Rèn luyện kĩ năng giải toán trong dạy học nội dung phương trình lượng giác lớp 11 ban cơ bản

Thiết kế một số bài giảng vận dụng các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trong dạy học nội dung phương trình lượng giác lớp 11 ban cơ bản ..... phổ thông quốc gia, các k

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN HỒNG MINH

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TRONG DẠY HỌC

NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

LỚP 11 BAN CƠ BẢN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN HỒNG MINH

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TRONG DẠY HỌC

NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, hội đồng khoa học và các thầy cô giáo đang công tác giảng dạy tại trường Đại học Giáo Dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đề tài

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo PGS.TSKH Vũ Đình Hòa – người đã trực tiếp hướng dẫn nhiệt tình chỉ bảo tác giả trong quá trình nghiên cứu thực hiện đề tài

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn sự quan tâm tạo điều kiện củalãnh đạo, chỉ huy Khoa Khoa học Tự nhiên – Trường Sĩ quan lục quân 1, các thầy

cô giáo và các em học sinh trường THPTSơn Tây, thị xã Sơn Tây, Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong quá trình thực hiện đề tài

Lời cảm ơn chân thành của tác giả cũng xin được dành cho người thân, gia đình và bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt là lớp Cao học Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán 2017- trường Đại học Giáo Dục – Đại học Quốc gia Hà Nội, vì trong suốt thời gian qua đã cổ vũ, động viên, tiếp thêm sức mạnh cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mình

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa đổi.Tác giả mong được lượng thứ

và rất mong những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày14 tháng 6năm 2019

Tác giả

Nguyễn Hồng Minh

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ

Bảng 3.1 Mức độ hứng thú của học sinh ở hai lớp thực nghiệm và đối

chứng 94

Bảng 3.2 Nhận xét của học sinh lớp thực nghiệm về bài giảng 94

Bảng 3.3 Kết quả ba bài kiểm tra 97

Biểu đồ 3.1 Điểm các lớp thực nghiệm và đối chứng bài kiểm tra 1 98

Biểu đồ 3.2 Điểm các lớp thực nghiệm và đối chứng bài kiểm tra 2 98

Biểu đồ 3.3 Điểm các lớp thực nghiệm và đối chứng bài kiểm tra 3 99

Bảng 3.4 Bảng % học sinh đạt điểm khá giỏi, trung bình, yếu, kém 99

Bảng 3.5 Bảng điểm trung bình 99

Bảng 3.6 Bảng tổng hợp các tham số của hai nhóm đối chứng và TN (Bài kiểm tra 1) 100

Bảng 3.7 Bảng tổng hợp các tham số của hai nhóm ĐC và TN (Bài kiểm tra 2) 100

Bảng 3.8: Bảng tổng hợp các tham số của hai nhóm ĐC và TN (Bài kiểm tra 3) 100

Bảng 3.9 Bảng tổng hợp đại lƣợng kiểm định của các bài kiểm tra 101

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 3

4.1 Khách thể nghiên cứu 3

4.2 Đối tượng nghiên cứu 3

5 Phạm vi nghiên cứu 3

6 Câu hỏi nghiên cứu 3

7 Giả thuyết khoa học 3

8 Phương pháp nghiên cứu 4

8.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận và phân tích tổng hợp 4

8.2 Phương pháp chuyên gia 4

8.3 Phương pháp quan sát 4

8.4 Phương pháp điều tra khảo sát 4

8.5 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 5

9 Đóng góp của luận văn 5

10 Cấu trúc luận văn 5

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Kĩ năng 6

1.1.1 Khái niệm kĩ năng 6

1.1.2 Đặc điểm và sự hình thành kĩ năng 7

1.2 Kĩ năng giải toán 9

1.2.1 Khái niệm kĩ năng giải toán 9

1.2.2 Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trung học phổ thông 9 1.3 Thực trạng dạy học nội dung phương trình lượng giác ở trung học phổ thông 13 1.3.1 Mục tiêu dạy học nội dung phương trình lượng giác ở trung học phổ thông 13 1.3.2 Nội dung kiến thức phương trình lượng giác ở trung học phổ thông 14 1.3.3 Thực trạng dạy học nội dung phương trình lượng giác ở trung học phổ thông 18 Kết luận chương 1 20

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI

TOÁN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LỚP 11 BAN CƠ BẢN 21 2.1 Biện pháp 1: Mở rộng, nâng dần độ khó bài tập 21 2.1.1 Nâng dần độ khó bằng cách sử dụng các công thức góc nhân đôi, nhân ba 22 2.1.2 Nâng dần độ khó bằng cách sử dụng các công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích 25 2.1.3 Nâng dần độ khó bằng cách sử dụng hai hay nhiều công thức lượng giác 28 2.2 Biện pháp 2: Yêu cầu học sinh phân dạng bài tập 33 2.3 Biện pháp 3: Yêu cầu học sinh tổng quát hóa, khái quát hóa, tương tự hóa bài toán 40 2.4 Biện pháp 4: Sử dụng các câu hỏi lật ngược vấn đề, tăng cường phản ví

dụ 48 2.5 Thiết kế một số bài giảng vận dụng các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trong dạy học nội dung phương trình lượng giác lớp

11 ban cơ bản 56 2.5.1 Giáo án 1 56

2.5.2 Giáo án 2 62

2.5.3 Giáo án 3 79

Kết luận chương 2 89

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 90

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 90

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 90

3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 90

3.2 Tiến hành thực nghiệm 90

3.2.1 Đối tượng và địa bàn thực nghiệm 90

3.2.2 Tiến hành thực nghiệm sư phạm 91

3.3 Kết quả thực nghiệm sư phạm 92

3.3.1 Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 92

3.3.2 Phân tích định tính kết quả thực nghiệm sư phạm 92

3.3.3 Phân tích định lượng kết quả thực nghiệm sư phạm 96

Kết luận chương 3 103

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 104

1 Kết luận 104

2 Khuyến nghị 104

TÀI LIỆU THAM KHẢO 105 PHỤ LỤC

Căn cứ vào quan điểm định hướng chiến lược về phát triển giáo dục

của Đảng, Luật giáo dục cũng đã nêu rõ:“Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mỹ

và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu xây dựng và bảo vệ tổ quốc”.[13]

