Bí quyết giải phương trình lượng giác

TRẦN MẠNH HÂN- CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC SẮC - CÁC MẸO LOẠI NGHIỆM NHANH, CHÍNH XÁC - CÁCH BẤM MÁY TÍNH TÌM HƯỚNG GIẢI.. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG cos

Trang 1

THẠC SĨ TRẦN MẠNH HÂN

- CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC SẮC

- CÁC MẸO LOẠI NGHIỆM NHANH, CHÍNH XÁC

- CÁCH BẤM MÁY TÍNH TÌM HƯỚNG GIẢI

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

khongbocuoc.com

Trang 2

I CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

sin cos 1 2 sin cos ;

sin cos 1 3 sin cos

sin cos (sin cos )(1 sin cos )

III MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT

 Hai cung đối nhau

cos( x) cosx sin(  x) sinx

tan(  x) tanx cot(  x) cotx

 Hai cung bù nhau

sin(  x) sinx cos(  x) cosx

tan(  x) tanx cot(  x) cotx

 Hai cung phụ nhau

sin(  x) sinx cos(  x) cosx

tan(  x) tanx cot(  x) cotx

 Hai cung hơn nhau

2



CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG

khongbocuoc.com

Trang 3

ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 sin( ) cos

sin(x k2 )  sinx cos(x k2 )  cosx

tan(x k ) tanx cot(x k ) cotx

IV CÔNG THỨC CỘNG

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

tan tantan( )

1 tan

x x x

x x

V CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG

cos cos 2 cos cos

Trang 4

 Điều kiện có nghiệm của phương trình sin x m và cos x m là:  1 m 1

 Sử dụng thành thạo câu thần chú " Cos đối - Sin bù - Phụ chéo" để đưa các phương trình dạng sau

 Đối với phương trình

2 2

cos 1 cos 1

sin 1sin 1

x x

cos 1 sin 0

sin 2 0cos 0

sin 1

x x

1cos 2 cos 1 0

2 cos 2 0

1 1 2 sin 0sin

2

x x

Trang 5

Chú ý: Đối với phương trình tan x m ( tan x m ), trong đó m là hằng số thì điều kiện

cosx 0 (sinx 0) là không cần thiết

Bài 2 Giải các phương trình sau

2 24

212

 Do PT có dạng tanu  tanv nên ta chỉ cần một điều kiện cosu  0 hoặc cosv  0 Để đơn

Trang 6

5tan 3 tan 3

 Do có thể biến đổi PT về dạng tanu  tanv nên ta chỉ cần một điều kiện cosu 0 hoặc

cosv 0 Để đơn giản ta chọn điều kiện:

 4 cos2x 2( 3 1)cosx  3  0  2 cos2x 5 sinx  4 0

 3 tan2x  (1 3) tanx  1 0  sin2 cos2

3

x x

Trang 7

x x

 sin4xcos4x sin cosx x  0 

x x



 

khongbocuoc.com

Trang 8

23cos

4

x x

 sin 3x cos 2xsinx  0 (D-2013)  sin 5x 2 cos2x 1 (B-2013)

 sinx 4 cosx  2 sin 2x (A-2014)  cos 3x cos 2x cosx  1 0 (D-2006)

Hướng dẫn giải:

 PT sin 3xsinxcos 2x 0  2 cos 2 sinx x cos 2x  0cos 2 (2 sinx x 1) 0

4 2cos 2 0

 PTcos 3xcosx cos 2x    1 0 2 sin 2 sinx x 2 sin2x  0

sin (sin 2x x sin )x 0

Trang 9

ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1

DẠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX

 Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a2 b2

 Điều kiện có nghiệm của phương trình: a2 b2 c2

 Chú ý: Khi phương trình có a  c hoặc b  c thì dùng công thức góc nhân đôi và sử dụng

phép nhóm nhân tử chung

 cosx  3 sinx  2  2 sinx 2 cosx  6

 3 cos 3x sin 3x  2 sinx cosx  2 sin 5x

212

Trang 10

 Vậy ta có nên đưa phương trình về dạng 5 5 1 3

cos sin sin cos

không phải giá trị cung lượng giác đặc

biệt có mặt trong SGK?Vì vậy ta nên làm như sau cho thuyết phục:

