Phép biến đổi laplace rời rạc với phương trình sai phân

Möc löc Líi c£m ìn... To¡n tû Laplace ríi r¤c l mët trong nhúng cæng cö gióp gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n câ hi»u qu£... Mët sè ùng döng cõa sai ph¥n v ph²p bi¸n êi Laplace ríi r¤c trong g

-Ph¤m Minh Ti¸n

PH’P BI˜N ÊI LAPLACE RÍI R„C VÎI

PH×ÌNG TRœNH SAI PH…N

LUŠN V‹N TH„C Sž

Chuy¶n ng nh: PH×ÌNG PHP TON SÌ C‡P

M¢ sè: 60.46.0113

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc PGS.TS NGUY™N THÕY THANH

H€ NËI- 2014

Möc löc

Líi c£m ìn 4

1 CC KHI NI›M BÊ TRÑ 6 1.1 Kh¡i ni»m sai ph¥n húu h¤n 6

1.1.1 ành ngh¾a v  v½ dö 6

1.1.2 Mët sè t½nh ch§t cõa sai ph¥n 8

1.2 C¡c kh¡i ni»m cì b£n v· ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n v  nghi»m cõa nâ 9

1.2.1 Ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh vîi h» sè h¬ng v  d¤ng biºu di¹n 9

1.2.2 C¡c ành ngh¾a v  c¡c kh¡i ni»m li¶n quan ¸n ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n 11

1.3 Ph÷ìng ph¡p to¡n tû 12

1.3.1 Mët sè ki¸n thùc v· ph²p bi¸n êi Laplace ríi r¤c 12 1.3.2 C¡c ành lþ v  cæng thùc th÷íng dòng 14

1.3.3 T¼m gèc t÷ìng ùng vîi £nh cho tr÷îc 15

1.4 Phö löc ch÷ìng I 21

1.4.1 B£ng èi chi¸u gèc £nh: 21

1.4.2 B i tªp ch÷ìng I 25

2 PH×ÌNG PHP GIƒI PH×ÌNG TRœNH SAI PH…N 27 2.1 Ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh c§p 1 27

2.1.1 ành ngh¾a 27

2.1.2 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh c§p 1 thu¦n nh§t 28

2.1.3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t 28

2.1.4 Ph÷ìng ph¡p bi¸n thi¶n h¬ng sè t¼m nghi»m ri¶ng f∗(n) 28

2.1.5 Ph÷ìng ph¡p chån ( Ph÷ìng ph¡p h» sè b§t ành ) 32

2.2 Ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh c§p 2 38

2.2.1 ành ngh¾a 38

2.2.2 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh c§p hai thu¦n nh§t 39

2.2.3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh c§p hai khæng thu¦n nh§t 41

2.2.4 C¡c ph÷ìng ph¡p t¼m nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh c§p hai khæng thu¦n nh§t 41

2.3 Kh¡i qu¡t v· ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh c§p cao 48 2.3.1 ành ngh¾a 48

2.3.2 C¡ch gi£i 49

2.4 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh b¬ng ph÷ìng ph¡p to¡n tû 51

2.4.1 C¡c ành lþ v  cæng thùc th÷íng dòng 51

2.4.2 L÷ñc ç gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n b¬ng ph÷ìng ph¡p to¡n tû 54

2.4.3 C¡c v½ dö 55

3 MËT SÈ ÙNG DÖNG CÕA SAI PH…N V€ PH’P BI˜N ÊI LAPLACE RÍI R„C TRONG GIƒI TON PHÊ THÆNG 63 3.1 T¼m sè h¤ng têng qu¡t cõa d¢y sè 63

3.2 T½nh têng cõa n sè h¤ng ¦u trong mët d¢y sè 66

3.3 Sai ph¥n vîi vi»c x¡c ành a thùc ho°c gi£i ph÷ìng tr¼nh h m: 69

3.4 B i tªp 72

K¸t luªn 73

T i li»u tham kh£o 74

Mð ¦u

Câ nhi·u b i to¡n v· d¢y sè ho°c h m sè m  gi£ thi¸t ho°c líi gi£i cõa chóng câ t½nh ch§t truy hçi nh÷: t¼m cæng thùc sè h¤ng têng qu¡t cõa mët d¢y sè cho b¬ng cæng thùc truy hçi, t½nh têng n sè h¤ng ¦u cõa mët d¢y

sè, gi£i ph÷ìng tr¼nh h m Nhúng b i to¡n â d¨n tîi vi»c ph£i gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n C¡ch thæng th÷íng gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n l  düa tr¶n vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng v  t¼m nghi»m ri¶ng Méi ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n kh¡c nhau l¤i câ c¡ch chån nghi»m ri¶ng kh¡c nhau Ta bi¸t r¬ng vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng tø bªc ba trð l¶n g°p khæng ½t khâ kh«n