Với mục tiêu giáo dục học sinh trở thành những con người trong thời hiện đại, khám phá và tiếp thu vốn tri thức của nhân loại, năng động, sáng tạo, sẵn sàng thay đổi để thích ứng một cách nhanh nhạy khi mà từng ngày, từng giờ, thế giới đều luôn biến đổi không ngừng; Toán học là công cụ thiết yếu để hoạt động hiệu quả trong mọi lĩnh vực Là môn học không thể thiếu được ở cấp học phổ thông, được đưa vào cấp học phổ thông ngay từ lớp 1, Toán học

là một môn khoa học đòi hỏi sự chính xác cao, tư duy logic và lý luận chặt chẽ Toán học là môn thể thao cho trí não.Học toán là cơ hội tốt nhất cho người học phát triển trí tuệ.Dạy học toán đóng góp quan trọng trong việc giáo dục, rèn luyện phẩm chất và nhân cách cho học sinh.Việc giải thành thạo các bài toán thể hiện sự sáng tạo, khả năng lựa chọn công cụ, sáng tạo trong phân tích bài toán của học sinh Vì vậy, rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh chính là một trong những yêu cầu của việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay

Dạy học lượng giác là một nội dung quan trọng trong dạy học toán ở trung học phổ thông Là một nội dung luôn xuất hiện trong đề thi trung học

phổ thông quốc gia, các kì thi học sinh giỏi các cấp, phương trình lượng giác thường làm cho học sinh lúng túng, gây ra không ít khó khăn trong việc tìm lời giải.Bên cạnh đó, mảng kiến thức về phương trình lượng giác khá rộng với một hệ thống các công thức tương đối nhiều, thật sự đòi hỏi trí nhớ tốt và sự nhạy bén trong việc tìm ra hướng đi đúng và giải bài toán thành công

Với tất cả những lý do trên, tôi đã chọn lựa và nghiên cứu đề tài “Rèn luyện kĩ năng giải toán trong dạy học nội dung phương trình lượng giác lớp

11 ban cơ bản”

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu lý luận và thực tiễn về vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán, luận văn khẳng định vài trò, ý nghĩa và các yếu tố ảnh hưởng đến kĩ năng giải toán của học sinh Đồng thời thông qua đó đề xuất được một số biện pháp nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học nội dung phương trình lượng giác

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nhiệm vụ 1: Xây dựng được cơ sở khoa học bao gồm cơ sở lý luận và

cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu

- Nhiệm vụ 2: Nghiên cứu nội dung kiến thức phần phương trình lượng giác, đại số và giải tích lớp 11 ban cơ bản

- Nhiệm vụ 3: Điều tra thực tế về thực trạng học tập phần kiến thức phương trình lượng giác bộ môn Toán của học sinh lớp 11 ban cơ bản ở trường trung học phổ thông (THPT) Sơn Tây, thị xã Sơn Tây, Hà Nội

- Nhiệm vụ 4: Đề xuất được một số biện pháp thiết thực nhằm bồi dưỡng, rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trong dạy học nội dung phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 ban cơ bản ở trường trung học phổ thông

- Nhiệm vụ 5: Tổ chức thực nghiệm sư phạm đánh giá tính hiệu quả, khả thi của kết quả nghiên cứu

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

4.1 Khách thể nghiên cứu

Quá trình dạy học giải toán nội phương trình lượng giác lớp 11 ban cơ bản ở trường trung học phổ thông

4.2 Đối tượng nghiên cứu

Các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua giải phương trình lượng giác của học sinh lớp 11 ban cơ bản

5 Phạm vi nghiên cứu

- Luận văn chỉ giới hạn ở việc khảo sát tìm hiểu và đề xuất một số biện pháp thiết thực nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trong dạy học nội dung phương trình lượng giác ở trung học phổ thông, tập trung ở khối cơ bản, thuộc chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, Đại số

và Giải tích 11 cơ bản

- Mẫu khảo sát: Học sinh lớp 11A1, 11A2 năm học 2018-2019,trường THPT Sơn Tây, thị xã Sơn Tây, Hà Nội

- Phạm vi về thời gian: Từ tháng 9/2018 đến 6/2019

6 Câu hỏi nghiên cứu

- Vận dụng phương pháp dạy học như thế nào dể học sinh lớp 11 tiếp thu tốt kiến thức chương 1 Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, đại số và giải tích lớp 11, ban cơ bản?

- Giáo viên đưa ra các biện pháp như thế nào để rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trong nội dung phương trình lượng giác nói riêng cũng như các dạng toán về lượng giác nói chung?

7 Giả thuyết khoa học

Nếu làm rõ cơ sở khoa học bao gồm cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu; đưa ra được những nhận xét, minh chứng cho việc tìm hiểu về rèn luyện kĩ năng cho học sinh; hệ thống được các kỹ năng nhận dạng

và giải phương trình, đóng góp một số biện pháp; lựa chọn được các ví dụ và

bài tập phù hợp thì sẽ rèn luyện được kĩ năng giải toán cho học sinh trong nội dung phương trình lượng giác và tạo được hứng thú để học môn Toán

8 Phương pháp nghiên cứu

8.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận và phân tích tổng hợp

Thực hiện nhiệm vụ 1, 2.Nghiên cứu một số tài liệu về lý luận dạy học, giáo dục học, tâm lý học, các giáo trình về phương pháp giảng dạy Toán, đồng thời dựa vào cơ sở lý luận về tâm lý học,lý luận dạy học, , các bài nghiên cứu trước để tìm hiểu về kỹ năng giải toán Đồng thời phỏng đoán, phân tích và đề xuất giải pháp cho việc rèn luyện kĩ năng giải các bài toán

phương trình lượng giác cho học sinh

8.2 Phương pháp chuyên gia

Thực hiện nhiệm vụ 2, 3.Thông qua việc dự giờ, thảo luận, lấy ý kiến của các thầy cô giáo đã và đang giảng dạy tại các trường,cựu học sinh và học sinh

có thành tích tốt trong học tập mảng lượng giác

Mục đích: Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến khả năng giải phương trình

lượng giác kém thông qua các ý kiến và tham khảo đề xuất giải pháp

8.3 Phương pháp quan sát

Thực hiện nhiệm vụ 3.Tiến hành quan sát thái độ của học sinh trong các giờ học trên lớp và một số giờ tự học ở nhà, từ thực tiễn đưa ra ý kiến đánh giá chủ quan; nghiên cứu để kiểm tra,từ đó đưa ra nhận xét và đề xuất phù

hợp

8.4 Phương pháp điều tra khảo sát

Thực hiện nhiệm vụ 3, 4

Khảo sát học sinh lớp 11A1, lớp 11A2- Trường THPT Sơn Tây, thị

xãSơn Tây, Hà Nội, khảo sát 2 lớp học được chọn

+ Phát phiếu điều tra (có mẫu kèm theo)

+ Xử lý kết quả thực nghiệm thông qua việc sử dụng phương pháp thống kê toán học

8.5 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Thực hiện nhiệm vụ số 4.Thực nghiệm giảng dạy một số giáo án soạn theo hướng của luận văn, phát phiếu điều tra lấy thông tin phản hồi từ người học nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

