Một số tính chất nghiệm của phương trình sai phân

Chơng 2 Một số tính chất nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến 2.1 Nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến………..292.2 Nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến trong không gian L p…

1

Chơng 2

Một số tính chất nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến

2.1 Nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến……… 292.2 Nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến trong không gian L p…… 33

Lời nói đầu

Nh chúng ta đã biết có nhiều công trình viết về nhị phân phổ, nhịphân mũ với thời gian liên tục, chẳng hạn nh các công trình của W A.Coppel hoặc của M G Krein và nhiều tác giả khác Xét phơng trình viphân

Trong trờng hợp rời rạc, B Aulbach ([1]) đã giả thiết phơng trình

   mà không biết gì thêm về dáng điệu của nghiệm.1

Ngời ta đã chứng minh đợc phơng trình (2) có nhị phân mũ nếu và chỉnếu với mỗi dãy bị chặn  f n   phơng trình n, 

để phơng trình sai phân phi tuyến dạng

f x thỏa mãn điều kiện Lipschitz đủ bé đối với phơng trình (6).

Xuất phát từ những ý tởng đó chúng tôi đã chọn tên đề tài là “ một số tính chất nghiệm của phơng trình sai phân”.

Ngoài lời mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn đợcchia làm 2 chơng:

Chơng I Một số kiến thức cơ bản về nhị phân mũ và nhị phân phổ

Trong chơng này chúng tôi giới thiệu khái niệm nhị phân mũ, nhị phânphổ, sự tơng đơng của nhị phân mũ và nhị phân phổ, đề cập đến sự tồn tại vàduy nhất nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến

1.1 Toán tử tuyến tính

1.2 Phổ của toán tử tuyến tính

1.3 Nhị phân mũ và nhị phân phổ trên không gian Banach tách thànhtổng trực tiếp

1.4 Nhị phân mũ và nhị phân phổ trên không gian Banach

Chơng II Một số tính chất nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến

ở chơng này, chúng tôi đa ra một số kết quả về nghiệm của phơng trìnhsai phân phi tuyến, với giả thiết x n1 A x n n là nhị phân mũ Tập trung nghiêncứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm bị chặn của phơng trình sai phân phi tuyếntrong không gian L p

2.1 Nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến

2.2 Nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến trong không gian L p Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tậntình của cô giáo, TS Phan Lê Na Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếncô giáo hớng dẫn đã dành cho tác giả sự giúp đỡ tận tình trong quá trình hoànthành luận văn Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệmkhoa Toán, ban chủ nhiệm khoa Sau Đại Học, các thầy giáo, cô giáo trongkhoa đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình công tác và học tập tại trờng Đặc

biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ GiảiTích, khoa Toán, Trờng Đại học Vinh đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập và hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn tới phòng Giáo dục huyệnNông Cống, tới các thầy cô giáo Trờng THCS Tợng Sơn đã tạo điều kiện thuậnlợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt thời gian học tập Cuối cùngtác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và ngời thân của tác giả đã luôn

động viên ủng hộ trong suốt thời gian học tập và làm luận văn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi nhữngthiếu sót Chúng tôi rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của các thầygiáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn đợc hoàn thiện hơn

đã đợc trình bầy chi tiết trong các công trình [1], [2] và [5]

1.1 Toán tử tuyến tính

ở mục này chúng tôi đa ra một số khái niệm của giải tích hàm sẽ

đ-ợc sử dụng trong các phần tới (xem [1])

Giả sử E và F là các không gian định chuẩn trên cùng một tr ờng

 Kí hiệu L E F ,  là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E

và F L E F ,  là không gian vectơ con của . Với mỗi f L E F , ,

g x   f n0 x   f n0 .

Suy ra g liên tục, tức là gL E F ,  Với mọi nn0 ta có f n  g  Do đó.

n

f  g trong L E F Định lý đợc chứng minh  , 

1.1.4 Định lý ([1]) Nếu f E:  F và g F:  G là các ánh xạ tuyến tính liên tục thì g f là ánh xạ tuyến tính liên tục và g f  g f

Chứng minh Tính tuyến tính và liên tục của g f là hiển nhiên.Nếu x  thì 1 g f x   g f x  g f

ta có các phép toán để biến L thành một không gian vectơ trên trờng p .