M°t kh¡c, n¸u coi méi d¢y sè nh÷ gi¡ trà cõa mët h m sè t¤i c¡c èi sè nguy¶n th¼ vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n câ thº düa tr¶n c¡c ph²p to¡n cõa h m sè To¡n tû Laplace ríi r¤c l  mët trong nhúng cæng cö gióp gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n câ hi»u qu£ Sü kh¡c bi»t khi ta sû döng to¡n tû Laplace l  ta khæng c¦n gi£i ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng º câ thº tâm t­t c¡ch gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n theo c¡ch thæng th÷íng v  bê sung ph÷ìng ph¡p to¡n tû Laplace ríi r¤c , th¦y h÷îng d¨n l  PGS.TS Nguy¹n Thõy Thanh giao cho tæi · t i

" Ph²p bi¸n êi Laplace ríi r¤c vîi ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n "

Luªn v«n ÷ñc chia l m ba ch÷ìng

Ch÷ìng I.C¡c kh¡i ni»m bê trñ

Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng n y l  cung c§p c¡c kh¡i ni»m cì b£n v· sai ph¥n, ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh, ành ngh¾a v  mët sè t½nh ch§t cõa ph²p bi¸n êi Laplace ríi r¤c

Ch÷ìng II Ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng n y l  tr¼nh b¦y c¡ch gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh c§p mët, c§p hai, c¡c ph÷ìng ph¡p chån nghi»m ri¶ng tòy theo d¤ng cõa v¸ ph£i Cuèi chuìng n y giîi thi»u v· ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n b¬ng c¡ch chuyºn qua bi¸n êi Laplace ríi r¤c

Ch÷ìng III Mët sè ùng döng cõa sai ph¥n v  ph²p bi¸n êi Laplace ríi r¤c trong gi£i to¡n phê thæng

Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng n y l  ÷a ra mët sè ùng döng cõa sai ph¥n trong gi£i to¡n phê thæng nh÷ x¡c ành cæng thùc sè h¤ng têng qu¡t cõa d¢y sè, t½nh têng cõa n sè h¤ng ¦u cõa mët d¢y sè, ùng döng sai ph¥n trong x¡c ành a thùc, ùng döng sai ph¥n gi£i ph÷ìng tr¼nh h m

Do thíi gian thüc hi»n luªn v«n khæng nhi·u, ki¸n thùc cán h¤n ch¸ n¶n khi l m luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng h¤n ch¸ v  sai sât T¡c gi£ mong nhªn ÷ñc sü gâp þ v  nhúng þ ki¸n ph£n bi»n cõa quþ th¦y cæ v  b¤n åc

Líi c£m ìn

Ho n th nh ÷ñc luªn v«n n y, ngo i sü né lüc cõa b£n th¥n, tæi ¢ nhªn ÷ñc sü ch¿ b£o, gióp ï tø nhi·u ph½a cõa c¡c th¦y, cæ gi¡o, gia ¼nh

v  b¤n b±

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi ng÷íi th¦y k½nh m¸n

PGS.TS Nguy¹n Thõy Thanh, ng÷íi ¢ trüc ti¸p truy·n thö ki¸n thùc, quy¸t ành h÷îng nghi¶n cùu v  tªn t¼nh h÷îng d¨n cho tæi ho n

th nh b£n luªn v«n

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y, cæ gi¡o khoa To¡n - Cì - Tin håc, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc tü nhi¶n - ¤i håc Quèc gia H  Nëi, nhúng ng÷íi ¢ trüc ti¸p gi£ng d¤y v  gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i tr÷íng còng to n thº b¤n b± v  ng÷íi th¥n ¢ âng gâp þ ki¸n, gióp ï,

ëng vi¶n tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn v«n

n y

Do thíi gian thüc hi»n luªn v«n khæng nhi·u, ki¸n thùc cán h¤n ch¸ n¶n khi l m luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng h¤n ch¸ v  sai sât K½nh mong nhªn ÷ñc þ ki¸n âng gâp cõa c¡c th¦y cæ v  b¤n b± çng nghi»p º b£n luªn v«n ÷ñc ho n ch¿nh hìn