9 Đóng góp của luận văn

Luận văn cung cấp một cách hệ thống cơ sở khoa học về kỹ năng giải toán

Đề xuất các phương pháp và các ví dụ thông qua đó giúp rèn luyện được

kỹ năng giải toán trong dạy học nội dung phương trình lượng giác cho học sinh nói chung và đặc biệt là học sinh lớp 11 ban cơ bản

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Một số biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán trong dạy học nội

dung phương trình lượng giác lớp 11 ban cơ bản

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Kĩ năng

1.1.1 Khái niệm kĩ năng

Khái niệm “kỹ năng” được sử dụng nhiều trong môn toán cũng như trong đời sống Sau đây là một số khái niệm về kĩ năng :

Theo Thái Duy Tuyên: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay các khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ

lí luận hay thực hành xác định” [0]

Theo từ điển tiếng Việt: “Kĩ năng là khả năng của con người trong việc vận dụng kiến thức để thực hiện một nhiệm vụ nghề nghiệp mang tính kỹ thuật, giải quyết vấn đề tổ chức, quản lý và giao tiếp.” [16]

Trong thực tế cuộc sống, con người luôn luôn cần có nhiều kỹ năng để

có thể sống, có thể hòa nhập và có thể đóng góp cho cộng đồng.Trong giáo dục, người ta coi kỹ năng là một phần của thực hành và hoạt động quản lý.Ví

dụ như, một cử nhân luật kinh tế sau khi tốt nghiệp với tấm bằng loại giỏi thì cần có tối thiểu những kĩ năng sau: Kĩ năng tư duy, sắp xếp; kĩ năng tranh tụng; kĩ năng dân sự; kĩ năng giao tiếp bằng tiếng anh;…Đối với học sinh, sinh viên nói chung, trình độ kiến thức là điều kiện cần nhưng chưa đủ Kĩ năng chính là điều kiện cần nhưng lại rất thiếu hiện nay

Theo nhà tâm lý học người Liên XôL Đ.Lêvitôv thì kỹ năng là có kết quả của sự thực hiện một động tác hay một hoạt động phức tạp hơn thông qua việc lựa chọn và sử dụng những phương thức đúng đắn Theo quan điểm của ông, một người có kỹ năng là người phải nắm được và có thể vận dụng một cách đúng đắn các phương thức hành động với mục tiêu có được kết quả như mong muốn.Người có kỹ năng là người không những nắm chắc lý thuyết mà phải vận dụng được lý thuyết về hành động vào thực tế

G.Polya, nhà toán học, nhà sư phạm người Mỹ cũng đã cho rằng kỹ năng chính là một nghệ thuật, là khả năng người ta vận dụng những hiểu biết, kiến thức có được để đạt được mục đích Kỹ năng có thể hiểu là khả năng làm việc thông qua vận dụng các phương pháp

Theo từ điển Hán - Việt:“Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn” [2] Trong đó khả năng được hiểu là sức đã có về mặt nào

đó để có thể làm tốt việc gì

Theo một định nghĩa khác, kĩ năng là năng lực vận dụng có kết quả tri thức về phương thức hành động Nói cách khác kĩ năng chính là sự vận dụng, ứng dụng kiến thức có được trong hoạt động nhằm có được kết quả

Qua phân tích một số quan điểm về kĩ năng như trên, tôi đã hiểu về kĩ năng như sau:

“Kĩ năng là khả năng của chủ thể vận dụng kiến thức để thực hiện thành thạo một chuỗi các hoạt động nhằm đạt được kết quả mong đợi”

1.1.2 Đặc điểm và sự hình thành kĩ năng

Kĩ năng là một vấn đề phức tạp, được các nhà nghiên cứu trao đổi, bàn luận khá nhiều Mỗi kĩ năng mới được hình thành đều trải qua các bước: mục đích – kế hoạch – cập nhật – luyện tập – ứng dụng – điều chỉnh Kĩ năng được hình thành nhanh hay chậm, bền vững hay là không phụ thuộc vào năng lực tiếp nhận của chủ thể, cách thức luyện tập và mức độ phức tạp của chính kĩ năng đó

- Mục đích: Chủ thể cần xác định được mục đích của hành động Chủ thể cần tự mình trả lời được câu hỏi “Tại sao cần sở hữu kĩ năng đó?”

- Kế hoạch: Lên kế hoạch, phác thảo ý tưởng thực hiện mục tiêu đề ra.Cần xây dựng được những kế hoạch từ đơn giản đến phức tạp, từ ngắn hạn đến dài hạn.Xác định được điều kiện, các cách thức để có thể đi đến kết quả,

để có thể thực hiện hành động

- Cập nhật: Tiếp cận nội dung kiến thức và lý thuyết liên quan đến kĩ

năng đó Cập nhật thông qua tài liệu, trường lớp, báo chí, các kênh thông tin khác và trong cả thực tế cuộc sống

- Luyện tập: Áp dụng kiến thức tiếp thu đươc vào thực tế, vào trong công việc và cuộc sống Đây là giai đoạn quan trọng để chủ thể biến kiến thức thành hành động, hành động thành kĩ năng của mình

- Ứng dụng: Áp dụng những kiến thức tiếp thu được vào công việc và trong cuộc sống Kĩ năng mới đã được hình thành nhưng để thuần thục cần gọt giũa một vài điểm để đưa kĩ năng mới lên đến đỉnh cao

- Điều chỉnh: Tiếp thu các góp ý, chỉnh sửa để hoàn thiện kĩ năng tới mức thành thục, sẵn sàng, tự tin, sẻ chia, hướng dẫn người khác

Như vậy, để hình thành được kĩ năng, chủ thể cần phải:

- Nắm vững kiến thức cơ sở làm nền cho việc hiểu biết Hiểu được mục đích, điều kiện, cách thức hành động để đi được đến kết quả

- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng, vì thế cho nên tùy theo kiến thức cần nắm được mà chủ thể có những yêu cầu rèn luyện tương ứng và thực hiện hành động

- Thu được kết quả phù hợp với mục đích ban đầu đề ra

- Có thời gian để rèn luyện kĩ năng một cách thuần thục, có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau

Kĩ năng được hình thành thông qua quá trình tư duy nhằm giải quyết các nhiệm vụ đặt ra Con đường hình thành kĩ năng rất phong phú và phụ thuộc vào nhiều yếu tố như kiến thức nền tảng xác định kĩ năng, yêu cầu rèn luyện, luyện tập kĩ năng, sự chủ động của chủ thể, mức độ phức tạp của kĩ năng Vì vậy để có thể hình thành kỹ năng cho học sinh cần truyền thụ cho học sinh những kiến thức cần thiết, định hướng cho học sinh bằng những bài toán vận dụng có thể giải quyết được thông qua những kiến thức đó.Bên cạnh

