbolic

Do thời gian có hạn, luận văn có thể không tránh khỏi thiếu sót Chúng tôimong nhận được ý kiến đóng góp để luận văn hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 03 tháng 12 năm 2014

Học viên

Phạm Thị Thủy

Chương 1

Điểm bất động hyperbolic,

đa tạp ổn định, đa tạp

không ổn định của vi phôi

1.1 Điểm bất động hyperbolic của vi phôi

Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa vi phôi)

Cho U là một tập mở trong Rn Ánh xạ f : U ⊂ Rn → Rn được gọi là Cr

-vi phôi nếu tồn tại f−1 và các ánh xạ f, f−1 thuộc lớp Cr

Định nghĩa 1.1.2 (Định nghĩa điểm bất động hyperbolic của vi phôi,không gian con ổn định và không gian con không ổn định)

Cho U là một tập mở trong Rn, f : U → Rn là C1 - vi phôi Điểm x0 ∈ Uđược gọi là điểm bất động hyperbolic của f nếu f (x0) = x0 và các giá trị riêngcủa ma trận Df (x0) không nằm trên đường tròn đơn vị Khi đó tổng của cáckhông gian riêng suy rộng ứng với các giá trị riêng nằm trong (ngoài) đườngtròn đơn vị tương ứng gọi là không gian con ổn định (không ổn định) và được

ký hiệu là Es (Eu)

1.2 Đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định

Cho U là tập con mở trong Rn, f : U → Rn là C1 - vi phôi Từ định nghĩacủa Es, Eu trong mục 1.1.2, ta biết rằng Es, Eu là bất biến dưới Df (x0).Hơn nữa, bằng kết quả trong đại số tuyến tính, nếu ta gọi λ1 và λ2 là cáchằng số dương sao cho |λ| < λ1 < 1 với tất cả các giá trị riêng λ của Df (x0) mà

|λ| < 1 và 1 < λ−12 < |λ| với tất cả các giá trị riêng λ của Df (x0) mà |λ| > 1.Khi đó tồn tại các hằng số dương k1, k2 sao cho với ∀k ≥ 0, k ∈ Z

k[Df (x0)]kξk ≤ k1λk1kξk với ∀ξ ∈ Esvà

k[Df (x0)]−kηk ≤ k2λk2kηk với ∀η ∈ Eu.Như vậy

[Df (x0)]kξ → 0 khi k → ∞ nếu và chỉ nếu ξ ∈ Esvà

[Df (x0)]kξ → 0 khi k → −∞ nếu và chỉ nếu ξ ∈ Eu.Định nghĩa 1.2.1 (Định nghĩa đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định)Cho x0 là một điểm bất động hyperbolic của C1 - vi phôi f : U → Rn Khi

được gọi là đa tạp không ổn định của x0

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng đa tạp ổn định, mặc dù tên của nó như vậy, có thểkhông là một đa tạp con của Rn Tuy nhiên chúng ta có thể mô tả nó bằng hệcác đa tạp ổn định địa phương mà chúng là các đa tạp con của Rn

Định nghĩa 1.2.2 (Định nghĩa đa tạp ổn định địa phương)

Cho U là một tập con mở trong Rn, f : U → Rn là một C1 - vi phôi với x0

là một điểm bất động hyperbolic Với ε > 0 cho trước, ta định nghĩa đa tạp ổnđịnh địa phương của x0 là

Trong phần tiếp theo, chúng ta chỉ ra rằng với ε > 0 đủ nhỏ thì tập Ws,ε(x0)

là một đa tạp con trơn thực sự của Rn chứa x0 sao cho không gian tiếp xúc với

Ws,ε(x0) tại x0 là không gian con ổn định, Tx0Ws,ε(x0) = Es

1.3 Tính chất điểm yên ngựa

Định nghĩa 1.3.1 (Khái niệm về tính chất điểm yên ngựa)

Cho x0 là một điểm bất động hyperbolic của vi phôi f , x0 được gọi là cótính chất điểm yên ngựa nếu tồn tại hằng số dương ∆ mà bất kỳ điểm x nàothỏa mãn kfk(x) − x0k ≤ ∆ với mọi k ≥ 0 thì fk(x) → x0 khi k → ∞