Trang 11

 cos 7x sin 5x  3(cos 5xsin 7 )x  tanx3 cotx  4(sinx  3 cos )x



  sin sin 2

3cos cos 2

 Nhận xét: Đối với PT dạng asinx bcosx c thì chúng ta có thể giải một cách dễ dàng bằng

cách chia cho a2 b2 Nhưng nếu gặp dạng asinmx bcosmx csinnx dcosnx trong

đó a2 b2 c2 d2 thì làm thế nào? Cứ bình tĩnh quan sát nhé! Chúng ta nhận thấy mỗi vế của

phương trình đều có dạng bậc nhất của sin và cos, ta thử chia mỗi vế cho a2 b2 , rất may

2 2 2 2

a b  c d Nhưng lưu ý rằng, ta phải chuyển vế sao cho mỗi vế có cùng một cung Từ đó

ta có lời giải như sau:

PT cos 7x  3 sin 7x sin 5x 3 cos 5x 1cos 7 3sin7 1sin5 3cos 5

2 x 2 x 2 x 2 x

khongbocuoc.com

Trang 12

PT sin 2x  3 cos 2x  3 sin 2 3

Trang 13

x x

DẠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX

 Dạng phương trình: asin2x bsin cosx x c.cos2x  d 0

 Cách giải:

Cách 1: + Xét cosx 0 có là nghiệm phương trình không?

khongbocuoc.com

Trang 14

+ Xét cosx 0, chia hai vế phương trình cho cos x2 ta được:

tan tan (1 tan ) 0 tan

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất với sin 2x và cos 2x (dạng 1)

 2 sin2x sin cosx x 3 cos2x  0  2 sin2x 3 sin cosx x cos2x  0

 sin2x 10 sin cosx x 21cos2x  0  2 sin2x 5 sin cosx x 3 cos2x  0

 2 sin2x sin cosx x 3 cos2x  0

+ Xét cosx 0 (tức sin2x 1): Khi đó PT trở thành 2 0 nên cosx 0 không thỏa mãn

t t

 2 sin2x 3 sin cosx x cos2x  0

+ Xét cosx 0 (tức sin2x 1): Khi đó PT trở thành 2 0 nên cosx 0 không thỏa mãn

 sin2x 10 sin cosx x 21cos2x  0

+ Xét cosx 0 (tức sin2x 1): Khi đó phương trình trở thành 1 0 nên cosx 0 không t/m

 2 sin2x 5 sin cosx x 3 cos2x  0

+ Xét cosx 0 (tức sin2x 1): Khi đó phương trình trở thành 20 nên cosx  0 không t/m

 sin2x  (1 3)sin cosx x 3 cos2x 0  3 sin2x 4 sin 2x 4 cos2x  0

khongbocuoc.com

Trang 15

 3 sin2x4 sin cosx x 5 cos2x 2  3 sin2x 4 sin 2x(8 33)cos2x  3

 sin2x  (1 3)sin cosx x 3 cos2x 0

 PT3 sin2x 8 sin cosx x 4 cos2x 0

 3 sin2x4 sin cosx x 5 cos2x 2

+ Xét cosx 0 (tức sin2x 1): Khi đó phương trình trở thành 32 nên cosx 0 không t/m

 PT3 sin2x 8 sin cosx x(8 33)cos2x 3

+ Xét cosx 0 (tức sin2x 1): Khi đó phương trình trở thành 3 3 nên cosx 0 thỏa mãn

Tức là

2



+ Xét cosx 0 có là nghiệm phương trình không?

1 tancos x   x

 sinx 4 sin3x cosx  0  2 sin3x  cosx

 2 cos3x sin 3x  4 cos3x 2 sin3x3 sinx  0

khongbocuoc.com

Trang 16

 sinx4 sin3x cosx  0

+ Xét cosx 0 (tức sinx  1): Khi đó PT trở thành 3 0 nên cosx 0 không thỏa mãn

Nhận xét: Khi giải phương trình bậc 3 các em thường bấm máy tính để ra nghiệm ngay, nên các em

biến đổi phương trình 3t3   t2 t 1 0  t 1 Như thế liệu đã đầy đủ chưa? Câu trả lời là chưa đủ vì chúng ta không hề học công thức nghiệm phương trình bậc 3 Các em cần phải phân tích thành nhân tử trước khi đưa ra nghiệm Vậy làm thế nào để phân tích nhanh nhất?

