Chuyên đề 2. Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số Chủ đề 2.1. Sự tương giao của hai đồ thị

Lập phương trình hoành độ giao điểm của Cvà đ:ax`+bxz”+cx+đj=lw+n Phương trình 1 là phương trình bậc ba nên có ít nhất một nghiệm.. thì khi đó: + C và đ có một giao điểm phương trình 1

Trang 1

Chuyén đề 2 Các bài toán liên quán đốn dé thi ham sé BTN 21

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

Cho hàm số y= ƒ(+) có đồ thị (C,) và y = g(z) có đồ thị (Œ,) }

Phương trình hoành độ giao điểm của (Œ,) va (C,) 1a f(x)=g(x) (1)

hán > Số giao điểm của (Cj) và (C,) bằng với số nghiệm của xo: _ << x

> Nghiém xạ của phương trình (1) chinh 1a hoanh d6 x, cua

> Để tính tung độ yạ của giao điểm, ta thay hoành độ xạ vào y= ƒ(x) hoặc y= g(*)

> Điểm # (xạ: yạ) là giao điểm của (Œ,) va (C,)

Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C)và đ:ax`+bxz”+cx+đj=lw+n ()

Phương trình (1) là phương trình bậc ba nên có ít nhất một nghiệm Ta có 2 trường hợp:

e Trường hợp 1: Phương trình (1) có “nghiệm đẹp ”xạ

Thường thì đề hay cho nghiệm xạ =0; +l; +2; thì khi đó:

+ (C) và đ có một giao điểm<> phương trình (1) có một nghiệm<> phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có nghiệm kép là xạ

e Trường hợp 2: Phương trình (1) không thể nhằm được “nghiệm đẹp” thì ta biến đổi

phương trình (1) sao cho hạng tử chứa x tất cả năm bên về trái, các hạng tử chứa tham sé

m nam bén về phải, nghĩa là (1)<> ƒ(z) = g(m)

Ta khảo sát và vẽ bảng biến thiên hàm số y= ƒ(x) và biện luận số giao điểm của (C) và

đ theo tham số m

Trang 2

Vay me (-2:5 \ {0} thỏa yêu câu bài toán

Ví dụ 3: Cho hàm số y=2x°—3mx’ +(m-1)x+1 c6 d6 thi (C) Tim m để đường thăng

đ:y=—x+1 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của (C)và đ:

Trang 3

Vậy me(—œ;0)\J l: 1) thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số y = x” +mx+2 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là

x`+mx+2=0

Vì x=0 không là nghiệm của phương trình, nên phương trình tương đương với

m=—x? —^ (x #0)

x Xét ham s6 f(x) =—x? -= voi x #0, suyra f'(x)= 2x42 =H? Vay

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất <> m > —3 Vậy

m >~—3 thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị (C) của hàm số y=x°—3x°—9x+m cắt trục hoành tại ba điểm

Trang 4

Ví dụ 6: Gọi đ là đường thắng đi qua điểm 4(-1;0) với hệ số góc k (kelR) Tìm & để đường thắng Z cắt đồ thị hàm số (C): y= x`—3+x” +4tại ba điểm phân biệt A, B, C va tam giác OBC có diện tích bằng 1 (Ó là gốc tọa độ)

Hướng dẫn giải Đường thăng đ đi qua 4(—1;0) và có hệ sô góc k nên có dạng y = k(x +]), hay

V1+k?

Ssose =~: — 2NkAl+k? =1©|k|jk =1e©>k)=1e©k =1

l+

Vậy k =1 thỏa yêu cầu bài toán

H.SỰ TƯƠNG GIAO CỦA DUONG THANG VOI DO THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG

1 KIÊN THỨC TRỌNG TÂM

Cho hàm số y= ax! +bx” +c (a#0) có đồ thị (C)và đường thắng y=k có đồ thị d

Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C)và đ:ax°+bx”+e=k_ (1

Dat t=x" (¢20) tacd phuong trinh at?+bt+c-k=0 (2)

e (C) và đ có bốn giao điểm <> (1) có bốn nghiệm phân biệt<©> (2) có hai nghiệm dương

A>0

phân biệt © phương trình (2) thỏa 4P >0 (Trường hợp này thường gặp)

