NỘI DUNG 4 ĐƯỜNG TRÒN

Từ một điểm M nằm trên đường thẳng  kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn C A và B là hai tiếp điểm.. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB biết rằng AB 10... Gọi C là

IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2),B(4; 1) và đường thẳng  : 3x 4y  5 0. Viết phương trình đường tròn đi qua A, B và cắt  tại C, D sao

cho CD 6.

Bài giải

Giả sử (C) có tâm I a b( ; ), bán kính R 0.

Vì (C) đi qua A, B nên IAIBR

( 1) ( 2) ( 4) ( 1)

Kẻ IH CD tại H Khi đó 3, ( , ) 9 29

5

a

2

9

25

a

Từ (1) và (2) suy ra

2

25

a

1 43 13

a a









 



(1; 3), 5

43 51 5 61

; ,





  





( ) : (C x 1)  (y 3)  25 hoặc

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng  : 5x 2y 19  0 và đường tròn (C) :x2y2 4x 2y 0 Từ một điểm M nằm trên đường thẳng  kẻ hai tiếp tuyến

MA, MB đến đường tròn (C) (A và B là hai tiếp điểm) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB biết rằng AB 10

Bài giải

Đường tròn (C) có tâm ( 2 ; 1 ), bán kính R 5 Gọi HMIAB. Ta có

2

10 2

 AB

Trong tam giác vuông MAI (tại A) với đường cao AH ta có

5 10

5

1 10

4 1 1

1 1

2 2

2

AM AM

AI AH

Ta có

5

3 2

5 : 0 19 2 5

:       

 x y x y M( 5  2m; 3  5m)

Khi đó MI 10  ( 3  2m)2 ( 2  5m)2  10  29m2 32m 3  0 m  1 hoặc .

29

3





m Chú ý rằng, đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB là đường tròn đường kính MI

+ Với m  1 ta có M( 3 ;  ). Khi đó pt đường tròn ngoại tiếp AMB là

2

5 2

1 2









 













 x y

+ Với

29

3





29

72

; 29

139













M Khi đó pt đt ngoại tiếp AMB là

2

5 58

101 58









 













Ví dụ 3:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A ;   1 2 ; B 3 4; và đường thẳng

: 3 0.

d y  ,Viết phương trình đường tròn  C đi qua hai điểm A B, và cắt đường thẳng

d tại hai điểm phân biệt M N, sao cho 0

60

Bài giải

Gọi   2 2

C x y  ax by c (đk 2 2

0)

   

   

3; 4

Vậy  C có tâm I a ;  a 5, bán kính 2   2   2 

 C cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt M N, sao cho 0

60

MAN  Suy ra

0 0

, 2

1  2  2

2

+ Khi a 1 ta có đường tròn   2 2

C x y  x y  ( loại do I A, khác phía đường thẳng d )

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Ví dụ 4:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường tròn  2 2

C x y  x ,

C x y  x y  Viết phương trình đường tròn  C đi qua các giao điểm của

   C1 , C2 và có tâm nằm trên đường thẳng  d :x 6y  6 0

Bài giải

Toạ độ giao điểm của  C1 và  C2 là nghiệm của hệ phương trình

2 2 2 2  2 

x x

x y



  



    

1 , 2 1 3

     

  vậy 2 giao điểm của C1 và C2 là  

 

1 2

1 ; 3 2; 4

A A







Trung điểmAcủa A A1 2có toạ độ 3 1;

2 2

A 

 

 , ta cóA A1 2  1;7 đường thẳng quaA vuông góc với A A1 2 có phương trình   3 1  

           

Toạ độ tâm I của hai đường tròn cần tìm là nghiệm của hệ 7 5 0 12



      

I12; 1   Đường tròn cần tìm có bán kính   2 2

RIA     

Vậy đường tròn cần tìm có phương trình     2 2

C x  y  

Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho 2 đường thẳng d: 3x+y=0 và d’: 3x-y=0 Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d tại A,cắt d’ tại 2 điểm B,C sao cho

tam giác ABC vuông tại B Viết phương trình của (C) biết diện tích tam giác ABC

bằng 3

2 và A có hành độ dương

Ta thấy đường tròn (C ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác vông ABC,có đường kính

AC

Điểm A thuộc d nên A(a;-a 3 ) (a>0)

+Đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với d’ có pt: x+ 3y+2a=0

Do đó B là giao điểm của AB với d’ khi đó B ; 3

2 2

+ Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với d có pt: x- 3y-4a=0

Do đó C là giao điểm của AC với d’ khi đó C 2 ; 2a  a 3

Ta lại có SABC =1 . 3

2AB BC  2 =>a= 1

3 Vậy 1 ; 1 , C 2 ; 2

Do đó đường tròn (C ) có tâm 1 ; 3

2

2 3

  là trung điểm của AC và bán kính

R=IA=1

Vậy pt của( C):

1 2

2 3

Câu 2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x  y 5 0,

d2: x 2 – 7 0y  và tam giác ABC có A(2; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc

d1 vàđiểm C thuộc d2 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Do B  d1 nên B(m; – m – 5), C  d2 nên C(7 – 2n; n)

Do G là trọng tâm ABC nên 2 7 2 3.2

   



    



1 1

 



  



m

n  B(–1; –4), C(5; 1)

 PT đường tròn ngoại tiếp ABC: 2 2 83 17 338

0

Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (S), có A

và C đối xứng qua BD Phương trình AB: y – 2 = 0; phương trình BD: 3x y   2 0 Viết phương trình đường tròn (S) biết diện tích tứ giác ABCD bằng 4 3và xA > 0,

y  y

+B là giao điểm của AB và BD, tìm được B(0; 2)

+Tính góc giữa hai đường thẳng AB và BD bằng 600

+Ta có BD là đường trung trực của dây cung AC nên BD

là đường kính

+Tam giác ABD vuông tại A có 0

ABD ADAB

2

ABCD ABD ABD

1 2

+Ta có AABA a ; 2 ,a 0,AB  a;0

 2 2

AB  a    a a suy ra A 2; 2

+Ta cóDBDD d ; 3d 2 , ADd 2; 3d

2

d

d

 





1; 3 2

2; 2 3 2

D

D

   





Vì yA < yD nên chọn D2; 2 3  2 + Đường tròn (S) có tâm I1; 3  2, bán kính IA 2nên có phương trình:

Câu 4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 3 đường thẳng d1:x 2y  6 0; d2:x 2y 0

và d3: 3x  y 2 0 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d3, cắt d1 tại A và

B, cắt d2 tại C và D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông

Gọi I(a; 3a – 2)

Vì ABCD là hình vuông d(I, AB) = d(I, CD) = d

=

3

5



Bán kính: R = d 2 = 3 2

5

pt(C):  2  2 18

x - 1 + y - 1 =

5

Câu 5 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x  y 1 0 và hai đường tròn: 2 2

1

(C) :x y  6x 8y 23  0; 2 2

2

(C ) :x y  12x 10y 53  0 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d, tiếp xúc trong với đường tròn 1

(C)tiếp xúc ngoài với đường tròn (C2).

+) (C1) có tâm I1(3; 4)  , bán kính R1 2 ; (C2) có tâm I1(3; 4)  ,bán kính R2  2 2

+) Gọi I là tâm, R là bán kính của đường tròn (C) I d I a a( ;  1)

+) (C) tiếp xúc trong với (C1) II1 RR1 (1)

+) (C) tiếp xúc ngoài với (C2) II2  R R2  R II2R2 (2)

+) TH1: RR1, (1)  R II1R1, từ (1) và (2) ta có: II1 R1 II2 R2

(a 3) (a 3) 2 (a 6) (a 6) 2 2 a 0

(0; 1); 4 2

   PT đường tròn (C): 2 2

( 1) 32.

+) TH2: RR1, (1)  R R1II1, từ (1) và (2) ta có: R1II1 II2R2

               (vô ng)

+) KL: …

Câu 6 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 6), phương trình đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt là 2xy 13  0 và

0 29

13

6x y  Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- Gọi đường cao và trung tuyến kẻ từ C là CH và CM

Khi đó

CH có phương trình 2xy 13  0,

CM có phương trình 6x 13y 29  0

- Từ hệ 2xy130 C(  7 ;  1 ).

-AB CH n AB u CH  ( 1 , 2 )

pt AB:x 2y 16  0

- Từ hệ ( 6 ; 5 )

0 29 13 6

0 16 2

M y

x

y x





















).