Bước 1: Dùng máy tính 570ES PLUS thu được nghiệm như sau t 1, 1

0, 473

nghiệm phức còn lại 1

3 2

B A

   từ đó suy ra B 2 Vậy ta lập tức phân tích phương trình thành

2

(t1)(3t 2t1) t 1

 2 sin3x  cosx

+ Xét cosx 0 (tức sinx  1): Khi đó PT trở thành  2 0 nên cosx 0 không thỏa mãn

 2 cos3x  sin 3x 2 cos3x  3 sinx 4 sin3x

+ Xét cosx 0 (tức sinx  1): Khi đó PT trở thành 0 1 nên cosx  0 không thỏa mãn

t  t   Khi đó phân tích phương trình thành t33t   2 (t 1)(t2) Như thế liệu đầy

đủ chưa? Các em hãy để ý bậc ở hai vế để tự đưa ra câu trả lời nhé Như vậy là đa thức này còn có 1 nhân tử nữa, theo các em nhân tử này là t 1 hay t 2 Câu trả lời là t 1, vì sao lại như vậy? Rất dễ dàng thôi nhân tử thứ ba này là t 2 thì số hạng tự do của đa thức ban đầu phải là 4, không ổn rồi Vậy kết quả là t33t   2 (t 1)(t2)(t 1)  (t 1) (2 t2)

 4 cos3x 2 sin3x 3 sinx  0

+ Xét cosx 0 (tức sinx  1): Khi đó PT trở thành  1 0 nên cosx  0 không thỏa mãn

3 2

42 tan x3 tan (1x tan )x  0 tan3x 3 tanx  4 0

khongbocuoc.com

Trang 17

 sin sin 2x x sin 3x 6 cos3x  cos3x sin3x  sinx cosx

 6 sinx2 cos3x 5 sin 2 cosx x  cos3x sinx3 sin2xcosx  0

 sin sin 2x x sin 3x 6 cos3x 2 sin2x cosx 3 sinx4 sin3x 6 cos3x

x x x

 6 sinx2 cos3x 5 sin 2 cosx x  6 sinx 2 cos3x 10 sin cosx 2x

cos3x sinx3 sin2xcosx 0

 cos3x4 sin3x3 cos sinx 2xsinx 0  13 tanx 2 sin 2x

 cos3x4 sin3x3 cos sinx 2xsinx 0

khongbocuoc.com

Trang 18

3

x x x

 Điều kiện: cosx 0 Khi đó phương trình trở thành: cosx 3 sinx  4 sin cosx 2x

Chia hai vế phương trình cho cos x3 ta được:

 Điều kiện: cosx 0 PT trở thành: 2 sin2xcosx 2 3 cos2xsinx  3 sinx cosx

3tan

3

x x x

 Điều kiện: cosx 0 PT trở thành:sin3x2 sin2xcosx  3(2 cos3x sin cosx 2x cos )x

x x x

 cos3x sin3x cos2x sin2x  cos3x sin3x  cos 2x

 PTcos3x sin3x  cos2xsin2x

(cosx sin )(1x sin cosx x cosx sin )x 0

cos sin (1)

1 sin cos sin cos 0 (2)

Trang 19

ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Giải (2): Đặt t sinx cosx

2 1sin cos

 PT(cosx sin )(1 sin cos )x  x x  cos2xsin2x

(cosx sin )(1 sin cosx x x sinx cos )x 0

Trang 20

DẠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX

 2(sinx cos )x sin 2x  1 0  sin cosx x 6(sinxcosx1)

 2(sinx cos )x sin 2x  1 0 2(sinx cos ) 2 sin cosx  x x  1 0

Đặt sin cos 2 sin

Vậy phương trình có nghiệm:

 sin cosx x 6(sinxcosx1)

Trang 21

 tanx2 2 sinx  1 sinx cosx2 2 sin cosx x  0 (cosx 0)

sin cos 1 sin

Trang 22

Vậy phương trình có nghiệm: ; 2 ; 2 ( ).

 sin cosx x 2 sinx 2 cosx 0

 Điều kiện: sinx 0

PT2 sin2x cosx 4 sin2xcosx sinx

 2 sin cosx x (sinxcos )x  0

Trang 23

PT trở thành:

(t/m) (lo¹i)

2 2

1 52(1 ) 0 1 0

1 52

 sin3xcos3x 2 sin cosx x sinx cosx  1 sin 3x cos3x sin 2x

 2 sin x cosxtanx cotx  (1sin )(1x cos )x 2

 PT(sinx cos )(1 sin cos )x  x x 2sin cosx x sinx cosx

1( 1)( 1)( 2) 0 1

sin cos 1 sin

 PT 1 (sinx cos )(1x sin cos )x x 2 sin cosx x

1( 1)( 3) 0 0

Trang 24

 (1sin )(1x cos )x 2  sin cosx x sinx cosx 1

t t

sin cos 1 sin

 sin cosx x  sinx cosx 1  (1 sin )cos 2x x (1 cos )sin2x x 1 sin2x

 2 sin 2 (sinx x cos )x 2  sinxcosx 4 sin 2x 1

 2 sin 2x3 6 sinx cosx  8 0

 sin cosx x  sinx cosx 1

t t

 