Xin ch¥n th nh c£m ìn

H  Nëi, ng y 20 th¡ng 11 n«m 2014

Håc vi¶n Ph¤m Minh Ti¸n

Ch֓ng 1

CC KHI NI›M BÊ TRÑ

1.1 Kh¡i ni»m sai ph¥n húu h¤n

1.1.1 ành ngh¾a v  v½ dö

Vîi h¬ng sè h 6= 0, h m sè y = f(x) câ gi¡ trà t¤i c¡c iºm

x0, x1 = x0+ h, x2 = x0+ 2h, , xn = x0+ nh, (n ∈N) t÷ìng ùng l 

y0, y1, , yn, ngh¾a l 

y0 =f (x0) = f0;

y1 =f (x1) = f (x0 + h) = f1;

y2 =f (x2) = f (x1 + h) = f2;

yn =f (xn) = f (xn−1 + h) = fn;

K½ hi»u ∆y = f(x + h) − f(x) = ∆f(x) l  sai ph¥n c§p mët cõa h m sè

f (x) t¤i iºm x

Vªy

∆y0 = ∆f (x0) = y1 − y0; ∆y1 = ∆f (x1) = f (x1 + h) − f (x1) = y2 − y1;

∆yn−1 = ∆f (xn−1) = yn− yn−1

∆yn = yn+1− yn

Ta th÷íng x²t h = 1 º phò hñp vîi vi»c nghi¶n cùu d¢y sè v¼ méi sè h¤ng trong d¢y sè ÷ñc coi l  gi¡ trà cõa mët h m sè n o â t¤i c¡c èi sè nguy¶n

ành ngh¾a 1.1 Gi£ sû h m sè y = f(x) ÷ñc cho t¤i c¡c iºm xk =

x0 + k, k ∈ N Khi â

∆yk = ∆fk = f (xk+1) − f (xk)

÷ñc gåi l  sai ph¥n ( húu h¤n ) c§p mët cõa h m sè f(x) t¤i iºm xk V½ dö 1.1 T¼m t§t c£ c¡c a thùc f(x) ∈ R[x] thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau

a)f(x + 1) − f(x) = 0 ∀x

b)(x + 1) − f(x) = x ∀x

Gi£i

a) Cho x = 0, 1, 2 n ta ÷ñc ph÷ìng tr¼nh f(x) = f(0) câ væ sè nghi»m M°t kh¡c, f(x) l  a thùc n¶n f(x) = f(0) ∀x

Thû l¤i ta th§y óng

( Chó þ: Theo ành ngh¾a sai ph¥n v  k¸t qu£ ph¦n a) th¼ ∆f(x) = 0 ∀x d¨n tîi f(x) l  h¬ng sè )

b) Chån g(x) sao cho g(x + 1) − g(x) = x ∀x

Ta chån g(x) = ax2 + bx, ta câ

a(x + 1)2 + b(x + 1) − ax2 − bx = x ∀x ⇔ 2ax + a + b = x

Suy ra a = 1

2, b = −12 , vªy g(x) = 1

2x2 − 12x

Do â (f(x + 1) − g(x + 1)) − (f(x) − g(x)) = 0 ∀x,vi¸t theo sai ph¥n c§p mët l  ∆(f(x) − g(x)) = 0

Theo c¥u a) th¼ f(x)−g(x) = C (C l  h¬ng sè ) n¶n f(x) = 1

2x2−1

2x + C

ành ngh¾a 1.2 Ta gåi sai ph¥n c§p hai cõa h m sè f(x) l  sai ph¥n cõa sai ph¥n c§p mët cõa h m sè f(x) Sai ph¥n cõa sai ph¥n c§p n-1 gåi l  sai ph¥n c§p n cõa h m sè f(x)

K½ hi¶u ∆nf (xk) l  sai ph¥n c§p n cõa h m sè f(x) t¤i iºm xk

∆nyk = ∆nf (xk) = ∆(∆n−1f (xk)) = ∆n−1f (xk+1) − ∆n−1f (xk)

Do â

∆2yk = ∆2fk = ∆f (xk+1) − ∆f (xk) = f (xk+2) − 2f (xk+1) + f (xk) Vîi h m sè y = f(x) sai ph¥n c¡c c§p cõa nâ t¤i c¡c iºm xk ÷ñc s­p x¸p theo b£ng sau:

x = xk x0 x1 x2 x3 x4

yk = f (xk) y0 y1 y2 y3 y4

∆yk ∆y0 ∆y1 ∆y2 ∆y3

∆2yk ∆2y0 ∆2y1 ∆2y3

V½ dö 1.2 X¡c ành cæng thùc sè h¤ng têng qu¡t cõa d¢y sè bi¸t c¡c sè h¤ng trong d¢y l  -1, 2, 13, 44, 107, 214