đó cần dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu để học sinh tìm tòi, thử nghiệm và xách định được hướng đi đúng cho các bài toán

1.2 Kĩ năng giải toán

1.2.1 Khái niệm kĩ năng giải toán

Theo Thái Duy Tuyên: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những tri thức khoa học vào các vấn đề thực tiễn” [14]

Theo G.Polya: “Trong toán học kỹ năng là khả năng giải bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”.[6]

Thông qua tìm hiểu và tổng hợp các quan niệm về giải toán, tôi nhận thấy giải toán là một hoạt động trí tuệ tích cực của bản thân đƣa ra đƣợc các giải pháp, tìm đƣợc phần cần tìm, trình bày đƣợc lời giải của bài toán

Từ một số quan điểm nêu trên về kỹ năng, tôi cho rằng: “Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng những kiến thức đã đƣợc học trong môn Toán, các môn học khác cùng với kiến thức thực tế để tìm ra lời giải cho các bài toán”

Kỹ năng giải toán có thể chia thành ba cấp độ nhƣ sau:

- Cấp độ 1: Vận dụng lý thuyết vừa học để giải đƣợc các bài toán ở mức độ thông hiểu

- Cấp độ 2: Sử dụng các cách giải đã biết để giải chính xác, nhắn gọn, nhanh chóng các bài toán đƣợc đƣa ra

- Cấp độ 3: Giải quyết đƣợc các bài toán ngắn gọn, nhanh chóng, cách giải độc đáo và sáng tạo

1.2.2 Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinhtrung học phổ thông

Luật giáo dục Việt Nam quy định mục tiêu của giáo dục phổ thông:

“Mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người việt nam XHCN, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân Chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ tổ quốc” [13]

Cụ thể hóa mục tiêu nêu trên trong dạy học nói chung và dạy học môn Toán nói riêng thì nội dung phát triển trí tuệ cho học sinh luôn là mục tiêu được đưa lên hàng đầu Học sinh cần được phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ, nhằm giúp học sinh biết tư duy, rèn luyện các kĩ năng cần thiết, có thể biến những tri thức tiếp thu được thành kiến thức của chính bản thân mình

và thành công cụ để nhận thức và vận dụng Người giáo viên dạy toán là chiếc cầu nối đưa học sinh đến với Toán học và những điều tốt đẹp mà Toán học mang lại

Đồng thời, yêu cầu về nội dung, phương pháp cũng được nêu rõ: “Nội dung giáo dục phổ thông phải bảo đảm tính phổ thông, cơ bản, toàn diện, hướng nghiệp và có hệ thống; gắn với thực tiễn cuộc sống, phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi của học sinh, đáp ứng mục tiêu giáo dục ở mỗi cấp học……

Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thứ vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.” [13]

Từ mục tiêu cũng như yêu cầu về nội dung và phương pháp giáo dục phổ thông được nêu ra ở trên, để có thể rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh theo tôi cần phải thực hiện đồng bộ các hoạt động sau:

1.2.2.1 Trang bị các kiến thức về phương pháp giải toán cho học sinh

Giáo viên trước hết cần chú ý cách thức xây dựng bài toán để tăng hiệu quả dạy Toán:

+ Nguyên tắc lựa chọn hệ thống bài tập: Bài tập phải đi từ đơn giản đến phức tạp; đa dạng, phong phú; có thể phân loại học sinh; giúp học sinh hiểu

và ghi nhớ được phương pháp giải các loại bài tập điển hình Hệ thống bài tập được biên soạn hướng tới phát triển tư duy, rèn luyện kĩ năng và năng lực sáng tạo cho học sinh

+ Nguyên tắc sử dụng hệ thống bài tập: Hệ thống bài tập được sử dụng bắt đầu từ những bài tập ở mức độnhận biết, thông hiểu lên đến vận dụng và vận dụng cao Những bài tập được lựa chọn đưa vào hệ thống đều có thể sử dụng ở tất cả cácbước khác nhau của quá trình dạy học nêu vấn đề, khi hình thành kiến thức mới hay củng cố, hệ thống, kiểm tra và đánh giá

Giáo viên muốn hướng dẫn cho học sinh có thể đi đến lời giải nhanh nhất và độc đáo nhất thì phải đưa ra được phương pháp hướng dẫn phù hợp nhất cho từng đối tượng cụ thể Đó là một hoạt động trí tuệ tinh vi và phức tạp của cả giáo viên và học sinh.Bằng sự hướng dẫn của giáo viên,học sinh dần hình thành được một quy trình chung, hình thành phương pháp, các bước tìm

lời giải cho một bài toán

- Cái đã được của bài toán là gì?

- Cái cần phải tìmcủa bài toán là gì?

- Giữa cái cần tìm và cái đã cho có mối liên hệ gì?

- Điều kiện đã đủ để giải quyết bài toán không ?

Bước 2 : Lập kế hoạch giải toán

Lập kế hoạch giải toán chính là việc học sinh xác định trình tự cho việc giải quyết những đòi hỏi của bài toán Các dạng toán vô cùng phong phú và

đa dạng, do vậy quá trình giải toán đòi hỏi người giải có tư duy nhạy bén

Học sinh có thể tìm ra cách giải của bài toán thông qua sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp, quy lạ về quen, phương pháp trực quan, quy nạp hay đưa về các trường hợp đặc biệt để xét, sử dụng các bài toán phụ mang tính chất gợi ý

G.Polya đã viết :“Thành công trong việc giải bài tập nhờ vào xác định phương hướng chính xác, nhờ vào biết cổng đồn đúng phía”.[5] Vì vậy cho

nên khi đứng trước một bài toán thì học sinh có thể:

- Chuyển bài toán từ phức tạp về bài toán đơn giản hơn

- Chuyển bài toán từ trường hợp chungđưa về trường hợp đặc biệt

Trong dạy học toán ở trường phổ thông, hoạt động giải toán là hình thức tốt nhất để củng cố, hệ thống, rèn luyện và gắn chặt kiến thức với kỹ năng Hoạt động giải toán cũng là hoạt động hàng đầu giúp phát triển tư duy

và cảm nhận của học sinh thông qua môn học Đồng thời đó cũng là hình thức tốt nhất để giáo viên và bản thân học sinh có thể kiểm tra năng lực, khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức, phát hiện lỗ hổng và những sai lầm thường gặp để khắc phục kịp thời Học sinh chỉ hứng thú với bài học, môn học khi

hiểu bài, tự phát hiện vấn đề và tự giải quyết được những yêu cầu mà giáo

viên đặt ra

Tổ chức các hoạt động học tập nhằm mục đích giúp cho học sinh nắm được một cách vững chắc và có hệ thống các nội dung kiến thức được quy định trong chương trình Học sinh có thể tự phát hiện ra vấn đề và tự mình giải quyết nó.Việc giải bài tập toán từ đó gây hứng thú, phát triển tư duy và rèn luyện cho học sinh về nhiều mặt, đặc biệt là các thao tác trí tuệ.Tổ chức hiệu quả các hoạt động này đóng vai trò quyết định trong việc nâng cao chất lượng dạy và học

