NỘI DUNG 4 hệ PHƯƠNG TRÌNH

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cụ thể: Rút một biểu thức từ phương trình nầy, thay vào phương trình kia để được phương trình một ẩn giải được.. PHƯƠNG PHÁP CỘNG Có thể: Cộng vế v

IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chuyên đề: PT – BPT - HPT

§ 1 PHÂN TÍCH ĐA THỨC HAI BIẾN THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI

3 2

x y ♥ Vậy: f x y( ; ) (x 5 2 )(y x 3 2 )y 

Thực hành kỹ năng giải toán

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

§ 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Cụ thể: Rút một biểu thức từ phương trình nầy, thay vào phương trình kia để được

phương trình một ẩn giải được

Kỹ thuật 3: Thế hằng số bởi biểu thức

2 PHƯƠNG PHÁP CỘNG

Có thể: Cộng vế với vế, trừ vế với vế hoặc nhân cho một hằng số thích hợp rồi cộng hoặc

trừ vế với vế mục đích để tạo ra một phương trình mới có thể hỗ trợ cho việc giải hệ đã cho như: pt một ẩn, pt bậc nhất hai ẩn, phương trình tích số,

Kỹ thuật 1: Tạo ra pt một ẩn

Kỹ thuật 2: Tạo ra pt bậc nhất hai ẩn

Kỹ thuật 3: Nhân hệ số thích hợp và cộng hoặc trừ vế với vế để tạo ra pt bậc nhất hai ẩn

4 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI VỀ TÍCH SỐ

Chú ý: Các phép biến đổi: tạo các biểu thức có nhân tử giống nhau, phân tích tam thức

bậc hai thành thừa số, bình phương,

Kỹ thuật 1: Biến đổi một pt của hệ thành tích số

Kỹ thuật 2: Cộng hoặc trừ vế với vế để biến đổi về pt tích số

5 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Kỹ thuật 1: Sử dụng tính đơn điệu kết hợp nhẩm nghiệm

Kỹ thuật 2: Tìm hàm đặc trưng và sử dụng tính chất f(u) = f(v)

6 KẾT HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP

I PHƯƠNG PHÁP TÍCH SỐ (PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ)

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2: Biến đổi một phương trình của hệ về dạng phương trình tích số để được

các hệ thức đơn giản chứa x,y

Các kỹ thuật thường sử dụng:

+ Nhóm nhân tử chung

+ Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

+ Nhẩm nghiệm + nhân liên hợp

Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được

♥ Biến đổi phương trình (1) về dạng tích số Xem (1) là một phương trình bậc hai theo

ẩn y, phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử Ta được

1

y x

(các hệ thức đơn giản chứa x, y)

♥ Thế y x 1, thay vào (2) ta được phương trình một ẩn:

2

3x x 3 3x 1 5x 4 (3) ♣ Do phương trình (3) có hai nghiệm x 0 và x 1 nên ta định hướng phân tích (3) thành dạng 2

(x x f x) ( ) 0 (biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân liên hợp) 2

3 3(x x) (x 1 3x 1) (x 2 5x 4) 0 (Tách thành các biểu thức liên hợp)

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( ; )x y là (0;1) và (1; 2)

(Xem lại phần kỹ thuật nhân liên hợp)

♥ Biến đổi phương trình (1) về dạng tích số Do y 1 luôn thỏa (1) nên định hướng phân

tích theo nhân tử y 1 hoặc 1 y Ta được:

♥ Thế y 1, thay vào (2) ta được phương trình một ẩn: 9 3x 0 x 3 [thỏa (*)]

♥ Thế y x 1, thay vào (2) ta được phương trình một ẩn: 2

2x x 3 2 x (3) Điều kiện: 1 x 2

2

2 7 2

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( ; )x y là (3;1) và 1 5; 1 5

x ♠ Với x 1 y 1

♥ Điều kiê ̣n: –2 ≤ x ≤ 2 và y ≥ 0

♥ Biến đổi phương trình (1) về dạng tích số Xem (1) là một phương trình bậc hai theo

ẩn 2 x , phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử Ta được:

♥ Với 2 x    2y ≤ 0 mà y ≥ 0  y = 0 và x = 2 Thử la ̣i ta có x = 2, y = 0 là nghiê ̣m

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm( ; )x y là ( ; ),2 0 30 2 17 ;

♦ Với x 5 y 3 (thỏa điều kiện (*))

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm( ; )x y là ( ; 5 3 )

BÀI TẬP Giải các hệ phương trình

II PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp hàm số

+ Biến đổi một phương trình của hệ về dạng f(u) = f(v) (u, v là các biểu thức chứa x,y)

+ Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây là hệ thức đơn giản chứa x, y)

Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương

 Điều kiện

2

2 5 2 0

 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x y;   1; 1   x y;    1; 1 

bằng kỹ thuật nhân liên hợp

♦ Với x 5 y 1 (thỏa điều kiện (*))

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; )x y (5;1)

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

2

(x 3) x 4 (x 9) x 11 x 9x 10 (5) ♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x 5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số

bằng kỹ thuật nhân liên hợp

5 (x 3)( x 4 3) (x 9)( x 11 4) x 2x 35 [Tại sao ?] ( 3). 5 ( 9). 5 ( 5)( 7)

♦ Với x 5 y 6 (thỏa điều kiện (*))

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; )x y (5; 6)

♥ Điều kiện:

1 0 1

3

3 0

0 0

x y

x x

y y

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ đối xứng loại II

Phương trình (5) viết lại thành: 2

(2x 3) 2 4x 5 11 Điều kiện Đặt 4x 5 2t 3 3

2

t , ta được hệ phương trình: [Tại sao ?]

