NỘI DUNG 4 sự TƯƠNG GIAO của HAI đồ THỊ

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Chuyên đề: Hàm số A.. PHƯƠNG PHÁP B1.. PHƯƠNG PHÁP B1.. Lập luận Lưu ý: Số nghiệm của phương trình 1 chính là số giao điểm của hai đồ thị... Hàm số FB: h

IV SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Chuyên đề: Hàm số

A Tóm tắt lí thuyết

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

Bài toán tổng quát

Trong mp(Oxy) Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số : 1

2

(C ) : y f(x) (C ) : y g(x)





(C1) và (C2) không có điểm chung (C1) và (C2) cắt nhau (C1) và (C2) tiếp xúc nhau

Phương pháp chung:

* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:

f(x) = g(x) (1)

* Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) mà ta kết luận về số điểm chung của hai đồ thị (C1) và (C2)

Lưu ý:

Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C 1 ) và (C 2 )

Chú ý 1 :

* (1) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm điểm chung

* (1) có n nghiệm  (C1) và (C2) có n điểm chung

Chú ý 2 :

(C1) và (C2)

Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0)

x

O O

O

) (C1

) (C2

) (C1

) (C2

1

1

M y2 M2

1

) (C2

) (C1

x

y

0

y

0

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

B Phương pháp giải toán

Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị 1

2

C y f x

C y g x

1 PHƯƠNG PHÁP

B1 Lập phương trình hoành độ giao điểm: f x( ) g x( ) (1)

B2 Giải phương trình (1) tìm x y

B3 Kết luận

2 VÍ DỤ

Ví dụ Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C):  



2x 1 y

2x 1 và đường thẳng y x 2 

Bài giải

x

x

2

x

2

1 3 2

x

x

x y

♣ Với x 1 y 3

2 2 và 1; 3 

Dạng 2: Tìm tham số để hai đồ thị 1

2

C y f x

C y g x cắt nhau tại 2( 3, 4) điểm phân biệt

1 PHƯƠNG PHÁP

B1 Lập phương trình hoành độ giao điểm: f x( ) g x( ) (1)

B2 Lập luận

Lưu ý: Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị

2 CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho hàm số  



2x 1 y

cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

Bài giải

1

x

x m

Điều kiện: x 1

m m m 1 m 5

Ví dụ 2 Cho hàm số 3 2

hoành tại 3 điểm phân biệt

Bài giải

2

x mx m x m

2 2

x

♦ C m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

0

m

m

0

1 6

m m m

0

m

m

m m

.

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

hoành tại bốn điểm phân biệt

Bài giải

2 2

t m t m (2)

(2) có hai nghiệm dương phân biệt

2 2

0

m m

P m

S m

4 4

5 0

4 3

m m

4 5 0

m m

♦ Vậy giá trị m cần tìm là

4 5 0

m m

.

Dạng 3: Tìm tham số để hai đồ thị 1

2

C y f x

C y g x cắt nhau tại 2( 3, 4) điểm phân biệt thỏa điều kiện cho trước

1 PHƯƠNG PHÁP

B1 Lập phương trình hoành độ giao điểm: f x( ) g x( ) (1)

B2 Lập luận

Lưu ý:

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị

Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0)

2 CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho hàm số 1

2

mx y

Bài giải

2

mx

x

2x (m 3)x 1 0 (2)

(2) có hai nghiệm phân biệt khác 2

3 2 8 0

m

2

m (*)

Đặt A x1; 2x1 1 ;B x2; 2x2 1 với x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình (2)

Theo định lý Viet ta có:

1 2

1 2

3 2 1 2

m

x x

x x

2

3

2

m

m 3 [thỏa mãn (*)]

Ví dụ 2 Cho hàm số 3 2

Bài giải

2

x x x m

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

2 0

x

(2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

9 4( 2) 0

m m

17 4 2

m m

(*)

Đặt B x x1; 1 1 ; C x x2; 2 1 với x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình (2)

Theo định lý Viet ta có: 1 2

1 2

3 2

x x

x x m

9 4 m 2 5

m 3 [thỏa mãn (*)]

trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

Bài giải

t m t m (2)

(2) có hai nghiệm dương phân biệt

2 2

0

m m

P m

S m

4 4

5 0

4 3

m m m

m

4 5 0

m m

(*)

Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm0 t1 t2 Suy ra phương trình (1) có

♦ Bốn nghiệm x x x x1, 2, 3, 4 lập thành cấp số cộng x2 x1 x3 x2 x4 x3

t1 t2 2 t1

t2 3 t1 t2 9t1 (3)

2

1 2

(5)

t t m

Từ (3) và (4) ta suy ra được

1

2

10

10

m t

m t

(6)

Thay (6) vào (5) ta được:

12

12

19

m

m

♦ Vậy giá trị m cần tìm là

12 12 19

m

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1 Cho hàm số 2

1







x y

x có đồ thị kí hiệu là ( )C

2 2.