1.1.5 Định lý ([1]) Với mọi p 1, L là không gian Banach với chuẩn p

x  f và xL p nếu và chỉ nếu f L p X Do đó, L có thể coi nh một p

không gian con của f L p X Điều này cho ta kết luận L là một không p

gian định chuẩn với chuẩn chỉ ra

Giả sử  f là một dãy Cauchy trong k L Khi đó, p  f k cũng là một dãy Cauchy trong L p x vì vậy , f k  fL p X Bởi vì f x  const trên mỗi

đoạn xn 1,n Điều này có nghĩa là f L p và L là đầy đủ Định lý đợc p

chứng minh

1.2 Phổ của toán tử tuyến tính

Trong phần này chúng tôi điểm lại một số kết quả của lý thuyết phổ sẽ

đợc sử dụng đến trong luận văn Giả sử B là một không gian Banach trên ờng số phức và T là một toán tử tuyến tính liên tục từ B vào B, tức là

tr- 

TL B Gọi I là toán tử đồng nhất trên B. Số  đợc gọi là giá trị chínhquy của toán tử T nếu T I là một song ánh Khi đó chúng ta có thể ápdụng Định lý Banach về ánh xạ mở để kết luận T I là một phép đồng phôituyến tính

1.2.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử D mở   và : D L B  Khi đó  đợc

gọi là giải tích tại điểm  0 D nếu tồn tại lân cận U mà  0 U sao cho

   0

0

,

n n n

Khi đó, ta gọi i S T là giải thức của   T hay tập hợp tất cả các giá trị chínhquy của T;

ii  T là phổ của T.

1.2.3 Định nghĩa ([6]) Tập hợp các số không phải là giá trị chính quy của

toán tử tuyến tính liên tục T đợc gọi là phổ của toán tử T và đợc kí hiệu là

Chứng minh  a Trớc tiên ta chứng minh  T bị chặn

Giả sử  , với   T Kki đó, ta cần phải chứng minh

n

n n

n n n

n

T T

T

   là một hàm giải tích phức trên tập S T Theo chứng minh 

trên, hàm này dần đến 0 khi    Nếu  T  thì  S T  do đó theo 

Định lý Liouville ([1]), ta có    1

0

L  T   với mọi  . Theo hệ quả của Định lý Hanl-Banach ([1]), tồn tại phiếm hàm tuyếntính liên tục L trên L B sao cho  

L  T1  T1  0

Ta gặp mâu thuẫn Vậy  T 

 b Với mỗi số tự nhiên n, ta cố định số tự nhiên k và viết nkpr,

Lấy tuỳ ý  với

L T T

L T L

 

 là phiếm hàm tuyến tính liên tục

trên L B   với chuẩn là 1

n n

n

n n

 hội tụ nên bị chặn với

mọi L. Theo nguyên lý bị chặn đều thì sup 1

n n

   

 

1

1 1

Trong phần này sẽ trình bầy khái niệm về nhị phân mũ và nhị phân phổ,

sự tơng đơng của nhị phân mũ và nhị phân phổ của phơng trình sai phân (xem[2], [5])

Xét phơng trình sai phân

x n1 A x n n, n  , (1.3.1)trong đó, x nB, B là không gian Banach phức, A thuộc vào không gian n

 

L B của tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn tác động trong B.

Giả thiết phơng trình 1.3.1 thỏa mãn điều kiện 

 ii NÕu ph¬ng tr×nh (1.3.1) kh«ng suy biÕn cã nhÞ ph©n mò khi vµ chØ

khi tån t¹i c¸c h»ng sè d¬ng k q, 0 q 1 vµ mét phÐp chiÕu P B:  B saocho

n P  m x n x v x m x

Từ điều kiện (1.3.2) thì TL H . Khi đó phơng trình (1.3.1) có nhị phân

phổ nếu phổ  T của toán tử T không giao nhau với vòng tròn đơn vị

Từ (1.3.2) suy ra SL K  Khi đó, ta nói rằng phơng trình (1.3.1) với J 

có nhị phân phổ nếu phổ  S của toán tử S không giao cắt với vòng tròn

r T

 

Chứng minh Nhận thấy biểu thức  tại  ii đợc suy ra từ biểu thức  tại  i

Chúng ta chỉ cần chứng minh biểu thức  thì việc chứng minh biểu thức của  i cũng tơng tự Để chứng minh biểu thức  của  i ta chỉ ra , r T   

và r T    là đúng Thật vậy, giả sử  q là số dơng bất kỳ Khi đó,

n m x,  N q q n m x , với nm, xB.

Ta có

T v n k     n n,  m v n   k N q v n q k   k , với k  , n  .Suy ra

r T T q

 

Vậy r T  

Ngợc lại, giả sử p là số dơng bất kỳ, sao cho pr T   Từ định lý bán

kính phổ với k đủ lớn và 0

1 0

1.3.6 Hệ quả ([2]) Phơng trình (1.3.1) ổn định mũ nếu và chỉ nếu r T  1

(trong trờng hợp J ) hoặc nếu r S    (trong trờng hợp 1 J  ).