S>0 (C) và đ có ba giao điểm © (1) có ba nghiệm phân biét > (2) cé hai nghiệm phân biệt,

trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm / = 0

(C) và đ có hai giao điểm<> (1) có hai nghiệm phân biệt © (2) có nghiệm kép dương hoặc có hai nghiệm trái dâu

(C) va d không có giao điểm © (1) vô nghiệm © (2) vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm (C) và đ có một giao điểm (1) có một nghiệm © (2) có nghiệm ¿ =0 và một nghiệm

âm

2 CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị (C): y = x°+2x?—3 và trục hoành

Hướng dẫn giải

Trang 5

Phương trình hoành độ giao điểm: x1 +2x?—3=0 © x’ =1 xi=— >x=lvx=-l

Vậy có hai giao điểm: A(-1;0), 8(1;0)

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x'°—2x”—zm+3=0 có bốn nghiệm phân biệt

Vay me (5: 0] \2(3;+œ) thỏa yêu câu bài toán

Ví dụ 4: Cho hàm số y= x'—(3mm+2)x” +3m (C) Tìm m để đường thắng đ: y=-—1 cắt đồ

Trang 6

Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đ: y =—1 là

x*~(3m+2)xˆ +3m =—1© x` —(3m+2)x” +3m+1=0

Đặt /= x7 (£>0),ta có phương trình

t=1 t? —(3m+2)t+3m+1=0

Phương trình hoành độ giao điểm: x' —(3m+4)+” + m” =0 (1)

Đặt /= x” (¿ >0), phương trình (1) tro thanh: t*-(3m+4)t+m’=0 (2)

(C,,) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt (1) có bốn nghiệm phân biệt

Trang 7

d cắt (C) tai hai điểm phân biệt <> (1) c6 hai nghiệm phân biệt

> (2) co hai nghiém phan biét khac 1 <>

1-(m-1).1+m-1#0

Vậy giá trị m cần tìm là me (—00;1) U(5; +00)

Trang 8

d cat (C,, ) tai hai điểm phân biệt 4, B © (1) có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 4: Cho hàm số y= 2x11

x+1

điểm phân biệt 4, Ø sao cho tam giác O4ð có diện tích là 43

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đ:

== =~2x+m ©2x+I=(x+1)(~2x+m) ( điều kiện: x#—1) x+

& 2x? +(4—m)x+1—m =0 (1) ( diéu kién: x #-1)

d cat (C) taihai diém A, B phan biét < (1) cé hai nghiém phan biét khác —1

A=m?+8>0 Vm

2.(-1) +(4-m)(-1)+1-mz0

Suy ra d luén cat (C) tai hai diém A, B phan biét voi moi m

Gọi A(x,;y,); B(x,;¥,), trong dé y, = -2x,+m; y, =-2x,+m va x,, x, là các nghiệm của

Trang 9

NN BTN 21

Ị th vẻ

Soap = 5 AB.d (O; AB) = = V3 m=2vm=-2

Vay cac gia tri m can tim 1a ner m=-2

Trang 10

Giao điểm giữa đồ thị (C): y =~ —2*—> và đường thẳng (đ):y=x+1 là ¥ 1

Cho ham sé y =x‘ —4x? —2 c6 dé thi (C) va dé thi (P): y=1—x’ S6 giao diém cia (P) va

Trang 11

Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị (C):y=x°—3x?+2 cắt đường thắng đ:y=m tại ba

điểm phân biệt là

Trang 12

Cho hàm số y=(x—2) (x? +mx+m -3) Tất cả giá trị của thma số m để đồ thị hàm số đã cho

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là

Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm sé y =—2x*+2x?+1 cat duong thang y =3m tai

ba điểm phân biệt là

A L<m<+, B m=- C msi D m=

Tat ca gid tri cha tham s6 m dé đồ thị hàm số (C): y=—2x? +3x° +2m-1 cat truc hoanh tai

ba điểm phân biệt là

A 1<m<^ B — <m< 2, C.0<m<^ D 0<m<ˆ.,

x`—3x?°+4+m=0 có nghiệm duy nhất lớn hơn 2

Biết rằng đồ thị của hàm số y=—x” +3x” —4 là hình

Tất cả giá trị của thm số m để phương trình xÌ—3x—zm+1=0 có ba nghiệm phân biệt, trong