2 2

(2 3) 4 5 (6) (2 3) 4 5 (7)

Trừ theo từng vế của (6) và (7) ta được:

4(x t 3)(x t) 4t 4x (x t x)( t 2) 0 + Khi x t, thay vào (7) ta được:

2 2

4x 12x 9 4x 5 x 4x 1 0 x 2 3

So với điều kiện của x và t ta chọn x 2 3 [không thỏa (*)]

+ Khi x t 2 0 t 2 x, thay vào (7) ta được:

III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp đánh giá

Thường là sử dụng các bất đẳng thức cơ bản: Cô-si, bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối,

Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương

12 12

2 12 12

(x 3) ( )f x 0

(3) 3 2

8 3 2(1 10 ) 0

2 2

Dấu đẳng thức xẩy ra khi x y 3

♠ Thế y = x vào (2), ta được: 3 2

Vì x ≥ 0 nên (*) vô nghiê ̣m Do đó (3)  x = 0 hay x = 1

♠ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( , )x y (0; 0), (1;1)

IV PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2: Biến đổi hai phương trình của hệ sao cho có hai biểu thức giống nhau

Bước 3: Thay hai biểu thức đó bởi hai biến mới u, v, chuyển sang hệ mới và giải tìm u, v Bước 4: Với u, v tìm được ta sẽ tìm được x, y

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình 2

2

1 ( ) 4 (1) ( 1)( 2) (2)

Bài giải

♥ Biến đổi sao cho hai phương trình của hệ xuất hiện hai biểu thức giống nhau

Do y 0 không thỏa mãn hệ trên nên

2 2

x

x y y

8 4

29 8

Vậy nghiệm của hệ là: x  2, y  2.

Câu 2 Giải hệ phương trình:

2 2

Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ phương trình là x  5, y  2.

Câu 3 Giải hệ phương trình:

02x 1 1

Suy ra (x = 1; y = 0), thoả mãn (*)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x  1, y  0.

Câu 5 Giải hệ phương trình:

Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm x, y

Khi đó phương trình (3) có nghiệm 1 1 1 8 1 1 0 xy 8 0 xy 8

Từ (2) suy ra xy > 0, do đó x và y đều dương

Từ đó suy ra: t = 2  x y 2, thay vào hphương trình ta có xy=1  x y 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là x  1, y  1.

Câu 6 Giải hệ phương trình:

1 3 2 2

3 3

y xy y x

y x

2

) 1 ( 1

2 2

1

2 2

3 3

3 3 3

2 2

3 3

xy y x y x

y x y

xy y

x

y x

2

) 3 ( 1

2 3

3 3

y

x y

x y

x

y x

a) Nếu t = 1 ta có hệ

3

3 3

2

1 1

x

y x

y

x3 3 1

hệ vô nghiệm

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x  5, y  1.

Câu 9 Giải hệ phương trình:

Kết luận: Nghiê ̣m của hệ phương trình là (x; y) = (2;1)

Câu 10 Giải hệ phương trình: 2 2 2

Điều kiện: x2y  2 Gọi hai phương trình lần lượt là (1) và (2)

) 1 1 (

0 1 1 2

2 ( 2

0 1 1

1

1

2 2

2 2

2

x

x x x

x y

x

y y x

x y x

y y

x

y x

0 ) 1 )(

1 (

0 )

1 ( 0 1 3

; 2

5 1 )

Do đó phương trình (*) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  2, y  3.

Câu 12 Giải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi   1 m 2.

Câu 14 Giải hê ̣ phương trình:

1 1

*Giải hệ trên được nghiệm (u;v) là (1;0) và (-2;-3)

*Từ đó giải được nghiệm       x y;  1;0 , x y;   1;0 

(vô lý) Vậy y=0 không thỏa mãn bài toán

*) chia cả 2 vế của phương trình (1) cho ta được:

Xét

Có Vậy đồng biến trên R

Từ (*)

Thay vào phương trình (2) ta được

Vậy hphương trình có cặp nghiệm duy nhất x  1, y  1.