Để có thể thực hiện được điều nêu trên, giáo viên cần phải:

- Tạo ra được những tình huống gợi được những hoạt động liên quan và tương thích với nội dung và mục tiêu cần đạt

- Có sự trao đổi, giao lưugiữa học sinh với học sinh và giữa giáo viên với học sinh

- Điều chỉnh hoạt động học tập: Điều chỉnh mức độ khó của nhiệm vụ, đi kèm với đó là các gợi ý tương ứng

- Khuyến khích những cách giải quyết độc đáo, sáng tạo

- Nhận xét, đánh giá, tổng kết, khắc sâu kiến thức

1.3.Thực trạng dạy học nội dung phương trình lượng giác ở trung học phổ thông

1.3.1 Mục tiêu dạy học nội dung phương trình lượng giác ở trung học phổ thông

Học sinh được làm quen, tìm hiểu về kiến thức phương trình lượng giác, các dạng bài tập thường găp, một số cách giải điển hình Bước đầu vận dụng kiến thức tiếp thu được giải quyết các bài toán từ đơn giản đến phức tạp Đặc biệt là bồi dưỡng, phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh, tạo cơ hội cho học sinh bộc lộ khả năng sáng tạo Thông qua nhiệm vụ giải các bài tập thuộc nội dung phương trình lượng giác còn rèn luyện tính cẩn thận, chính xác,

khoa học Bên cạnh đó là giáo dục, phát hiện, bồi dưỡng nhân tài, giáo dục tư tưởng, phẩm chất cho học sinh trung học phổ thông

cơ bản đến nâng cao

- Học sinh nhận biết được mối liên quan giữa Toán học với các môn học khác Rèn luyện các khả năngtư duy - logic,khả năng sáng tạo, khả năng định hướng, khả năng giải quyết vấn đề Chủ động tìm tòi, phát hiện, khám phá và chiếm lĩnh kiến thức

1.3.2 Nội dung kiến thức phương trình lượng giác ở trung học phổ thông

1.3.2.1 Cấu trúc nội dung

Cấu trúc nội dung Phương trình lượng giác theo phân phối chương trình Toán 11 ban cơ bản theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào tạo như sau:

Lý thuyết

Số tiết Bài tập Tổng

Cấu trúc dạy học phương trình lượng giác bao gồm 5 hoạt động chính:

- Nhận dạng phương trình: Phương trình lượng giác đa dạng về thể loại, phong phú về cách giải và không có một phương pháp tổng quát nào giải được mọi phương trình Chính vì vậy, giáo viên cần giúp học sinh nhận dạng được các loại phương trình và tiếp thu được các phương pháp giải của chúng Các dạng phương trình được phân loại cần chi tiết, rõ ràng về cách thức giải

Cụ thể trong sách giáo khoa lớp 11 đã phân phương trình lượng giác thành các dạng: Phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx, phương trình thuần nhất bậc hai với sinx, cosx

- Biến đổi phương trình: Sau khi nhận ra dạng phương trình, biến đối như thế nào để có thể giải được phương trình nhanh gọn và chính xác rất quan trọng và cũng khó khăn không kém Có thể biến đổi phương trình về dạng quen thuộc để có thể giải được hay không phụ thuộc vào cách hướng dẫn học sinh suy nghĩ, tư duy, tìm tòi của học sinh

- Giải phương trình: Đây là khâu quyết định khi giải phương trình Các phép biến đổi tương đương phải chính xác, các trường hợp được trình bày một cách hợp lý, đầy đủ mới đem lại tính thuyết phục của một bài giải, tất cả đều phụ thuộc vào việc trình bày bài giải

- Kiểm tra, đánh giá kết quả: Đối chiếu lời giải với đề bài, kiểm tra thỏa mãn các điều kiện, kiểm tra các phép biến đổi tương đương, các công thức đã vận dụng, xem xét đầy đủ các trường hợp xảy ra

Bằng việc thấy trước được diễn biến tâm lý của học sinh là sau khi giải phương trình nhận được thường hài lòng sớm với thành quả đạt được hoặc mệt mỏi cho nên bỏ qua giai đoạn kiểm tra, đánh giá kết quả này.Giáo viên cần yêu cầu học sinh rèn luyện thói quen kiểm tra, đánh giá kết quả Thói quen xem xét kiểm tra lại bài làm của mình không những giúp học sinh có ý thức trách nhiệm với công việc được giao, mà còn rèn luyện cho học sinh thói

quen nhìn nhận vẫn đề một cách toàn diện, tránh cái nhìn phiến diện dễ đưa đến các sai lầm đảng tiếc

- Phân tích những sai lầm phổ biến; Có nhiều nguyên nhân dẫn đến các sai lầm Bằng kiến thức và kinh nghiệm của mình, giáo viên cần nhìn nhận, tổng kết và phân tích nguyên nhân của các sai lầm.Bên cạnh đó là nghiên cứu

và đưa ra được các biện pháp tích cực để sửa chữa các sai lầm nhằm nâng cao nâng lực giải toán cho học sinh

Giáo viên là người gợi mở, hướng học sinh tới đích là giải được bài toán.Các hoạt động nêu trên đều có quan hệ gắn bó chặt chẽ, mật thiết với nhau.Để nắm được cách thức tiến hành toàn bộ hoạt động dạy học phương trình lượng giác, giáo viên cần phân tích kĩ càng các hoạt động thành phần nêu trên

1.3.2.2 Củng cố, khắc sâu kiến thức

Mục tiêu cao nhất trong dạy học toán là làm thế nào dạy cho học sinh cách tư duy và hình thành các kĩ năng cần thiết Tuy nhiên đối với bất kì học sinh nào, dù khá giỏi hay yếu kém thì quan trọng và không thể thiếu đó là những kiến thức lý thuyết căn bản nhất Không học sinh nào có thể giải quyết được bài toán khi không có kiến thức lý thuyết làm cơ sở