Tiếp theo ta xét phơng trình

x n1 [A n B x n] ,n (1.3.3)trong đó nJ, x nB A B, n, nL B , và sup n

 i 1

n

B là không gian con đóng của B;

 ii Tồn tại các hằng số dơng k q, 0 q 1 không phụ thuộc vào n,

r T   (nói chung T không khả nghịch) Giả sử 1 x

là điểm bất kỳ trong B. Xét

Chọn  k  nếu 0 k n và  k  nếu 1 k n. Xét biểu thức trên ta có kết

n

B là B n1

Để chứng minh  iii trớc hết ta phải xác định P khi B1

P x B1 Pv x  n

Ta chứng minh P là một phép chiếu, tức là cần chứng minh rằng B1 1 1

:

n n n B

P B  B là phép đồng phôi tuyến tính Thật vậy, ta có

Theo gi¶ thiÕt   1

Chøng minh B»ng kiÓm tra trùc tiÕp ta suy ra T kh¶ nghÞch vµ 1  

1.3.10 Hệ quả ([2]) Cho J  và giả sử phơng trình (1.3.1) không suy biến

có nhị phân mũ Khi đó, với  đủ nhỏ phơng trình x n1  A n B x n n cũng có nhị phân mũ

1.3.11 Định lý ([2]) Cho J  và giả sử phơng trình (1.3.1) không suy

biến có nhị phân mũ Khi đó, với  đủ nhỏ phơng trình x n1  A n B x n n có nhị phân mũ.

Chứng minh Giả sử phơng trình (1.3.1) có nhị phân mũ với phép chiếu P vàcác hằng số dơng k, q 0 q 1  Xét tính liên tục của phơng trình (1.3.1)trên  đợc xác định

 

1

1

,2

1.4 Nhị phân mũ và nhị phân phổ trên không gian Banach

Trong phần này chúng ta xét phơng trình sai phân

x n1 A x n n, n   (1.4.1)trong đó x nB là không gian Banach, A nL B  và

A là đẳng cấu từ R P vào  n R P n1, trong đó R P đợc kí n

hiệu là miền giá trị của P ; n

x  x Với chuẩn đó, H trở thành không gian

Banach Chúng ta gọi toán tử S H:  H đợc xác định bởi:

nếu phổ  S của toán tử S không giao với vòng tròn đơn vị

Phổ  S của toán tử S có tính chất sau:

a) Phổ  S là bất biến đối phép quay, tức là

 S e i S , với mọi  

b) Phổ  S là p 1 p k vành khăn có dạng

R j  z r j  z r j1 ,

trong đó j1,2, , ;p 0     r2 r3 r4 r5 r6 r7,

Từ tính chất a) của phổ  S , chúng ta có định lý sau

có một nghiệm giới nội duy nhất  x n n,  B

Nhờ vào tính chất sự tồn tại nghiệm giới nội của phơng trình (1.4.2)

t-ơng đt-ơng với nhị phân mũ của pht-ơng trình (1.4.1) và kết hợp với tính chất a)của phổ  S của toán tử S chúng ta đi đến kết luận nhị phân mũ và nhị phânphổ là tơng đơng Đó là nội dung của định lý sau

Điều kiện đủ Giả sử phơng trình (1.4.1) có nhị phân phổ Từ Bổ đề: Nếu nh

phơng trình (1.4.1) có nhị phân phổ thì tồn tại phép chiếu P trên B sao cho Pv n   P v n n   với n  , (1.4.3)

sao cho tích phân Riesz

Suy ra T là một đẳng cấu của KerP vào KerP. Suy ra A là một đẳng cấu từ n

KerP vào KerP n1 Từ r T  ImP  và 1  1 

1,

KerP

r T   ta có iii) và iv) của

Định nghĩa 1.4.1 trong tài liệu ([2]) Định lý đợc chứng minh

1.4.5 Hệ quả ([3]) Phơng trình (1.4.1) có nhị phân mũ nếu và chỉ nếu phơng

trình x n1 A x n n  f n, có một nghiệm duy nhất ở trong không gian các dãy bị chặn với dãy  f n nB

Chơng 2

Một số tính chất nghiệm của phơng trình

sai phân phi tuyến

Trong phần này luận văn sẽ trình bầy một số tính chất nghiệm của

ph-ơng trình sai phân phi tuyến Giới thiệu, mở rộng các kết quả đối với phph-ơngtrình sai phân phi tuyến; Trình bầy các kết quả của nhị phân phổ của toán tử

đặc trng đợc cho bởi phơng trình sai phân tuyến tính (1.3.1) (xem[2], [3], [4],[6]) Bằng cách áp dụng nhị phân mũ, nhị phân phổ, toán tử dịch chuyển, hàmkhả nghịch thỏa mãn điều kiện Lipschitz thì đối với phơng trình phi tuyến

