Mët trong nhúng häi quan trång trong lþ thuy¸t sè m tr÷ng l t½nh ên ành phê sè m tr÷ng... Ng÷íi hi»n Nguy¹n Thà Hçng Nhung.
Trang 1TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC
NGUYN THÀ HÇNG NHUNG
LUN VN THC Sß TON HÅC
Th¡i Nguy¶n - 2013
Trang 2TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC
NGUYN THÀ HÇNG NHUNG
Chuy¶n ng nh: TON ÙNG DÖNG
M¢ sè: 60.46.01.12
LUN VN THC Sß TON HÅC
Ng÷íi h÷îng d¨n khoa hå
PGS TS T DUY PH×ÑNG
Th¡i Nguy¶n - 2013
Trang 3Mð u 3
Ch÷ìng 1 T½nh ên ành sè m tr÷ng Lyapunov ho h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh 5
1.1 Sè m tr÷ng Lyapunov ành ngh¾a v t½nh h§t b£n 5 1.1.1 Sè m tr÷ng h m sè 5
1.1.2 Sè m tr÷ng ma trªn h m sè 9
1.1.3 Phê mët h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh 10
1.1.4 H» b£n hu©n B§t ¯ng Lyapunov ho têng sè m tr÷ng mët sð 11
1.2 h» kh£ quy 14
1.3 T½nh ên ành sè m tr÷ng i·u ki»n v õ ho t½nh ên ành sè m tr÷ng 15
1.3.1 T½nh ên ành sè m tr÷ng 15
1.3.2 T h ÷ñ h ph¥n 21
1.3.3 i·u ki»n v õ ho t½nh ên ành sè m tr÷ng 23 Ch÷ìng 2 T½nh ên ành v tr÷ng ho h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh 35
2.1 V tr÷ng ành ngh¾a v t½nh h§t b£n 35
2.1.1 V tr÷ng h m sè 35
2.1.2 V tr÷ng ma trªn h m sè 39
2.1.3 V tr÷ng h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh 40
Trang 42.2 T½nh ên ành v tr÷ng i·u ki»n v õ ho t½nh ên
ành v tr÷ng 44
2.2.1.T½nh ên ành v tr÷ng.T½nh h ÷ñ m v t½nh nhà ph¥n y¸u m 44 2.2.2 i·u ki»n v õ ho t½nh ên ành v tr÷ng 49
K¸t luªn 54
T i li»u tham kh£o 55
Trang 5N«m 1892, A M Lyapunov ¢ ÷a ra v sû döng kh¡i ni»m sè m
tr÷ng º nghi¶n t½nh ên ành nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n
tuy¸n t½nh
Kh¡i ni»m sè m tr÷ng Lyapunov ¢ ÷ñ Ho ng Húu ÷íng mð
rëng th nh kh¡i ni»m ve tr÷ng (sè m v tr÷ng) º nghi¶n
t½nh ên ành nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh trong
tr÷íng hñp tîi h¤n (khi sè m tr÷ng h÷a õ º hùng minh t½nh ên
ành nghi»m) v o nhúng n«m 1965 - 1982
Mët trong nhúng häi quan trång trong lþ thuy¸t sè m tr÷ng
l t½nh ên ành phê sè m tr÷ng C¥u häi n y li¶n quan ¸n
nhi·u v§n · th½ dö, khi x¥y düng thuªt to¡n t½nh sè m tr÷ng,
th÷íng ph£i gi£ thi¸t sè m tr÷ng l ph¥n bi»t v ên ành (xem,