đó có hai nghiệm dương là

A -ls<m<l B -l<m<l C -l<m<3 D -l<m<l

Cho hàm số y=_—2x°+3x”—1 có đồ thị (C) như hình vẽ Dùng 2T

đồ thị (C) suy ra tất cả giá trị tham số m để phương trình +

2x`—3x?+2m =0 (1) có ba nghiệm phân biệt là

Trang 13

Chuyên để 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố

Cho hàm số y= 2x? —3x? +1 có đồ thị (C)và đường thắng đ: y= x—1 Giao điểm của (C) va

d lần lượt là A(1;0), ® và C Khi đó khoảng cách giữa 8 và C là

có đồ thị (C) va duéng thing d: y=2x—3 Duong thang d cat (C)

tại hai điểm A va B Khoang cach gitta A va B la

có đồ thị (C) va dudng thang d: y=2x—m Duong thang d cat (C)

tai hai diém A va B khi gia tri cua tham số 7m thỏa

Tập tất cả các giá trị của tham số m dé dwong thang d:y=x+m’ cat dé thi hàm số

(C):y=—x` +4x tại ba điểm phân biệt là

Cho hàm số y= x`—3x” +4 có đồ thị (C) Gọi d là đường thắng qua 7(1;2) với hệ số góc É

Tập tất cả các giá trị của & để đ cắt (C ) tại ba điểm phân biệt 7, 4, sao cho 7 là trung điểm của đoạn thắng 4ð là

Trang 14

(C,,):y=x° -3(m+1)x? +2(m? +4m+1)x—4m(m-+1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

hai điểm phân biệt 4, Ø sao cho tiếp tuyến tại 4 và Ö song song với nhau

A Không tôn tại B m=0 C m=-3 D m=3

Cho (P):y=x?-2x—m’ va d:y=2x+1 Giả sử (P) cắt đ tại hai điểm phân biệt 4,ð thi

tọa độ trung điểm 7 của đoạn thang AB là

Giá trị nào của tham số m để đồ thi (C,,) :y= (m-1)x° +x”—m chỉ có một điểm chung với

Trang 15

Câu 54

Cau 55

Cau 56

Cau 57

Cho ham sé: y = x°+2mx? +3(m—1)x+2 co d6 thi (C) Duong thắng Z: y=—x+2 cắt đồ thị

(C) tại ba điểm phân biệt 4(0;-2), 8 và Œ Với M;1), giá trị của tham số m để tam giác

MBC có diện tích bằng 2A7 là

Cho dé thi (C,):y=x?-2x?+(1-m)x+m Tat ca gid trị của tham số m để (Œ„) cắt trục

hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x,,x,,x; thỏa x°+x¿; +x? =4 là

A m=1 B m z0 C m=2 D m>-7 va m£#0

Cho ham so =2 —mx? -xtm++> có đồ thị (C,,) Tat ca cac giá trị của tham so m dé

(C,,) cắt trục Ox tai ba điểm phân biệt có hoành độ x,, x;, x; thỏa x;¿ +x; +x;¿ >15 là

Cho đồ thị (C): y -—— và đường thắng đ:y=m TẤt cả các giá trị tham số m để (C)

cat d tại hai điểm phân biệt 4, B sao cho 4B =2 là

21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 AlA|[B|A|C|B|IB|B|A|C|D|C|C|D|A|C|B|D|DIỊC

41 | 42 | 43 | 44145 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54] 55 | 56 | 57

DIC|BID|A|ID|A|A|D|BIC|IB|ID|IB|A|AI|B

Il -HUONG DAN GIẢI

Ciul |ỂW@WCi

Phương trình hoành độ giao điểm: —x' +2x?—1=0 ©x? =1 ©x=1lvx=-1

Vậy số giao điểm là 2

Lập phương trình hoành độ giao điểm: xÌ—2x?+xz—12=0 © x=3

Vậy có một giao điểm duy nhất

Trang 16

Lập phương trình hoành độ giao điểm =x-l©x -2x=0<©x=0vx=2

Trang 17

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đồn để thị hàm aZ

x*—4x?—-2=—x?+1<©x`-3x°-3=0<

Vậy số giao điểm là 2

Trang 18

Ta khảo sát hàm số (C): y =x*—2x” tìm được ye; =—], ye„ =0

Vậy chọn m e (—4;~3)