Gi£i

Gåi f(n) l  sè h¤ng têng qu¡t cõa d¢y sè ¢ cho B£ng sai ph¥n c¡c c§p cõa f(n) l 

n 0 1 2 3 4 5

f (n) −1 2 13 44 107 214

∆f (n) 3 11 31 63 107

∆2f (n) 8 20 32 44

∆3f (n) 12 12 12

∆4f (n) 0 0

Theo b£ng sai ph¥n tr¶n, f(n) l  mët h m sè bªc 3 cõa n n¶n ta °t

f (n) = an3 + bn2 + cn + d (a 6= 0)

Do f(0) = −1, f(1) = 2, f(2) = 13, f(3) = 44 n¶n ta câ h»







d = −1

a + b + c + d = 2

8a + 4b + 2c + d = 13

27a + 9b + 3c + d = 44

Gi£i h» n y ta ÷ñc a = 2, b = −2, c = 3, d = −1

Vªy sè h¤ng têng qu¡t cõa d¢y sè ¢ cho l 

f (n) = 2n3 − 2n2 + 3n − 1

1.1.2 Mët sè t½nh ch§t cõa sai ph¥n

T½nh ch§t 1.1 Sai ph¥n cõa h¬ng sè b¬ng 0

∆C = 0, ( C l  h¬ng sè)

T½nh ch§t 1.2 Sai ph¥n måi c§p câ thº biºu di¹n l¤i theo c¡c gi¡ trà cõa

h m sè

∆kyn =

k

X

i=0

(−1)iCkiyn+k−i

T½nh ch§t 1.3 Sai ph¥n måi c§p l  mët to¡n tû tuy¸n t½nh

∆k(αf + βg) = α∆kf + β∆kg

Vîi α, β l  c¡c h¬ng sè tòy þ; f, g l  c¡c h m sè cõa bi¸n sè x

T½nh ch§t 1.4 H¬ng sè ∀k, m ∈N, m < k Ta câ

yk = f (xk) =

k−m

X

i=0

Ck−mi ∆if (xm)

T½nh ch§t 1.5 Sai ph¥n c§p k cõa a thùc bªc n câ c¡c t½nh ch§t

a) L  a thùc bªc n − k

b) B¬ng h¬ng sè khi n = k

c) B¬ng 0 khi k > n

T½nh ch§t 1.6 Cæng thùc sai ph¥n tøng ph¦n

∆(fk.gk) = fk.∆gk+ gk+1.∆fk T½nh ch§t 1.7 Têng sai ph¥n

n

X

k=1

∆yk = yn+1− y1

1.2 C¡c kh¡i ni»m cì b£n v· ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n v  nghi»m

cõa nâ

1.2.1 Ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh vîi h» sè h¬ng v  d¤ng biºu di¹n

Ph÷ìng tr¼nh d¤ng

F (n, yn, ∆yn, , ∆kyn) = 0 (1.1) hay

F (n, yn, yn+1, , yn+k) (1.2)

÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n c§p k, trong â y(n) l  ©n h m

Ta câ thº bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh (1.1) v· ph÷ìng tr¼nh (1.2) v  ng÷ñc l¤i Thªt vªy, tø cæng thùc

∆kyn =

k

X

i=0

(−1)iCkiyn+k−i

suy ra

∆yn = yn+1 − yn

∆2yn = yn+2 − C21yn+1+ yn

∆3yn = yn+3 − C31yn+2+ C32yn+1 − yn

T i li»u tham kh£o

[1] Nguy¹n Thõy Thanh, H m bi¸n phùc vîi ph²p bi¸n êi Laplace, NXBHQGHN, 2010

[2] Nguy¹n Thõy Thanh , H÷îng d¨n gi£i b i tªp h m bi¸n phùc, NXBHQGHN, 2011

[3] Nguy¹n V«n Mªu, Tr¦n Nam Dông, Nguy¹n Minh Tu§n, Chuy¶n · chån låc d¢y sè v  ¡p döng, NXBGD, 2008

[4] L¶ ¼nh ành, B i tªp ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n, NXBHQGHN, 2011 [5] Nguy¹n V«n Mªu, Nguy¹n V«n Ti¸n, Mët sè chuy¶n · ¤i sè bçi d÷ïng håc sinh giäi trung håc phê thæng, NXBGD, 2010