th½ dö, [8℄, [10℄) N«m 1969, B F Bylov v N A Izobov (xem [6℄, [7℄) ¢
÷ara i·uki»n v õ º phê sè m tr÷ng h» ph÷ìng tr¼nh
vi ph¥n tuy¸n t½nh l ên ành d÷îi sü £nh h÷ðng nhi¹u ëng tuy¸n
t½nh õ nhä.Ti¶u hu©n ên ành phê v tr÷ng ¢ ÷ñ
Ho ng Húu ÷íng hùng minh (xem [1℄)
Trong luªn v«n n y, hóng tæi tr¼nh b y v· sè m Lyapunov, v
tr÷ng Ho ng Húu ÷íng, v t½nh ên ành hóng; tr¼nh b y thº, rã
r ng v hùng minh hi ti¸t hìn trong t i li»u tham kh£o
Luªn v«n gçm phn Mð u, 2 h÷ìng, phn K¸t luªn v T i li»u
tham kh£o
Trong h÷ìng 1, hóng tæi l¤i kh¡i ni»m v t½nh h§t sè
m tr÷ng ho h m sè, ho ma trªn h m sè v ho nghi»m h»
ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh; tr¼nh b y kh¡i ni»m h ÷ñ v h
Trang 6÷ñ h ph¥n, kh¡i ni»m ên ành phê sè m tr÷ng; hùng
minh mët h hi ti¸t v têng qu¡t ành lþ v· t½nh ên ành phê
sè m tr÷ng ph¥n bi»t nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n
t½nh n− hi·u
Ch÷ìng 2 hóng tæi tr¼nh b y kh¡i ni»m v t½nh h§t v
tr÷ng m ho h m sè, ho ma trªn h m sè v ho nghi»m h» ph÷ìngtr¼nh vi ph¥ntuy¸n t½nh;tr¼nhb y kh¡i ni»m h ÷ñ m, nhà ph¥n y¸u m v kh¡i ni»m ên ành m v tr÷ng m; d¨n tîi i·u ki»n v õ ho t½nhên ành m v tr÷ng
m nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh n− hi·u khi t§t
v tr÷ng m − 1 h» ang x²t tròng nhau
º ho n th nh luªn v«n n y, tr÷î nh§t gi£ xin ÷ñ gûi líi ìn
s¥u tîi PGS.TS T¤ Duy Ph÷ñng, ng÷íi ¢ d nh thíi gian h÷îng d¨n,
tªn t¼nh h¿ b£o, t¤o i·u ki»n v gióp ï tæi th¶m nhi·u ki¸n kh£
n«ng nghi¶n v têng hñp t i li»u º ho n th nh luªn v«n
T gi£ xin gûi líi ìn h¥n th nh tîi Ban gi¡m hi»u, Pháng
Sau ¤i hå Pháng o t¤o, Khoa To¡n - Tin Tr÷íng ¤i hå Khoa Hå
¤i hå Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi trong suèt qu¡ tr¼nh hå
tªp t¤i tr÷íng
Cuèi gi£ xin gûi líi ìn bi»t ¸n nhúng ng÷íi th¥n v
nhúng ng÷íi b¤n ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi, ëng vi¶n, gióp ï tæi
trong suèt qu¡ tr¼nh hå tªp v ho n thi»n luªn v«n
Th¡i Nguy¶n, th¡ng 08 n«m 2013
Ng÷íi hi»n
Nguy¹n Thà Hçng Nhung
Trang 7T½nh ên ành sè m tr÷ng
Trong h÷ìng n y, hóng tæi tr¼nh b y têng quan v· sè m tr÷ng
v t½nh ên ành phê sè m tr÷ng h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n