Các nội dung, kiến thức trong môn Toán luôn có sự liên kết chặt chẽ với nhau, đóng một vai trò quan trọng tạo nên cơ sở xây dựng hệ thống suy diễn của Toán học Phương trình lượng giác là một nội dung học quan trọng trong chường trình dạy học môn Toán ở trung học phổ thông với một mảng kiến thức lý thuyết tương đối rộng Học sinh khi tiếp cận với nội dung này thường có chung nỗi lo: có quá nhiều công thức cần nhớ, các công thức khá giống nhau dễ gây nhầm lẫn, khi nào thì sử dụng công thức này, khi nào sử dụng công thức kia?.Để phương trình lượng giác không trở thành nỗi sợ hãi cho học sinh thì giáo viên cần giúp học sinh nắm vững các kiến thức cần thiết làm hành trang, công cụ cho các em tự tin chinh thục thế giới lượng giác

Để làm được điều đó, theo tôi giáo viên cần phải:

i) Hệ thống lại kiến thức lý thuyết:

Muốn cho học sinh nhớ được và vận dụng được thì trước hết, học sinh cần được tiếp nhận kiến thức một cách có hệ thống Cụ thể, đối với nội dung phương trình lượng giác, học sinh cần được trang bị các kiến thức về:

- Công thức cộng, công thức nhân đôi, nhân ba, công thức hạ bậc

- Công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng Một số kết quả thường dùng

- Các phương trình lượng giác cơ bản

- Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

- Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

- Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx

ii) Hướng dẫn học sinh học thuộc công thức

Thông qua nhiều phương thức có thể áp dụng, ví dụ như gợi ý cho học sinh các mẹo học thuộc, chuyển công thức thành dạng thơ, vè là phương pháp được học sinh ưa chuộng nhất, giáo viên giúp học sinh nhớ được công thức cần thiết một cách đơn giản kể cả đối với những học sinh thuộc chuyên ban xã hội Một số công thức được chuyển đổi còn được truyền qua nhiều thế hệ học sinh, cho thấy hiệu quả của phương thức này

Tuy nhiên, hiệu quả của phương thức trên chỉ dừng lại ở mức độ học vẹt, có nghĩa là nếu nhớ sai thì cũng làm sai Trong quá trình giảng bài mới, giáo viên không nên trực tiếp đưa ra kiến thức hoàn chỉnh cho học sinh màtheo tôi nên khéo léo hướng dẫn cho học sinh tự tìm ra công thức mới của

bài học Nếu làm được điều này, không những tạo sự chủ động mà còn tạo kiện cho học sinh phát huy tính tích cực, độc lập, gia tăng hứng thú học tập

Ví dụ: Khi xây dựng công thức nhân đôi, cụ thể là xây dựng công thức sin2x Giáo viên có thể gợi ý bằng việc đặt ra các câu hỏi gợi mở:

+ Nhắc lại công thức khai triển sin(x+y)?

+ Nếu cho x=y thì công thức biến đổi như thế nào?

+ Công thức mới có được là gì?

Như vậy học sinh có thể nhớ được cách thức xây dựng, công thức và dạng khai triển của nó.Tiếp tục sau đó học sinh có thể tự xây dựng công thức nhân đôi, nhân ba, thậm chí cả công thức hạ bậc

iii) Áp dụng kiến thức vào bài tập

Thực tế dạy học chỉ ra rằng, không có cách nào củng cố, khắc sâu lý thuyết nhanh chóng và hiệu quả bằng áp dụng kiến thức vào bài tập Sau khi học xong lý thuyết cho học sinh thực hành sử dụng lý thuyết mới học vào những bài tập đơn giản, hay ở mỗi dạng bài tập, nhắc lại kiến thức và áp dụng ngay vào bài tập cụ thể Việc áp dụng vào giải bài toán hiệu quả hay không cho phép học sinh có thể tự kiểm tra xem mình hiểu bài tới đâu Từ đó giáo viên sẽ có sự củng cổ tri thức ngay sau đó làm tiền đề cho học sinh tiếp thu kiến thức mới dễ dàng, thuận tiện cho trau dồi kĩ năng giải toán nói riêng và giải phương trình lượng giác nói chung

1.3.3 Thực trạng dạy học nội dung phương trình lượng giác ở trung học phổ thông

Phương trình lượng giác là một trong những nội dung thường được xuất hiện trong đề thi trung học phổ thông và thi học sinh giỏi các cấp gây ra không ít khó khăn cho học sinh trong việc tìm hướng đi và lời giải.Phương trình lượng giác là một mảng kiến thức lớn với hệ thống công thức tương đối nhiều, gây không ít lúng túng và khó khăn cho học sinh trong cách tư duy hướng giải bài toán

Những khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình lượng giác:

- Không thể nắm chắc hệ thống lý thuyết Nội dung công thức thuộc kì

2 năm lớp 10 nhưng phương trình lượng giác thuộc kì 1 lớp 11 Do thời gian

bị ngắt quãng nên học sinh phải ôn lại nhiều, dễ bị nhầm lẫn di công thức tương đối nhiều

- Khó diễn đạt và trình bày lời giải, đặc biệt với những phương trình có điều kiện xác định và yêu cầu phức tạp

- Chỉ thực hiện được giải toán một cách máy móc, theo khuôn mẫu có sẵn

- Nắm vững lý thuyết nhưng việc sử dụng công thức như thế nào cũng trở nên khó khăn Học sinh cầnthực hành làm nhiều bài tập đa dạng mới có kinh nghiệm để vận dụng linh hoạt kiến thức đã được học

- Chưathể đi sâu tìm tòi, chưa mở rộng được các bài toán liên quan

- Khả năng tự học và tự nghiên cứu tài liệu của học sinh còn hạn chế Thời lượng giảng dạy cho học phần này chỉ có 17 tiết, nếu giáo viên không có chiến lược giảng dạy hợp lý kết hợp với nghiên cứu, luyện tập của học sinh thì việc có thể giải thuần thục phương trình lượng giác là không tưởng

- Khả năng tập trung học tập kém, bị động

Dạy học giải toán không có nghĩa là chỉ đơn thuần với hai hoạt động là

ra đề bài và đưa ra lời giải Việc biết được lời giải bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để có thể tìm và đưa ra được lời giải đó, cách thức thực hiện như thế nào và bắt nguồn từ đâu.Dạy học giải toán là một hoạt động trí tuệ tinh vi và phức tạp của cả giáo viên và học sinh Chính vì vậy, giáo viên muốn hướng dẫn cho học sinhtìm được con đường đi đến lời giải nhanh nhất

và độc đáo nhất thì phải đưa ra được phương pháp hướng dẫn phù hợp nhất cho từng đối tượng cụ thể

Toán học là môn học đòi hỏi tư duy logic cộng với sự nghiên cứu chuyên sâu Tuy nhiên, theo phân phối chương trình trung học phổ thông hiện tại thì thời lượng cho môn Toán chỉ có 5-6 tiết/tuần Thời gian học trên lớp rất ngắn, không đáp ứng được với khối lượng kiến thức tương đối nhiều của nội dung phương trình lượng giác Chính vì vậy, thời gian tự học ở nhà là một trong những yếu tố quyết định đến hiệu quả học tập của học sinh

