NỘI DUNG 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : a.. Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác đã biết cách giải.. Phương pháp 2: Biến đổi pt đã

III PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chuyên đề: Lượng giác

u = -v+k2

u = v+k2 cosu = cosv u = v + k2

u = -v+k2 tanu = tanv u = v+k (u;v )

2 cotu = cotv u = v+k (u;v

2 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :

a Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác đã biết cách giải

b Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số

Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây:

Một số dấu hiệu nhận biết :

 Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)

 Phương trình cĩ chứa (cosx sin ) và sinx.cosxx

3 Các phương trình lượng giác thường gặp:

a Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m ( mR)

(Phương trình lượng giác cơ bản)

* Gpt : sinx = m (1)

 Nếu m  1 thì pt(1) vơ nghiệm

 Nếu m  1 thì ta đặt m = sin và ta cĩ (1) sinx = sin x = +k2

2 cos 1 x = 2 cosx = 0 x = + k

2 cos 1 x = 2

b Dạng 2:

2 2 2 2

sin sin 0

tan tan 0 cot cot 0

Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)

a c

(Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx)

x x x thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3

Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )

Chia hai vế của pt (1) cho cos x2 ta được pt:

atan2x b tanx c  0

Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải

Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x k

2



   có phải l nghiệm của (1) không?

e Dạng 5:

a(cosx sin )x bsin cosx x c  0 (1)

(Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx)

Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng :

a(cosx sin )x bsin cosx x c  0

k k

Ví dụ 3: Giải phương trình 4 cos5 cos3 2 8sin 1 cos 5

Bài giải

♥ Ta có: 1 2 sinx 2 2 cosx 2sin cosx x 2 0

sinx 2 cosx 2 2 2 cosx 2 0

sinx 2 2 cosx 2 0 (Biến đổi về pt tích số)

sinx 2 0 sinx 2: phương trình vô nghiệm

♥ Ta có: 1 sinx 4 cosx 2sin cosx x 2 0

sinx 2 2 cosx 1 0 (Biến đổi về pt tích số)

sinx 2 0 sinx 2: phương trình vô nghiệm

♥ Ta có: 1 sinx 2 sin cosx x 0

sinx 1 2 cosx 0 (Biến đổi về pt tích số)

♥ Ta có: 1 2 cos 2 sinx x cos 2x 0 0

cos 2x 2 sinx 1 0 (Biến đổi về pt tích số)

♥ Ta có: 1 2 cos 2x sinx sin 3x 0

2 cos 2x 2 cos 2 sinx x 0

cos 2x s inx 1 0 (Biến đổi về pt tích số)

♥ Ta có: 1 2 1 sinx sin 2x 1 sinx 0

1 sinx 2 sin 2x 1 0 (Biến đổi về pt tích số)

sinx cosx 2 c osx 1 0 (Biến đổi về pt tích số)

Đối chiếu điều kiện: các nghiệm tìm được đều thỏa điều kiện

♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là , 2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 Phương trình lượng giác bậc nhất

Câu 1 Giải phương trình: cos 2x ( 1  2 cosx)(sinx cosx)  0

0 ) cos )(sin

cos 2 1

Câu 2 Giải phương trình: sin 2x  1 6 sinx cos 2x

sin 2x  1 6sinx cos 2x

 (sin 2x 6sin ) (1 cos 2 )x   x  0

2 sinx cosx  3 2 sin x 0

2 sinxcosx  3 sinx 0

 xk Vậy nghiệm của PT là xk ,kZ

Câu 3 Giải phương trình: sin 4x 2cos 2x 4 sin x cosx  1 cos 4x

2 cos 2 2 cos 2 2 cos

cos

Với cos 2xsinx 1  0 1  2 sin2 xsinx 1  0 sinx 1  2 sin2x 1 0

Z m m x

2 1

Câu 4 Giải phương trình: cos2x  2 sin x 1 2 sin x cos 2x    0

Câu 5 Giải phương trình: sin 2x cosx sinx 1 (xR)

sin 2x cosx sinx 1 (1)

(1)  (sinx cos )(1 sinx  x cos )x  0

Câu 6 Giải phương trình: s inx  cosxcos2x

Ta có: s inx  cosxcos2x 2 2

s inx cosx cos x sin x

2 os( ) 1

4

c x x

2 sin cos 1

Câu 8 Giải phương trình: 3 os5c x 2sin 3 os2x c x s inx  0

2 ,1

6sin

26

Câu 11 Giải phương trình: sin 2x c os2x 2 sinx 1

Biến đổi phương trình về dạng: 2 s inx(cosx 1) 2 sin2 x 0

Với cos2x = 1 

2 1

sin cos 1 0 sin( )