Câu 16 Giải hệ phương trình:

x y

3 3

Kết luận: hệ có hai nghiệm        x y;  1;0 , x y;  3;8

Câu 18 Giải hệ phương trình: 3 2 3 5

Vậy hệ phương trình có nghiệm x   4 2 3, y 12 6 3 

Câu 21 Giải hệ phương trình:  2  2 

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên R Từ (*) suy ra: f x( )  f( 2 )  y   x 2y

Thay vào phương trình (2) ta được:

TH 2: Với y = - 2 thay vào (2): 3x     6 0 x 2 suy ra nghiệm (x; y) =(-2;-2)

TH 3: Với y x 1 thay vào (2): 4 2 1 2 1 2 5

2 3

2 2

2 3

2 1

3

2 1

3

y xy x

y yx y

x xy y

x xy x

Từ (1) và (2) ta có x3  3xy2 x 1  (y3  3yx2 y 1 )i y2  2xyx2  (x2  2xyy2)i

) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) ( 3

3

i x i xy y

i i

yi x i y i xy yi x



) 2

)(

1 ( 1 ) ( )

(x yi 3  x yi  i i y2  xyii2x2



2 3

) )(

1 ( 1 ) ( )

(xyi  x yi  i i yix

  z3  ( 1 i)z2 z ( 1 i)  0

i z

 , suy ra phương trình (*) vô nghiệm

+ Với y x 1 thay vào (2) ta được 3 5  x 3 5x  4 2x 7 (3)

Câu 28 Giải hệ phương trình:

Kết hợp với điều kiện (*), ta được: x  3, y 2 là nghiệm của hệ phương trình đã cho

Câu 29 Giải hệ phương trình:

y x y

x y x

2 4 4

2

0 6 3 10 2

5

2 3

2 2 3 3

Điều kiện x  -2; y  4

x  x  x y y y

y y y x

x

x

3 2 )

1 ( 3 1 2

1

3 2 6

10 5

)

1

(

2 3 2

3

2 3 2

2 3

3 2

) 2 (

2

) 2 (

2 2

3 2 3

3 2

4 3

2 2

4 1

3 3

2

2 3

2 2

4 4 3

3 2

2 2

2

2 2

x x

x

x x

x x x x

x x

x

x x

x x x

x

x x

x x x x

x

) 2 (

0

0 2 3

2 3

3 2

2 2

x x

x x

x x

2

2

x

x x

x

Vậy hệ phương trình có nghiệm       x y;  2;3 , x y;   1;0 

 giải được u = - v ( vô nghiệm ) , u = 3v

u = 3v giải được nghiệm 5 34, 1 .



Câu 31 Giải hệ phương trình:

     hoặc x 1 Khi đó ta được nghiệm   x y;  0;12 ,    x y;  1;11

Câu 32 Giải hệ phương trình:

f t   t t f t  t    t Hàm số f(t) là hs đồng biến, do đó:

(4) f( y 2)  f( x)  y  2 x   y x 2 thay vào pt(2) ta được:

1 4 (

2 2 4

2 2

y y x x

y x x

) ( 1 2 1

y t

loai t

x

y

4 4

1

2

2 thay vào phương trình (2) ta được: 16y2(y -1)2+4y2(y- 1) +y2–1= 0

 y = 1(do y 1)  x=0

Vậy nghiệm của phương trình là x  0, y 1.

Từ (1) ta có x=y hoặc x2 = 2y (Loại)

x = y, thay vào phương trình ta có: 2 3 3

Câu 36 Giải hê ̣ phương trình:     

2 2

Các nghiê ̣m này đều thỏa mãn điều kiê ̣n

KL: Hệ phương trình có hai nghiê ̣m

Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm           8 1

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm       x y;  1;0 , x y;   2;3 

Câu 39 Giải hệ phương trình:

Câu 40 Giải hệ phương trình :  

   Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm  x y;  3 2 2;3 2 2  

Câu 41 Giải hệ phương trình:

Câu 42 Giải hệ phương trình:  

Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ

Với y khác không, chia cả hai vế của (1) và (2) cho y ta được:

2

2 2

Câu 44 Giải hệ phương trình:

4 2

5 4 5 (1 2 )

yx  thay vào (2) ta được 4 4 2

2 x x  3x 3 (*) Điệu kiện 4 4

Thử lại x = 1 thỏa mãn (*) Vậy hệ đã cho có nghiệm là x  1, y  0.

k t

Kết hợp với điều kiện y  0 ta có

2sin 14 2sin

3 2sin

Vậy hệ phương trình có nghiệm x  7, y  33.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x   1 2, y 12 8 2 

Câu 52 Giải hệ phương trình:

Kết hợp với điều kiện đề bài, suy ra nghiệm hệ phương trình là x  1, y   3.

Câu 53 Giải hệ phương trình:

k k

x c t

là nghiệm của hệ phương trình

Câu 55 Giải hệ phương trình:

x3 +12 y2+x+ 2 =8 y3+8 y

x2 +8 y3+2 y=5x

ì í

ï îï

Thế x=2y-1 vào (2) giải ra được y=1 hoặc y=6 thoả mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm       x y;  1;1 , x y;  11;6 

Câu 56 Giải hệ phương trình:

Hơn nữa g(6) = 0 nên (*) có duy nhất 1 nghiệm là y = 6

Với y = 6 ta có 1

2



x

Câu 57 Giải hệ phương trình:

7 1 78

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là:        x y;  4;9 , x y;  9; 4

     

2 2

3

2 2