Câu 22 (ØW@WÑ

Phương pháp tự luận:

Ta khảo sát hàm số (C): y= xÌ—3x+1 tìm được yạ; =3, yey =~1

Yêu cầu bài toán >—l< m<3 Vậy chọn —l <”m <3

Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiểm tra trực tiếp đáp án

+Với m =2, giải phương trình xÌ—3x—1=0 ta bam máy được ba nghiệm — loại C, D

+Với m=—1, giải phương trình x` -3xz+2=0 ta bắm máy được hai nghiệm — loại B

Vậy chọn —] <zm <3

Câu 23 Ghon'B)

Bảng biến thiên:

Trang 19

Xét hàm số y=—x" +3x” Ta có y'=—4x” +6x; y'=0Gœx=0vxz=v x=

Bang bién thién:

Trang 20

Tương tự ta khảo sát hàm số (C): y= x"—2x” +3 ta tìm được yựy =2, yep =3

Tương tự ta khảo sát hàm số (C): y= x"—2x” +3 ta tìm được yựy =2 yep =3

Trang 21

+Với m =3, ta giải phương trình xt—2x? =0 x=0vx=x2vx=-2 = loại B, D

+Với m=2, ta giải phương trình x”-2x” +1=0 <x=lvx=—1= loại A

+ Voi m=0, ta giai phương trình

Phương pháp trắc nghiệm:

—1 + V6i m=0, ta cé phuong trình -2x” +3x” -1=0 _a loại B, D

x=l

+ Với m=0.1, ta có phương trình -2x” +3x” —0.8=0 có 3 nghiệm => loại C

Ta có xÌ—3x?+4+im=0 (*) Xem phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của

đồ thị hàm số (C): y=—x`+3x”—4 và đường thắng đ: y=m Số giao điểm của (C) và đ là

số nghiệm của (*) Dựa vào đồ thị hàm số, yêu cau bai toan <> m<-—4 Vậy chon m<-4

Ta có đồ thị của hàm số y = x` - 3x +1như hình bên

Dựa vào đồ thị ta tìm được kết quả để đồ thị cắt hàm số tại ba điểm phân biệt là —1 < 7m < 3

Trang 22

Câu 35

Câu 36

Câu 37

Với x=0— y =1 nên yêu cầu bài toán >—1< m <1 Vậy chọn —1< m <1

không đủ hai nghiệm dương = loại A, B, C Vậy chọn —l <7n <1

Phương trình (1) —2x°+3x”—1=2m—1 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C)

và đ:y=2m—1 (là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox )

Phương pháp tự luận

Ta có xÌ—3x? +1—m =0 là phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số

y=x`—3+x? +1 và y=m (là đường thăng song song hoặc trùng với Óx)

Dựa vào đồ thị số nghiệm của phương trình (l) chính là số giao điểm của đồ thị

y=x`—3+? +1 và đường thắng y=m

Do đó, yêu cầu bài toán <> —3 < m < —1

Tiếp tuc thir m=-2 thay vao (1) tim nghiệm bang

máy tính Ta nhận thấy (1) có ba nghiệm thỏa yêu

cầu bài toán Suy ra loại D

Ta có BC = (x; —x;;x; — x,) , Suy ra

Trang 23

- Nhập máy tính tìm nghiệm phương trình bậc ba

- Gán hai nghiệm khác l vào B và Œ

- Nhập máy X —1 Dùng lệnh CALC tìm tung độ của điểm B va C gán vào hai biến D va E

Khi đó 8C =-|(C- B}?+(E- DỲ _A,

-25-3¢0|

5 2"

Phương pháp trắc nghiệm

Phương trình hoành độ giao điểm: a =2x-3(x#-D x+

Dùng lệnh CALC của máy tính, ta tìm được hai nghiệm của phương trình lần lượt là x=2 và

Trang 24

Vay chon m<—4-26 hoac m> 4426

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng Z:

x —

Vay chon R

Phuong phap ty luan:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và vA

Định dạng
Số trang	31
Dung lượng	12,48 MB