   

khongbocuoc.com

Trang 25



21

sin cos 1 sin

 PTsinx cosx sin cos (sinx x x cos )x  1 2 sin cosx x

sin cos 1 sin

 PT2 2 sin cos (sinx x x cos )x 2

 PT sinxcosx 8 sin cosx x 1

134

t t

Trang 26



21

sin cos 1 sin 3

 PT 4 sin cosx x3 6 sinx cosx  8 0

t t

2

( )( )

hoặc A a 2tan2x b2cot2xB a tanx bcotxC  0 (2)

 Đối với phương trình (2): Đặt t atanx bcotx

4 sin 4 sin 7 0

sinsin

x x

Trang 27

2sin 2

26

sin sin 2 sin 2

sin sin sin

      để đưa ra điều kiện t 2

cos 0

x x

Nhận xét: Dùng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương nghịch đảo, ta có thể đánh giá t như sau:

tan cot tan cot 2 tan cot 2

t  x x  x  x  x x  để đưa ra điều kiện t 2

cos 0

x x

Trang 28

KĨ THUẬT 1: LỰA CHỌN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Sử dụng các phép biến đổi góc lượng giác

Khi việc giải phương trình lượng giác cần xem xét mối quan hệ giữa các góc (cung) để từ đó kết hợp

với các phép biến đổi góc đặc biệt, công thức cộng lượng giác để đưa về dạng góc cơ bản là một vấn

đề rất then chốt trong việc giải phương trình lượng giác

2

       

1 1(1) 2 2(cos sin ) (sin cos )( 2 sin 2 1) 0

     

1sin 2

Trang 29

cos 2 0

x x

 Chắc hẳn các em sẽ ngạc nhiên bởi cách giải ngắn gọn này, nếu không có sự nhận xét về tổng hai

cung mà quy đồng và biến đổi thì ra không?

 Việc giải điều kiện và đối chiếu với điều kiện đặc biệt là những phương trình có dạng phân thức như

trên nếu không khôn khéo thì rất phức tạp

2 Sử dụng công thức biến đổi tổng sang tích và ngược lại

Khi giải pt mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) của sin (hoặc cos) với nhiều cung khác nhau ta cần để ý đến

các cung có tổng (hiệu) các góc bằng nhau để áp dụng công thức tổng sang tích

 sin x  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x  sin 5 x  sin 6 x  0

 1  sin x  cos 3 x  cos x  sin 2 x  cos 2 x

 cos3x sin3x  sin 2x sinx cosx

Hướng dẫn giải

 Nhận xét: Bài toán có các cung khác nhau biểu diễn dưới dạng tổng (hiệu) của các hàm số sin (hàm

số cos) ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho tổng (hiệu) các cung của chúng bằng nhau, cụ

thể trong trường hợp này ta để ý x 6x 2x 5x 3x 4x Tại sao lại cần phải ghép như vậy?

Lý do là chúng ta cần xuất hiện thừa số chung để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng tích

PT(sin 6x sin ) (sin 5x  x sin 2 ) (sin 4x  x sin 3 )x  0

 Đối với bài này mà sử dụng công thức nhân ba của sin và cos thì cũng ra nhưng phức tạp hơn

Chính vì thế mà ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích sang tổng

Trang 30

2 sin cosx x sin cosx x cos sinx x 0

     sin cos (2x x sinxcos )x  0

ĐS:

2

x k 



 sin 2 sin 5x x sin 3 sin 4x x

 3 cos 5 x  2 sin 3 cos 2 x x  sin x  0 (D2009)

 sinx cos sin 2x x  3 cos 3x 2(cos 4x sin )3x (B2009)

Trang 31

x  x x   sin 32 xcos 42 x sin 52 xcos 62 x (B02)

x



 mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng công thức biến tổng sang tích sau đó nhóm các hạng tử để đưa về

phương trình tích

PT cos 2x cos 4x cos 6x  0 cos 4 (2 cos 2x x 1) 0

cos 4 0

1cos 2

2

x x

 2 sin 22 x sin 7x 1 sinx (B07)  cos4 sin4 1

Định dạng
Số trang	50
Dung lượng	0,94 MB