Để tìm được lời giải cho một bài tập phương trình lượng giác, học sinh cần có sự nhìn nhận vấn đề theo nhiều khía cạnh, kỹ năng vận dụng linh hoạt, sáng tạo từ những kiến thức đã học Tuy nhiên vẫn tồn tại học sinh chỉ thực hiện giải bài toán một cách máy móc Giáo viên không thể chỉ đơn thuần làm mẫu cho học sinh thực hiện theo mà cần phải tạo cho học sinh tư duy độc lập, chủ động tự tìm ra lời giải Có sự tư duy, sự đi sâu tìm hiểu, học sinh mới chủ động ghi nhớ được kiến thức, thấy được cái hay, cái đẹp của phương trình lượng giác cùng những mở rộng liên quan.Tuy nhiên vẫn còn một bộ phận giáo viên cũng chưa thật sự quan tâm đến việc bồi dưỡng, phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh Vì vậy, hiệu quả học tập của nội dung này chưa được nâng cao và đôi khi điểm số không còn phản ánh đúng thực chất

Kết luận chương 1

Thực tế hiện nay cho thấy kĩ năng giải toán của học sinh còn chưa tốt.Để nội dung học tập về môn toán nói chung và về phương trình lượng giác nói riêng thực sự thật hấp dẫn với học sinh thì chính giáo viên cũng cần có những nghiên cứu sâu hơn về kiến thức này Công sức nghiên cứu của giáo viên sẽ được thể hiện thông qua hệ thống bài tập phong phú, đa dạng, có sáng tạo, dành cho nhiều đối tượng nhận thức theo mức độ từ dễ đến khó và các bài tập có sự liên hệ với nhau Bên cạnh việc xây dựng hệ thống bài tập thì giáo viên còn phải chỉ ra sử dụng nó như thế nào cho có hiệu quả nhất và phát huy,

rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG

GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LỚP 11 BAN CƠ BẢN

Bài tập toán nói chung và bài tập phương trình lượng giác nói riêng có vai trò lớn trong việc rèn luyện, bồi dưỡng, phát triển các kỹ năng cho học sinh Bài tập đưa ra có thể được sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau, tạo tiền

đề xuất phát, khơi gợi động cơ nghiên cứu, củng cố luyện tập hoặc kiểm tra,

Để giải quyết được bài tập, học sinh phải tìm hiểu đề bài, lập kế hoạch giải toán, thực hiện kế hoạch giải toán và cuối cùng là nghiên cứu sâu lời giải Trong cả quá trình đó, học sinh đã thực hiện nhiều thao tác tư duy bậc cao như so sánh, phân tích, tổng hợp, Việc rèn luyện kỹ năng giải toán nhằm hướng tới đạt được các yêu cầu cần thiết là giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản và giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ

2.1 Biện pháp 1: Mở rộng, nâng dần độ khó bài tập

Trong quá trình thực hành giải toán, giáo viên luôn muốn học sinh có thể giải quyết được các bài tập mang tính tư duy cao, đòi hỏi ở học sinh khả năng suy luận đồng thời thực hiện nhiều thao tác.Vấn đề ở đây là độ khó của bài tập lại là rào cản đối với học sinh Chính vì vậy, trong quá trình dạy học giáo viên nên đưa ra hệ thống bài tậptheo mức độ từ dễ đến khó Học sinh chỉ hứng thú với bài học khi tự hiểu bài, tự giải quyết được bài tập của giáo viên giao cho Với hệ thống bài tập được đưa ra từ dễ đến khó, đôi khi học sinh vẫn có thể tự giải quyết bài toán tiếp theo dựa vào đáp án của bài toán trước

mà không cần sự hướng dẫn của giáo viên

Trong một lớp học thông thường luôn có học sinh yếu kém, trung bình, khá giỏi với mức độ tiếp nhận kiến thức khác nhau.Và tất nhiên, học sinh yếu kém hay trung bình thì thích những bài toán ở mức độ biết và thông hiểu, các dạng toán được giải đi giải lại nhiều lần.Học sinh khá giỏi thì thường mong

muốn những bài toán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao, hóc búa hơn, thử thách và đòi hỏi khẳng năng vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, những ý tưởng độc đáo Vì thế cho nên, hệ thống bài tập được sắp xếp phân loại từ dễ đến khó vừa có thể đáp ứng được nhu cầu của các đối tượng học sinh, vừa củng cố, rèn luyện kĩ càng kiến thức và các dạng bài tập cơ bản để học sinh sẵn sàng cho các bài tập phức tạp và phức tạp hơn nữa

Với các bài toán về phương trình lượng giác, nâng dần độ khó là việc gia tăng một cách có hệ thống và liên tục các bài toán, dạng toán dựa trên những công thức, hằng đẳng thức lượng giác, phương trình lượng giác cơ bản Bên cạnh đó giáo viên kết hợp cùng các phương pháp sư phạm và chuyên môn tạo sự hứng thú cho học sinh trong việc học và thực hành giải bài tập phương trình lượng giác

Tôi đã xây dựng một số ví dụtheo hướng tiếp phân bậc, thay đổi số liệu bài toán theo mức độ khó tăng dần, phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, cụ thể như sau:

2.1.1 Nâng dần độ khó bằng cách sử dụng các công thức góc nhân đôi, nhân ba

- Bước 1: Củng cố lý thuyết

Học sinh cần ôn tập, củng cố những kiến thức sau:

+ Công thức nhân đôi

sin 2x 2sin x cos x

3

Học sinh có thể nhẩm nghiệm của phương trình trên như dạng phương trình bậc 2 để cho nghiệm như phương trình ban đầu Học sinh có thể nhận thấy khi đưa về cũng một hàm lượng giác, bài toán trở nên dễ dàng hơn Giáo

viên cần lưu ý cho học sinh loại nghiệm 3

sinx

2

  từ tập giá trị của hàm lượng giác sin, tương tự với hàm lượng giác cos

- Với bài (1c): Giáo viên bắt đầu nâng dần độ khó của phương trình (1b) trên thêm một bậc bằng cách biến đổi, sử dụng công thức nhân đôi để phương trình trở thành: cos2x sinx 2 0.   