tuy¸n t½nh.Sau â ph¡t biºu i·u ki»n v õ ho t½nhên ành phê
sè m tr÷ng ti¶u hu©n n y ¢ ÷ñ B F Bylov v N A
Izobov bè trong b i b¡o tr¶n t¤p h½ Differential Equations v o
n«m 1969 (xem [6℄, [7℄)
1.1 Sè m tr÷ng Lyapunov ành ngh¾a v t½nh
1.1.1 Sè m tr÷ng h m sè
X²t h m sè m e αt, trong â α l sè N¸u α > 0 th¼ e αt → +∞ khi
t → +∞; n¸u α = 0 th¼ e αt = 1 l h¬ng sè vîi måi t ≥ t 0; n¸u α < 0 th¼
e αt → 0 khi t → +∞; l thøa sè α tr÷ng ho t«ng h m
e αt Khi â sè α ÷ñ gåi l sè m tr÷ng h m e αt
Tø nay v· sau hóng ta h¿ l m vîi t → +∞, n¶n º ho ngn gån,
ta vi¸t t → ∞ thay ho t → +∞ v ∞ thay ho +∞
Têng qu¡t hìn, ta x²t h m sè gi¡ trà f (t) ành trong kho£ng
[t0, ∞), ð ¥y t0 l mët sè kþ hi»u −∞ Ta thº vi¸t |f (t)| = eα(t).t,
Trang 8trong â α(t) = 1
t ln |f (t)| ângvai trá l h m sè t Nh÷ vªy, º nghi¶n t«ng h m |f (t)|, ph£i x²t gi¡ trà h m α(t) Tr¶n
sð n y A M Lyapunov ¢ ÷a v o kh¡i ni»m sè m tr÷ng mët
h m sè
ành ngh¾a 1.1 (Xem[4℄, tr 25) Sè kþ hi»u−∞, ∞ ) ành bði
χ[f ] = lim
t→∞
1
÷ñ gåi l sè m tr÷ng Lyapunov (ngn gån, sè m tr÷ng)
h m sè f (t)
Sè m tr÷ng mëth m sè thº húu h¤n væ h¤n Sau n y,
ta h¿x²t tr÷ínghñp húuh¤n,trøχ [0] = −∞(vîiquy ÷î ln 0 = −∞) V½ dö 1.1 p döng (1.1) ta
1) χ[c t m ] = 0, (m l h¬ng sè b§t ký, c 6= 0) Thªt vªy, ta
χ[c t m ] = lim
t→∞
1
t ln |c t m | = lim
t→∞
ln |c| + m ln |t|
t
= lim
t→∞
ln |c|
t + m lim
t→∞
ln |t|
t = 0 + m.0 = 0.
2) χ[e αt ] = α V¼
χ [e αt ] = lim
t→∞
1
t ln |e αt | = lim
t→∞
αt
t ln e = α.
3) χ[t t ] = ∞ Do
χ[t t ] = lim
t→∞
1
t ln |t t | = lim
t→∞
t ln |t|
t→∞ ln |t| = ∞.
4) χ[t −t ] = −∞ T÷ìng tü v½ dö 3) ta
χ[t −t ] = lim
t→∞
1
t ln |t −t | = − lim
t→∞ ln |t| = −∞.
5) χ[e t 2
] = ∞ V¼
χ[e t 2 ] = lim
t→∞
1
t ln |e t 2 | = lim
t→∞
t 2 ln e
t→∞t = ∞.
Trang 96) χ [e ±t sin t ] = 1 Thªt vªy, ta
χ[e t sin t ] = lim
t→∞
1
t ln |e t sin t | = lim
t→∞
t sin t
t ln e = lim
t→∞ sin t = 1.
T÷ìng tü,
χ[e −t sin t ] = lim
t→∞ (− sin t) = 1.
7) χ[e ±t cos 1 t ] = 1 T÷ìng tü v½ dö 6) ta
χ[e ±t cos 1 t ] = lim
t→∞
1
t ln
e ±t cos 1 t
= lim
t→∞
± cos 1
t
= 1.
8) χ[e te sin t
] = e V¼
χ[e te sin t ] = lim
t→∞
1
t ln |e te sin t | = lim
t→∞ e sin t = e.