2.1 Nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến

Xét phơng trình sai phân phi tuyến dạng

x n1 A x n n  f x n( n), n   (2.1.1)trong đó x nB, f n:B B, f n  thoả mãn điều kiện Lipschitz với hệ số l

đủ bé chung cho tất cả f , n A nL B  là các toán tử tuyến tính không nhấtthiết khả nghịch, nhng luôn thỏa mãn điều kiện

Chúng ta định nghĩa toán tử T H:  H xác định bởi

  1 n n n n ,

n

Tx A x f x

   n  . (2.1.2) Nhận thấy với giả thiết f 0  f n 0 H, ta có

ii) Với mọi n  , các hàm số f  thỏa mãn điều kiện Lipschitz cùng n 

với một hằng số Lipschitz chung Tức là tồn tại một hằng số l không âm, saocho với mọi n  , với mọi x y, B, ta có

f n x  f n y l x y

2.1.2 Bổ đề ([6]) Nếu với mọi n  , các hàm số f  thỏa mãn điều kiện n 

Lipschitz với cùng một hệ số Lipschitz chung thì toán tử T tác động trong H

 khi k   với mọi n  .

Từ Định nghĩa 2.1.1, ta có toán tử T và điều kiện Lipschitz của f v , n 

2.1.3 Nhận xét a) Toán tử T phi tuyến và nói chung là không khả nghịch.

b) Mỗi dãy x  x n là nghiệm bị chặn của phơng trình (2.1.1) nếu vàchỉ nếu nó là một điểm bất động của toán tử T trên không gian H.

Chứng minh  b Sự tồn tại của điểm bất động v

nếu và chỉ nếu toán tử T có điểm bất động

Chứng minh Từ sự tồn tại nghiệm của phơng trình (1.4.2) và Bổ đề 1.4.4

chúng ta suy ra phần tuyến tính của phơng trình x n1 A x n n  f n x n , với

n   có nhị phân phổ, I  S là khả nghịch với S là toán tử đợc xác địnhbởi (1.4.1) Đặt

Nếu phơng trình (2.1.1) thoả mãn điều kiện  H ta có định lý sau ,

2.1.5 Định lý ([6]) Giả sử phơng trình (2.1.1) thỏa mãn điều kiện  H

và hệ số Lipschitz l đủ bé Khi đó toán tử I  T là khả nghịch.

Chứng minh Giả sử S là toán tử đặc trng của phần tuyến tính của phơngtrình (2.1.1) đợc xác định bởi (1.4.1) Theo Định lý 1.4.3, ta có 1 S

nên I S là toán tử khả nghịch Đặt

L I S,

  S T.

Từ điều kiện  H suy ra  thỏa mãn điều kiện Lipschitz và Lip  l

áp dụng Định lý 1.2.5 về hàm khả nghịch thỏa mãn điều kiện Lipschitz Nếu

là nghiệm duy nhất bị chặn của phơng trình (2.1.1) Định lý đợc chứng minh.

2.2 Nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến trong không gian L p

Xét phơng trình sai phân phi tuyến dạng

x n1 A x n n  f n x n , n   (2.2.1)trong đó x nB; B là không gian Banach phức, A nL B , với L B là 

không gian các toán tử tuyến tính bị chặn tác động trong B. Giả sử dãy

 

 f n  B thỏa mãn điều kiện Lipschitz, với hệ số Lipschitz đủ nhỏ Chúng

ta luôn giả thiết sup n

Txn 1 A x n n f n x n

   , n   Xét toán tử T tác động trong không gian L p L p,B, p 1 gồm tất cả cácdãy  x n   trong n,  B sao cho

Ta nhận thấy với 1 p , L p L p,B cũng là không gian Banach trên

tr-ờng số phức với chuẩn

1

p p n n

 của toán tử S không giao với vòng tròn đơn vị

2.2.2 Bổ đề ([6]) Giả sử phơng trình (2.2.2) thoả mãn điều kiện sau:

2.2.3 Bổ đề ([6]) Với giả thiết của Bổ đề 2.2.2, phơng trình (2.2.2) có nhị

phân mũ nếu và chỉ nếu với mỗi dãy k n n,  L p phơng trình sau đây

x n1 A x n n k n, n   (2.2.3)

có nghiệm duy nhất trong L p

2.2.4 Định lý ([6]) Với giả thiết của Bổ đề 2.2.3 và phần tuyến tính của

ph-ơng trình (2.2.1) có nhị phân mũ, thì với mỗi dãy q n n,  L p tồn tại nghiệm duy nhất trong L của phơng trình sau p

x n1 F x n n q n , n  , (2.2.4) trong đó F x n n A x n n  f n x n