Học sinh không thể giải quyết bài toán một cách đơn giản như chuyển

vế hay nhẩm nghiệm mà chắc chắn phải sử dụng phép biến đổi Đồng thời

học sinh có liên hệ từ bài toán (1b): nếu đưa về cùng một hàm lượng giácthì bài toán có thể được giải quyết Học sinh sử dụng những kiến thức lý thuyết

đã được củng cố và phương trình được biến đổi như sau:

Đối với việc sử dụng công thức lượng giác nhân ba để nâng dần độ khó cũng có thể sử dụng cách làm tương tự.Tuy nhiên, một bài toán với nghiệm đẹp bao giờ cũng làm cho người thực hiện cảm thấy hài lòng sau khi giải xong,vì vậy giáo viên nên nhẩm nghiệm trước

Ví dụ 2.1.1.2 Giải phương trình:

2

(2a) cos x(cos x 2) 0

(2b) cos3x 4cos 2x 3cos x 4 0

sử dụng công thức nhân ba và công thức nhân đôi

cos3x 3cos x

cos2x 1 04

2.1.2 Nâng dần độ khó bằng cách sử dụng các công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích

21sin x sin y cos x y cos x y

21sin x cos y sin x y sin x y

(1a) cos 4x = cos 2x

(1b) cos5x.cos xcos 4x.cos 2x

(1c) cos cos cos cos

- Với bài (1b): Giáo viên nâng độ khó từ phương trình (1a) bằng cách

sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích sau khi cộng vào hai vế của phương trình (1a) ban đầu cũng một hàm cos6x để được phương trình (1b)

Bài toán gốc đã được nâng dần độ khó ở mức độ vừa phải.Học sinh có thể nhận thấy sử dụng công thức nhân đôi không hiệu quả trong trường hợp này, và trong hệ thống công thức được giáo viên củng cố thì công thức biến đổi tích thành tổngcó khả năng mang lại hiệu quả cao hơn Sau khi đã định hướng thì một học sinh ở mức độ trung bình cũng có thể giải được bài toán nhờ vào việc áp dụng công thức như sau:

Đến đây, bài (1b) quay trở lại bài (1a) đã xét ở trên

- Với bài (1c): Từ phương trình của bài (1a), nhân 2 vế của phương trình gốc với cos5x rồi sử dụng công thức biến đổi để được phương trình mới (1c) với độ khó đã được nâng cao

Ban đầu, học sinh có thể cảm thấy khó khăn với việc các hàm lượng giác của các biến đều chia đôi Học sinh có thể nghĩ ngay đến công thức góc chia đôi và có thể thử nhưng không cho kết quả ưng ý Tuy nhiên, cũng có thể ngay trước đó hoặc sau đó đã liên hệ ngay với phương trình (1b) vừa thực hiện ở trên và sử dụng ngay công thức biến đổi tích thành tổng để được:

Ví dụ 2.1.2.2 Giải các phương trình:

(2a) sin 3x1

1(2b) sin x.sin( x).sin( x)

Khi gặp bài toán (2b) với vế phải là hằng số và vế trái là tích của các hàm lượng giác, học sinh có thể tư duy ngay vế cần phải khai triển gần như chắc chắn là vế trái và định hướng được phải áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng.Như vậy, bài toàn dễ ở chỗ có thể xác định ngay được hướng triển khai làm bài, nhưng lại có chỗ khó cho học sinh vì không biết nên áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng với cặp nhân tử nào.Điều này kích thích tư duy của học sinh để tìm ra lời giải chính xác cho bài toán Học sinh cần thực hiện một vài phép thử đơn giản và sẽ tìm ngay được câu trả lời là áp dụng công thức với 2 nhân tử cuối của vế trái và cho ra lời giải như sau:

Nhận xét:

- Bằng cách thêm, bớt, biến đổi linh hoạt với nhiều công thức khác nhau, giáo viên có thể sáng tạo ra nhiều bài toán mới với nghiệm đẹp, độ khó tăng dần, tạo hứng thú và phù hợp với từng đối tượng học sinh

- Học sinh có thêm một cách giải phương trình lượng giác: khi gặp tích thì biến đổi thành tổng

2.1.3 Nâng dần độ khó bằng cách sử dụng hai hay nhiều công thức lượng giác

- Bước 1: Củng cố lý thuyết

Ôn tập và hệ thống lại tất cả các kiến thức lý thuyết lượng giác đã được học

- Bước 2: Nâng dần độ khó

Với cách làm hoàn toàn tương tự như ở 2 mục trên, giáo viên hoàn toàn

có thể áp dụng với các công thức khác để tạo ra các phương trình lượng giác mới phù hợp với trình độ của từng đối tượng học sinh, kích thích hứng thú học tập cũng như rèn luyện kĩ năng giải phương trình lượng giác cho học

sinh Tuy nhiên, 2 mục nêu trên mới chỉ dừng lại ở việc sử dụng một công thức lượng giác để tìm ra lời giải cho bài toán.Điều này, đối với việc rèn luyện kỹ năng là chưa đủ Giáo viên có thể tăng dần độ khó của các phương trình lượng giác cũng như kỹ năng giải phương trình lượng giác và hứng thú học tập của học sinh lên một mức độ cao hơn bằng cách sử dụng, kết hợp nhiều hơn là chỉ một công thức lượng giác

Bài toán mới đưa ra có thể khiến học sinh lúng túng Giáo viên cần nhắc lại cho học sinh những kiến thức, chú ý cần nhớ như: gặp bậc cao thì hạ bậc, gặp tích biến đổi thành tổng, sử dụng công thức nhân đôi,…

Đầu tiên học sinh cần hạ bậc:

- Với bài (2a): Đây là phương trình bậc 2 với hàm số sinx Việc giải bài

toán rất dễ dàng cho họ nghiệmx k (k Z)

Ví dụ 2.1.3.3 Giải các phương trình:

(3a) sin x cos x 2

(3b) sin x cos x 2 sin x

(3c) sin x cos x 2 sin x

Phương trình vô nghiệm vì sin x 1 thì cosx = 0(vô lý)

- Với bài (3b): Để học sinh tư duy nhiều hơn, giáo viên bắt đầu nâng dần độ khó của phương trình bằng cách thêm vào vế phải của phương trình một đại lượng, cụ thể ở đây là sin4x và ta thu được phương trình mới:

(3b) sin xcos x  2 sin x

Học sinh cần có sự tư duy linh hoạt ở một mức độ cao hơn để có thể giải được phương trình mới này Học sinh nhờ sự gợi ý của giáo viên cần thấy được rằng:

Hay sin xcos x1

Ngoài ra, ta có:2 sin x 1. 4 

Nên:

2 sin x 1 sin x 1(1b)

sin x cos x 1 sin x cos x 1

(3c) sin xcos x 2 sin x

Bài toán mới trở nên có vẻ khó khăn hơn Tuy nhiên về thực chất, lời giải vẫn chỉ sử dụng đến kiến thức rất đơn giản của tập giá trị hàm số sin và