AB

Tìm m để đường thẳng y  x m cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

2 2.



AB

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: y=-x+m là:

2

x

x m

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

2 2

   





m m

Khi đó d cắt (C) tại A x( ;1  x1 m B x), ( ;2  x2 m), với x x1, 2là nghiệm phương trình (1)

2 1 1 2 2 (  1 2 ) 4 1 2  2 4 8

Yêu cầu bài toán tương đương với :

6

 



         



m

Vậy m  2 hoặc m 6.

Câu 2 Tìm m để đường thẳng  d :y x m cắt đồ thị  C của hàm số 1

1

x y x





điểm A B, sao cho AB 3 2

1

x

x m x x m x x

       

2

x m x m

1 , 2 8 0

x x   m     m Khi đó A x x 1 ; 1 m ,B x x2 ; 2 m.Theo hệ thức Viet ta có 1 2

1 2

2 1

x x m

x x m

  



  



2

1 2 1 2

Câu 3 Cho hàm số

1

x y x



 (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

Gọi d y:  x m

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là:

1

x

x m

x  



 1 

x x x m

2

x m x m

4 0,

     nên đường thẳng d luôn cắt đồ thị ( C) tại hai điểm phân biệt A,

B với mọi m

Khi đó, A x x 1 ; 1 m B x x , 2 ; 2 m, với x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình (1)

2

m

I d I AB 

2 1 2 1 2 1 2 8 1 2 2 4

AB x x  x x  x x  x x  m 

IAB

m m

S AB d I AB 

2

4

2

IAB

m m

Câu 4 Cho hàm số y=x4-2x2-3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

15

Ta có f1(x)=f2(x) <=>x4-(2+m)x2=0

Điều kiện để phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt là 2+m>0 =>m>-2

2

m

x m x dx x m x dx x m x dx

 

=

5

x  m x m   m  m

Suy ra

5

5

m



Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

Câu 5 Cho hàm số: 2 1 

1

x

x





a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Định m để đường thẳng (d): y = mx + 3 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm A, B sao cho tam giác OMN vuông tại O

vuông tại O

x 1



2x 1 (mx 3)(x 1)

      mx2  (1 m)x   4 0 (*)

(C) cắt d tại hai điểm phân biệt

2







m 7 4 3





  



Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình (*)

1 2

m 1

m 4

x x

m



  





Khi đó OM  (x ;mx1 1 3), ON  (x ;mx2 2 3)

OMN

2

4(1 m ) 3m(m 1)

9 0

m 3 5 (n)

  

 

 



cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng

y x  mx m 

Khi đó, điểm cực đại A m(  1;2 2 )  m và điểm cực tiểu B m(    1; 2 2 )m

3 2 2

m

m

   

  

Câu 7 Cho hàm số 3 2  

với hệ số góc là k ( k thuộc R) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt

và hai giao điểm B, C (B, C khác A ) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1

Đường thẳng d đi qua A(-1; 0) với hệ số góc là k, có phương trình là:

y = k(x+1) = kx+ k

x3 – 3x2 – kx + 4 – k = 0 (x + 1)( x2 – 4x + 4 – k ) = 0

x

 



k

k

Với điều kiện: (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C.Với A(-1;0), do đó B,C có hoành độ là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0

Gọi B x y 1 ; 1 ;C x y2 ; 2với x x1; 2là hai nghiệm của phương trình: 2

x  x  k Còn

y kx k y kx k

BC x x k x x BC  x x k  x x k

Khoảng cách từ O đến đường thẳng d:

2

1

k h

k





Vậy theo giả thiết:

3 2

k

k



Câu 8 Cho hàm số 2 1 

1

x

x





Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):

2

1

x

x



-1

2

8 0

Chứng tỏ với mọi m d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B

Gọi A x 1 ; 2  x1 m B x ; 2 ; 2  x2 m Với: x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình (1)

AB x x x x  AB x x  x x  x x

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d, thì khoảng cách từ O đến d là h:

h



Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

x x

Với m thỏa mãn điều kiện (*) thì d cắt (C) tại A, B thỏa mãn yêu cầu bài toán

cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4 (Điểm B, C có hoành độ khác không ; M(1;3) )

Đồ thị (1) cắt d tại ba điểm A, B, C có hoành độ là nghiệm của phương trình:

2

0

x







2

Với m thỏa mãn (*) thì d cắt (1) tại ba điểm A(0; 4), còn hai điểm B,C có hoành độ là hai nghiệm của phương trình:

2

2 0

m

 



- Ta có B x x 1 ; 1  4 ; C x x2 ; 2  4BC x2 x x1 ; 2 x1

-Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d h là khoảng cách từ M đến d thì:

2