4

; 8 (

B



- Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC:x2y2mxny p 0

- Vì A, B, C thuộc đường tròn nên



































0 7

50

0 4

8 80

0 6

4 52

p n m

p n m

p n m























72 6 4

p n

m

Suy ra pt đường tròn: x2y2 4x 6y 72  0 hay (x 2 )2 (y 3 )2  85

Câu 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x – 2y + 3 = 0,

d2 : 4x + 3y – 5 = 0 Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I trên d1, tiếp xúc d2 và

có bán kính R = 2

d1:















t

y

t

, Id1 I(  3 t;t)

d(I , d2) = 2

11

7 ,

11

27 10

17

11

27 11

21 :

) ( 11

27

; 11

21 11

1









 













 













11

7 11

19 :

) ( 11

7

; 11

19 11

2









 













 











 

Câu 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(3; 4), đường thẳng

0 1

:xy 

d và đường tròn (C) :x2y2  4x 2y 4  0 Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (C) Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) (A, B là các tiếp điểm) Gọi (E) là đường tròn tâm E và tiếp xúc với đường

thẳng AB Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn (E) có chu vi lớn nhất

Đường tròn (C) có tâm I(  2 ; 1 ), bán kính R 3 Do Md nên M(a; 1 a)

Do M nằm ngoài (C) nên IM RIM2  9  (a 2 )2  ( a)2  9

0 5 4

2 2  

 a a (*)

Ta có MA2 MB2 IM2IA2  (a 2 )2  ( a)2 9  2a2  4a 5

Do đó tọa độ của A, B thỏa mãn phương trình:(xa)2 (ya 1 )2  2a2  4a 5

0 6 6 ) 1 ( 2 2

2

 x y ax a y a (1)

Do A, B thuộc (C) nên tọa độ của A, B thỏa mãn phương trình











Trừ theo vế của (1) cho (2) ta được (a 2 )xay 3a 5  0(3)

Do tọa độ của A, B thỏa mãn (3) nên (3) chính là phương trình của đường thẳng đi qua A, B

+) Do (E) tiếp xúc với  nên (E) có bán kính R1d(E,  )

Chu vi của (E) lớn nhất  R1 lớn nhấtd(E,  ) lớn nhất

Nhận thấy đường thẳng  luôn đi qua điểm 









 2

11

; 2

5

K

Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên 

2

10 )

, (    

Dấu “=” xảy ra khi H  K   EK













2

3

; 2

1

EK ,  có vectơ chỉ phương u (a;a 2 )

Do đó  EK EK.u 0 ( 2 ) 0

2

3 2



 a a a  3 (thỏa mãn (*)) Vậy M 3 ; 4là điểm cần tìm

đường tròn (C’) tâm M(5;1) biết (C’) cắt (C) tại A, B sao cho AB= và bán kính của nó lớn hơn 4

Từ pt đường tròn (C) Tâm I(1;-2) và R= Đường tròn (C’) tâm M cắt đường tròn tại A, B nên AB tại trung điểm H của AB

Nhận xét : Tồn tại 2 vị trí của AB (hình vẽ) là AB, A’B’ chúng có cùng độ dài là

Các trung điểm H, H’ đối xứng nhau qua tâm I và cùng nằm trên đường thẳng IM

Ta có : IH’=IH=

Mà nên MH=MI-HI= ; MH’=MI+IH’=

loại)

Câu 10 Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng có

phương trình lần lượt là d1 :x 2y  2 0,d2 : 3x 3y 6  0 và tam giác ABC đều có diện tích bằng 3 và trực tâm I thuộc d1 Đường thẳng d2 tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ giao điểm d1 và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết điểm I có hoành độ dương

Gọi M  AIBC Giả sử ABx x(  0), ,R r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC

-Do tam giác ABC đều nên

ABC

-Do tam giác ABC đều nên trực tâm I là tâm đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp tam giác

Giả sử I(2a 2; )a d a1 (  1)

Do d2 tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên

2

6 2 6

3

9 9

2

a





Suy ra I(2; 2)

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính 2 2 3

R AM 

phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC

là : 2 2 4

( 2) ( 2)

3

Giao điểm của đường thẳng ( )d1 và (C ) là nghiệm của hệ phương trình:

2 2 0

4 ( 2) ( 2)

3

  







Vậy giao điểm của ( )d1 và (d2) là (2 2 ; 2 4 ), (2 2 ; 2 4 )