Đặc biệt hơn nữa, chúng ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 1.3.2 Cho U ⊂ Rn là tập mở và f : U → Rn là C1 - vi phôi với x0

là một điểm bất động hyperbolic và tương ứng với các không gian con ổn định,không ổn định Es, Eu sao cho các bất đẳng thức sau được thỏa mãn

k[Df (x0)]kξk ≤ k1λk1kξk với ξ ∈ Es, (1.1)k[Df (x0)]−kηk ≤ k2λk2kηk với η ∈ Eu (1.2)Gọi P là ánh xạ chiếu của Rn lên Es dọc theo Eu và đặt Ms = kP k,

Mu = kI − P k Giả sử ∆ là hằng số dương đủ nhỏ (ta luôn tìm được) thỏa mãn

σ = [k1Ms(1 − λ1)−1 + k2Muλ2(1 − λ2)−1]w(∆) < 1, (1.3)

ở đây

ω(∆) = sup{kDf (x) − Df (x0)k : kx − x0k ≤ ∆}

Khi đó nếu x ∈ U và kfk(x) − x0k ≤ ∆ với ∀k ≥ 0 thì bất đẳng thức

kfk(x) − x0k ≤ k1Ms(1 − σ)−1[λ1+ k1Ms(1 − σ)−1ω(∆)]kkx − x0kthỏa mãn với ∀k ≥ 0

Như vậy nếu có thêm điều kiện

k1Msω(∆) < (1 − σ)(1 − λ1)thì suy ra rằng fk(x) → x0 khi k → ∞, tức là x0 có tính chất của điểm yênngựa

Chứng minh Đặt yk = fk(x) − x0 Khi đó fk(x) = yk + x0

Với k ≥ 0:

yk+1 = fk+1(x) − x0,

yk+1 = f (x0+ yk) − x0.Như vậy,

g(y) = Df (ξ)y − Df (x0)y

Với giả thiết ω(∆) = sup{kDf (x) − Df (x0)k, với kx − x0k ≤ ∆} thì

kg(y)k ≤ ω(∆) · kyk nếu kyk < ∆

Tiếp theo, đặt uk = P yk, vk = (I − P )yk Rõ ràng uk + vk = yk

Từ A giao hoán với P , tức là AP = P A, nhân (1.4) với P , ta được

vk+1 ≤ c + (d + 1)vk.

Bằng phương pháp truy hồi vk theo va = 0, ta suy ra

vk ≤ (1 − d)−1c + (1 − d)−1vk+1.Quy ước vb = 0, truy hồi vk theo vb với a ≤ k ≤ b ta có

(ii) Cho a, b là các số nguyên cố định với −∞ ≤ a ≤ b < ∞ Giả sử dãy{µk}b

k=a là dãy các số không âm, bị chặn khi a = −∞, thỏa mãn tồn tại các sốdương k1, k2, λ1, λ2, α1, α2 với λ1 < 1, λ2 < 1 sao cho với a − 1 ≤ k ≤ b

µk ≤ k2(1 − σ)−1[(1 − σ − α2λ2)−1(1 − σ)λ2]b−kµbthỏa mãn với a − 1 < k ≤ b

Chứng minh (i) Ta chứng minh trong trường hợp tổng quát b = ∞, ta bổ xungdãy {µk}b

k=a thành dãy {µk}∞k=a với µk = 0 nếu k > b Như vậy giả thiết (1.9)trở thành

Vì bất đẳng thức trên đúng với ∀ε > 0 và với mọi a ≤ k < b + 1 nên suy ra

1.4 Tính trơn của đa tạp ổn định địa phương

Trong mục này, ta chỉ ra rằng nếu ε > 0 đủ nhỏ thì đa tạp ổn định địaphương Ws,ε(x0) tại điểm bất động hyperbolic x0 của vi phôi là một đa tạpcon của Rn

Định lý 1.4.1 Cho U ⊂ Rn là một tập con mở và f : U → Rn là Cr - vi phôi(r ≥ 1) với điểm bất động hyperbolic x0 và tương ứng với không gian con ổnđịnh Es Khi đó với ε > 0 đủ nhỏ thì Ws,ε(x0) là một Cr - đa tạp con của Rnchứa x0 với Tx0Ws,ε(x0) = Es