χ[e −te sin t ] = lim
t→∞
1
t ln |e −te sin t | = lim
t→∞ −e sin t
= −e −1
Bê · 1.1 χ[f ] = α 6= ±∞ khi v khi vîi b§t ký ε > 0 hai i·u ki»n sau ÷ñ thäa m¢n:
i)
lim
t→∞
|f (t)|
ii) lim
t→∞
|f (t)|
e (α−ε)t = ∞, l tçn t¤i d¢y t k → ∞ sao
lim
t k →∞
|f (t k )|
Chùng minh (Xem [4℄, tr 26 - 27)
Ngo i ra, n¸u èi vîimët sè α n o â m vîi måi ε > 0 ¯ng (1.2)
÷ñ thäa m¢n th¼ χ [f ] ≤ α; n¸u (1.3) thäa m¢n th¼ χ [f ] ≥ α
Nh÷ vªy, n¸u h m f (t) sè m tr÷ng α 6= ±∞ th¼ h m |f (t)| s³ t«ng hªmhìn b§t ký h m m e (α+ε)t khi t → ∞, v theomët d¢y t k → ∞
e(α−ε)t
Trang 10Sau ¥y, hóng ta l¤i mët sè t½nh h§t b£n sè m tr÷ng
h m sè (xem [4℄, tr 26 - 28)
Gi£ sûf 1 (.), f 2 (.), , f n (.) l h msè nhªngi¡ trà ành tr¶n kho£ng [t 0 , ∞) Khi â
1) χ[f ] = χ[|f |]
2) χ[cf ] = χ[f ], vîi måi sè c 6= 0
3) N¸u |f 1 (t)| ≤ |f 2 (t)| vîi måi t ≥ T ≥ t 0 th¼ χ[f 1 ] ≤ χ[f 2 ]
4) χ
n P
i=1
f i (t)
≤ max
i χ [f i (t)], v n¸u vîi 1 ≤ k ≤ n m
χ[f k (t)] > χ[f i (t)] vîi måi i 6= k, i = 1, , n th¼ χ
n P
i=1
f i (t)
= χ[f k (t)]
5) χ
n Q
i=1
f i (t)
≤
n
P
i=1
χ[f i (t)]
ành ngh¾a 1.2 (Xem [4℄, tr 29) Sè m tr÷ng h m f (t) ÷ñ gåi l óng n¸u tçn t¤i mët giîi h¤n húu h¤n
χ [f ] = lim
t→∞
1
t ln |f (t)|.
N¸u mët h m f (.) sè m tr÷ng óng th¼
χ [f ] + χ
1 f
= 0,
v
χ [f g] = χ[f ] + χ[g],
vîi f (.) v g(.) l h m sè ành tr¶n kho£ng [t 0 , ∞) (xem [4℄,
tr 29) Do â,
χ[e αt f (t)] = α + χ[f ].
B¥y gií ta x²t sè m tr÷ng mët h ph¥n
ành ngh¾a 1.3 (Xem [4℄, tr 30) h ph¥n h m f (t) ành bði
F (t) =
t
Z
a
f (τ )dτ, trong â a =
t 0 , vîi χ[f ] ≥ 0,
∞, vîi χ [f ] < 0,
÷ñ gåi l ph¥n Lyapunov
Trang 11Gi£ sû F (t) l mët h ph¥n Lyapunov, khi â χ [F ] ≤ χ[f ] (xem [4℄,
tr 30)
1.1.2 Sè m tr÷ng ma trªn h m sè
X²t ma trªn h m
F (t) = [f ij (t)], vîi måi i = 1, , n, j = 1, , m, m ≤ n,
trong â phntû f ij (t)l h msè ànhtr¶nkho£ng [t 0 , ∞)
ành ngh¾a 1.4 (Xem [4℄, tr 31) Sè kþ hi»u −∞, ∞) ành bði
χ[F ] = max
i,j χ[f ij ]
÷ñ gåi l sè m tr÷ng ma trªn F (t)
V½ dö 1.2 X²t ma trªn
F (t) =
e 2t e t sin t
5 e −t sin t
Khi â
χ[F ] = max{χ[e 2t ], χ[e t sin t ], χ[5], χ[e −t sin t ]} = max{2, 1, 0, 1} = 2.
Ta l¤i mët sè t½nh h§t sè m tr÷ng ma trªn h m
sè (xem [4℄, tr 31 - 32)
1) χ[F ] = χ[F ∗ ], vîi F ∗ l ma trªn li¶n hñp ma trªn F
2) χ[F ] = χ[||F ||]
¥y, hu©n mët ma trªn A = [a ij ] n × n ta thº hiºu l mët trong ba hu©n sau:
||A|| I = max
i
n
X
j=1
|a ij |,
||A|| II = max
j
n
X
i=1
|a ij |,
||A|| III =
n
X
i,j=1
|a ij | 2
1 2
(Chu©n