Câu 13 Giải phương trình: 2(cosx sin 2 )x   1 4 sin (1 cos 2 )x  x

Phương trình đã cho tương đương với: 2 cosx 2 sin 2x  1 4 sin 2 cosx x

2 6

3

2 2

Câu 16 Giải phương trình: cos 2x 5 2(2 cos )(sin x xcos )x

Câu 17 Giải phương trình: : 3 cos 2 - sin x x cosx2sinx  1 0

sin 2 3 cos 2 3 sin cos

Câu 18 Giải phương trình: sin 2x  4 8 osc x s inx

Biến đổi phương trình về dạng: (s inx-4)(2 cos 1) 0 s inx 4 (1 )

cos

2

vn x

Câu 19 Giải phương trình: 2 sinx  1 cosx sin 2 x

2 sinx 1 cosx 2 sin cos x x

2 6

Câu 20 Giải phương trình: cos x sin 4x cos3x    0

cos x  sin 4x  cos3x   0 2 sin 2x.sin x  2 sin 2x.cos 2x  0

2

2 sin 2x(s inx cos2x) 0 sin 2x( 2 sin x sin x 1) 0

kπ x 2 π sin 2x 0 x k2π

Câu 21 Giải phương trình: sin 3x cos 2x  1 2 sin cos 2x x

sin 3 cos 2 1 2sin cos 2 sin 3 cos 2 1 sin sin 3

2

5 2 6

x k x

Câu 22 Giải phương trình sau: 1 3cos  x cos 2x 2cos3x 4sin sin 2x x

Giải phương trình: 1 3cos  x cos 2x 2cos3x 4sin sin 2x x(1)

(1)  1 3cosx cos 2x 2 cos 2 xx 4 sin sin 2x x

 1 3cos  x cos 2x 2 cos cos 2 x x sin sin 2x x 4 sin sin 2x x

 1 3cos  x cos 2x 2 cos cos 2 x x sin sin 2x x 0

 1 3cos  x cos 2x 2 cosx 01 cos  x cos 2x 0

 2

1 cos

2

x x

2 4

Câu 24 Giải phương trình: 3 sin 2x cos 2x 4sinx 1

2

Câu 25 Giải phương trình: cos 2 (4sinx 1)x   3 sin 2x 1

1

6 sin

2

7 2 6

Câu 28 Giải phương trình: 2 3 sin x  cos x  sin 2x  3

2 3 sin x  cos x  sin 2x  3  2 3 sin x  cos x  2 sin x cos x  3  0

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5 5

x y

*cos x  3  0: Vô nghiệm

Câu 29 Giải phương trình: sin x 2   1 4 cosx cos x  2

PT sin x 2   1 cos x 2  4 cosx  0

6 5 6

, với k, l là số nguyên Kết luận

Câu 31 Giải phương trình: sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0 (1)

  1  sin 6x sinx  sin 5x sin 2x  sin 4x sin 3x 0

7 2

x k

cos2x 3 s in2x+4 sin x sin 3x 1 0

1 2 s in x-2 3 sin x cos x 4 sin x sin 3x 1 0

s inx(2 s in3x-sin x- 3 cos x) 0

sin(2 ) 16 2 3.sin cos 20 sin ( )

*Biến đổi phương trình đã cho tương đương với

os2 3 sin 2 10 os( ) 6 0

Câu 34 Giải phương trình sau: cos sin 2 1 .

 sin (1 2 cos )x  x  cos (1 2 cos )x  x  0.

 (sinx cos )(1 2 cos )x  x  0.

2 2

3

k x

2 Phương trình bậc hai đối với sin, cos

Câu 35 Giải phương trình: (sinx cosx) 2  1 cosx

Ta có: (s inx cosx) 2  1 cosx  1 2 sin xcosx  1 cosx

6 5

6

Câu 36 Giải phương trình: 2

2 os 2c x 3cos 3x 4 cos 2x 3cosx 0

Khi đó , phương trình tương đương với :

3 2 cos x cosx 2  s inx 3  2 cosx  0.

Phương trình đã cho tương đương với 3 3sinxcosx2sinx 3sinxcosx0

s

2 2

2 3 0

Câu 38 Giải phương trình: 2

sin 2x 2 cos x 3sinx cosx Phương trình đã cho tương đương 2

2 sin x 3sinx  2 2 sin cosx x cosx 0 2 sinx 1 sin x cosx 2 0

 sinx cosx  2 0: Phương trình vô nghiệm

7 2 6

t = 2

Vậy nghiệm của phương trình là : x = k2 (k  Z)

Câu 40 Giải phương trình lượng giác: cos2x 3 cosx3sinx3sin2x0

Câu 41 Giải phương trình 2

2 3 cos x 6 sin cosx x  3 3

Câu 44 Giải phương trình trình sau trên tập số thực:

sin2x - 2 3cos2x = 0 với x  ( ;3 )

2

o 

sin2x - 2 3cos2x = 0 <=> cosx(sinx- 3cosx)=0

3 Phương trình chứa mẫu

Câu 46 Giải phương trình: 1 cos (2 cos 1) 2 s inx 1

Điều kiện: cosx   1 x k2 ,  k

Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương:

          (thỏa điều kiện)

Câu 47 Giải phương trình:

23(2.cos cos 2) (3 2cos ).sin

Pt đã cho tương đương với pt:

Vậy pt có 2 họ nghiệm hoặc

Câu 48 Giải phương trình: 2

2 sin

4 tan 2 cos 0 sin cos

sinx cosx sin 2x x cos x.cos 2x 0

3

m

x  mZ