Chứng minh Mệnh đề 1.3.2 nói rằng nếu ∆ > 0 đủ nhỏ thì bất đẳng thức

kfk(x) − x0k ≤ ∆ đúng với ∀k ≥ 0 sẽ suy ra fk(x) → 0 khi k → ∞ Vậy ta tìmcác điểm thuộc đa tạp ổn định địa phương Ws,ε(x0) với ε = ∆

Ta xây dựng toán tử T trên hình cầu đóng bán kính ∆ trong E Nếu y ∈ E

và kyk ≤ ∆, ta xác định T y là dãy {(T y)k}∞k=0 cho bởi

≤ [k1Ms(1 − λ1)−1+ k2Muλ2(1 − λ2)−1]ω(∆)ky − yk.Vậy

kT y − T yk ≤ σky − yk

Do σ < 1 nên suy ra T là ánh xạ co trên không gian metric đủ

E∆ = {y ∈ E : kyk ≤ ∆}

Từ đó suy ra tồn tại duy nhất một điểm y = {yk}∞k=0 thỏa mãn T y = y, tức là

yk = fk(x) − x0thỏa mãn (1.15) và y = {yk}∞k=0 là một điểm cố định của ánh xạ T và như vậy

y trùng với y Từ đó x = x0+ y0 = x0+ y0 = x

Tóm lại nếu ∆ > 0 đủ nhỏ thỏa mãn (1.13), ξ thỏa mãn (1.14) thì điểm

x = x0+ y0 là điểm duy nhất thỏa mãn (1.16) và (1.17)

Như vậy mỗi ξ thì ta xác định duy nhất y0 Ta coi y0 = φs(ξ), ξ ∈ Es,kξk < ∆(1 − σ)/k1

Tiếp theo ta chứng minh nếu f ∈ Cr thì φs ∈ Cr

Bổ đề 1.4.2 Cho B là hình cầu đóng trong không gian Banach E và V là mộttập mở khác trong không gian Banach Λ Giả sử T : B × V → B là một ánh xạsao cho ∀y1, y2 ∈ B và µ ∈ V thì

kT (y1, µ) − T (y2, µ)k ≤ σky1− y2k,

ở đây 0 ≤ σ < 1

Khi đó với mỗi µ ∈ V , phương trình T (y, µ) = y có nghiệm duy nhất y = y(µ)trong B, hơn nữa nếu T ∈ Cr (0 ≤ r ≤ ∞) thì y(µ) ∈ Cr và đạo hàm Dy(µ)thỏa mãn

Như vậy, ta đã chỉ ra rằng với mỗi ξ cố định, T là ánh xạ co trên B với hệ

số co σ và điểm cố định là y = y(ξ) = {yk(ξ)}∞k=0 với y0(ξ) = φs(ξ) Từ Bổ đề1.4.2 suy ra y(ξ) ∈ Cr theo ξ Như vậy φs(ξ) cũng thuộc Cr theo ξ

Tiếp theo ta thấy T (0, 0) = 0 và do tính duy nhất nên y(0) = 0 và do đó

Suy ra [Dy(0)ν]k = Akν và suy ra Dφs(0) là ánh xạ nhúng của Es vào Rn.Nhớ rằng P φs(ξ) = ξ và do vậy P Dφs(ξ)ν = ν với mọi ν ∈ Es Theo tính chấthàm ẩn thì φs và Dφs(ξ) là ánh xạ 1 − 1 Từ tính chất đã chỉ ra của φs thì ánh

xạ ξ 7−→ x0+ φs(ξ) là thuộc lớp Cr

Đặt M = {x0 + φs(ξ) : ξ ∈ Es, kξk < ∆(1 − σ)k1−1} Khi đó M là Cr - đatạp con của Rn chứa x0 Ngoài ra từ Dφs(0) là phép nhúng của Es vào Rn, tacó

Tx0M = Es.Như đã chỉ ra ở trên nếu x = x0 + φs(ξ) ∈ M thì P (x − x0) = ξ và

kfk(x − x0)k ≤ ∆ với k ≥ 0 Ngoài ra với ξ ∈ Es và kξk < ∆(1 − σ)k−11 thì x

là duy nhất

Bây giờ cố định số dương ∆ thỏa mãn (1.13) và sao cho

λ = λ1+ k1Ms(1 − σ)−1ω(∆) < 1

Gọi M là đa tạp đã được xây dựng ở trên tương ứng với ∆ Giả sử số dương

ε thỏa mãn ε < ∆, ε < ∆(1 − σ)/k1Ms Ta chỉ ra Ws,ε(x0) là tập con mở của

M và suy ra nó là một Cr - đa tạp con của M

Trước hết nhớ lại nếu x ∈ Ws,ε(x0) thì

kfk(y) − x0k ≤ kfk(y) − fk(x)k + kfk(x) − x0k < ε

với δ > 0 đủ nhỏ sao cho khi ky − xk < δ thì

1.5 Vi phôi phụ thuộc tham số

Cuối cùng chúng ta xem xét một vi phôi phụ thuộc vào một tham số và kiểmtra xem đa tạp con ổn định và không ổn định của điểm bất động hyperbolicthay đổi như thế nào bởi tham số

Cho f : U × V → Rn là một hàm thuộc Cr (r ≥ 1), ở đây U ⊂ Rn và

V ⊂ Rn là các tập mở sao cho fµ : U → Rn xác định bởi fµ(x) = f (x, µ) là một

vi phôi lên ảnh với mỗi µ cố định thuộc V Giả sử µ0 ∈ V , vi phôi fµ0 có điểmbất động hyperbolic x0 Bằng việc áp dụng định lý hàm ẩn cho phương trình

f (x, µ) − x = 0

Ta thấy rằng khi µ đủ gần µ0, vi phôi fµ có duy nhất điểm cố định x(µ)gần x0, ngoài ra x(µ0) = x0 và xµ thuộc lớp Cr theo µ

Cũng từ ma trận ∂f

∂x(x(µ), µ) phụ thuộc liên tục vào µ suy ra x(µ) cũng

là điểm hyperbolic nếu µ đủ gần µ0, và các không gian con ổn định, không ổnđịnh có cùng số chiều như các không gian đó xác định tại x0

Chúng ta chỉ ra rằng đa tạp ổn định của x(µ) phụ thuộc liên tục vào µ vàsuy ra đa tạp M được xây dựng trong mục trước là phụ thuộc trơn vào µ.Giả sử x(µ) là điểm bất động hyperbolic của fµ với kµ − µ0k < ρ Với giả

sử ∆ > 0 và ρ > 0 thỏa mãn

σ = [k1Ms(1 − λ1)−1 + k2Muλ2(1 − λ2)−1]ω(∆, ρ) < 1 (1.18)và

[k1Ms(1 − λ1)−1+ k2Muλ2(1 − λ2)−1] ∂f

∂µ(x0, µ) ρ <

∆(1 − σ)

Tương tự như chứng minh định lý 1.4.1, ta chỉ ra rằng với mỗi µ cố định

mà kµ − µ0k < ρ, ánh xạ y → T (y, µ) là ánh xạ co trên không gian metric đủ{y ∈ E : kyk ≤ ∆} với hằng số co σ Đặt y(ξ, µ) = {yk(ξ, µ)}∞k=0 là điểm cốđịnh Khi đó x = x0 + y0(ξ, µ) là điểm duy nhất thỏa mãn P (x − x0) = ξ và

k ≥ 0 Ngoài ra x là điểm duy nhất thỏa mãn tính chất đó

Ta đã biết nếu ε đủ nhỏ, Ws,ε(x(µ)) là tập con của Mµ Bây giờ ta sẽ chỉ

ra ε có thể chọn không phụ thuộc vào µ Giả sử các số dương ∆, ρ thỏa mãn(1.18) và (1.19), chọn ε0 là số dương sao cho

ε0 < min{(1 − σ)/2k1Ms, 1} · ∆

Đặt Mµ là các đa tạp được xây dựng ở trên tương ứng với ∆ và ρ Khi đónếu kµ − µ0k < ρ, 0 < ε < ε0 và x ∈ Ws,ε(x(µ)) thì

kP (x − x0)k ≤ Ms[kx − x(µ)k + kx(µ) − x0k]

≤ Ms[ε + kx(µ) − x0k]

≤ ∆(1 − σ)2k1 ,

Chương 2

Tập hyperbolic của vi phôi

2.1 Định nghĩa tập hyperbolic

Cho U là tập con mở trong Rn, f : U → Rn là C1 - vi phôi

Định nghĩa 2.1.1 (Định nghĩa tập compact hyperbolic) Một tập pact S ⊂ U được gọi là hyperbolic nếu

com-(i) S là bất biến đối với f , tức là

(ii) Có một phân rã liên tục

Rn = Es(x) ⊕ Eu(x), x ∈ S (2.2)sao cho các không gian con Es(x) và Eu(x) có số chiều không đổi, ngoài

ra các không gian này còn thỏa mãn tính chất bất biến:

Df (x)(Es(x)) = Es(f (x)), Df (x)(Eu(x)) = Eu(f (x)), (2.3)

và tồn tại các số dương k1, k2, λ1, λ2, λ1 < 1, λ2 < 1 sao cho ∀k ≥ 0 vàvới mọi x ∈ S,

kDfk(x)ξk ≤ k1λk1kξk với ∀ξ ∈ Es(x) (2.4)

η ∈ Eu(x), ta định nghĩa

uk = Dfk(x)ξ, vk = Dfk(x)η, k ∈ Z

Chọn số dương N sao cho

σ = k1−1k−12 λ−N1 λ−N2 − 1 > 0vậy thì

≥ kuNkkξk

 kξk

kuNk ·

kvNkkηk − 1

(áp dụng ka + bk ≥ kak − kbk)

≥ M1−N[k−11 λ−N1 k2−1λ−N2 − 1],

ở đây

M1 = max

sup

kDfN(x)k ≤ kDf (x)kN ≤ M1N,kDf−N(x)k ≤ kDf−1(x)kN ≤ MN

1 ,

1 = kDfN(f−N(x))k ≤ kDfN(x)k · kDf−N(x)k

để suy ra kDfN(x)k ≥ M1−N) Như vậy

uNkξk +

vNkηk ≥ σM

−N

Mặt khác,

uNkξk +

vNkηk = Df

ξkξk +

ηkηk .(Do DfN(x) là ma trận, tuyến tính)

uNkξk +

vNkηk ≤ M

N 1

ξkξk +

−N

kξk +

ηkηk ≥ σM

−2N

Tiếp tục ta sử dụng bất đẳng thức (sẽ chú thích sau)

kξk ξkξk +

Chú thích bất đẳng thức (2.8).

kξ + ηk = ξ

kξk +

ηkηk +

1kξk −

1kηk

1kξk −

1kηk

≥ kξk · ξ

kξk +

ηkηk − kξ + ηk

⇒ kξk · ξ

kξk +

ηkηk ≤ 2kξ + ηk.

2.3 Tính liên tục của phép chiếu

Giả sử S là tập compact hyperbolic của C1 - vi phôi f : U → Rn như trongđịnh nghĩa 2.1.1 nhưng không có giả thiết rằng P (x) liên tục Trong mục trước,

ta đã chứng minh P (x) là bị chặn Bởi vậy có các hằng số Ms, Mu sao cho vớimọi x ∈ S:

kP (x)k ≤ Ms, k(I − P )(x)k ≤ Mu (2.9)Trong mục này, ta sẽ sử dụng tính bị chặn của P (x) và tiếp tục chứng minh

P (x) liên tục Thật vậy từ các bất đẳng thức (2.4) và (2.5) trong định nghĩa2.1.1 của tính hyperbolic, ta suy ra

kDfk(x)P (x)k ≤ k1Msλk1,và

k=0 và {yk}N

k=0 là hai quỹ đạo trong Ssao cho có số dương δ nào đó

kDf (yk) − Df (xk)k < δ, với 0 ≤ k ≤ N − 1 (2.12)

P (x) liên tục Thật từ bất đẳng thức (2.4) (2.5) định nghĩa2.1.1 tính hyperbolic, ta suy

kDfk(x)P...

⇒ kξk · ξ

kξk +

ηkηk ≤ 2kξ + ηk.

2.3 Tính liên tục phép chiếu

Giả sử S tập compact hyperbolic C1 - vi phôi f :