Giả sử đồ thị hàm số 1 cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ tạo thành 1 cấp số cộng.. Hãy tìm các hệ thức liên hệ giữa y1 và y2 không phụ thuộc a... Gọi đồ thị là C.. c Viết phương trìn
Trang 1SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Phần I - Một số kiến thức cần nhớ:
1) Điểm thuộc hay không thuộc đồ thị: Cho hàm số y = f(x) (1)
có đồ thị là (C)
M(xM;yM) (C) yM = f(xM)
M(xM;yM) (C) yM ≠ f(xM)
2) Giao điểm của 2 đồ thị: Cho 2 hàm số: y = f(x) và y = g(x) có
đồ thị là (C), (C’)
Toạ độ giao điểm chung của (C) và (C’) là nghiệm của hệ:
y f (x)
y g(x)(*)
Hoành độ giao điểm chung của (C) và (C’) là nghiệm của
phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (**)
3) Phương pháp xác định số giao diểm của (C) và (C’):
Dùng hệ phương trình (*) hay phương trình (**)
Nếu (*) hay (**) có bao nhiêu nghiệm thì (C), (C’) có bấy nhiêu giao điểm
Nếu (*) hay (**) vô nghiệm thì (C) (C’) =
4) Tiếp điểm của 2 đồ thị:
(C), (C’) tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm
f (x) g(x)
f '(x) g'(x)
(Hệ phương trình hoành độ tiếp điểm)
5) Biện luận số nghiệm của phương trình:
Phương trình bậc 1: ax + b = 0 (1)
Có 1 nghiệm duy nhất a ≠ 0
Có vô số nghiệm
a 0
b 0
Vô nghiệm
a 0
b 0
Phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (2)
Trang 2 (2) có 2 nghiệm phân biệt
a 0 0
(2) có 1 nghiệm
hay
(2) vô nghiệm
a 0
a 0
b 0 hay
0
c 0
Phương trình bậc 3 có dạng tích:
(x – x0)(ax2 + bx + c) = 0 (3) (a ≠ 0)
Ta có: (x – x0)(ax2 + bx + c) = 0
0 2
x x
ax bx c 0 (*)
Số nghiệm của phương trình (3) phụ thuộc vào số nghiệm của pt (*):
Pt (3) có 3 nghiệm phân biệt pt (*) có 2 nghiệm phân
biệt khác x0
20 0
a 0 0
ax bx c 0
Pt (3) có 2 nghiệm pt (*) có 1 nghiệm (kép) khác x0 hay pt (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm là x0
Pt (3) có 1 nghiệm pt (*) có 1 nghiệm (kép) là x0 hay
pt (*) vô nghiệm
Đặc biệt: Phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) (4) có định lí
Viet:
1 2 3
b
x x x
a c
x x x x x x
a d
x x x
a
và có:
PT (4) có 3 nghiệm x1; x2; x3 lập thành một cấp số cộng
Trang 3 x2 - x1 = x3 – x2 x1 + x3 = 2x2
Phương trình (4) có 3 nghiệm phân biệt khi:
Hàm số y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có CĐ, CT và ycđ và yct trái dấu
Phương trình (4) có 3 nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn < x1<
x2< x3
f(x)= ax3 + bx2 + cx + d sao cho
hàm số có CĐ , CT tại x' ,x''và x' x'' hai giá trị ycđ và yct trái dấu
af ( ) 0
Phương trình trùng phương:
ax4 + bx2 + c = 0 (5)
2
2
t x 0
at bt c 0 (6)
Chú ý:
Mỗi nghiệm t > 0 của (6) có 2 nghiệm đối nhau
x = tcủa (5)
Mỗi nghiệm t = 0 của (6) có1 nghiệm x = 0 của (5)
Mỗi nghiệm t < 0 của (6) không có nghiệm của (5)
Kết luận:
* (5) có 4 nghiệm khi (6) có 2 nghiệm dương phân biệt
* (5) có 3 nghiệm khi (6) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm t = 0
* (5) có 2 nghiệm khi (6) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm âm hay (6) có 1 nghiệm kép dương
* (5) có 1nghiệm khi (6) có 1 nghiệm t = 0 và 1 nghiệm âm hay có 1 nghiệm kép t = 0
* (5) vô nghiệm khi (6) có 2 nghiệm âm phân biệt hay pt (6) có
1 nghiệm kép âm hay (6) vô nghiệm
Đặc biệt:
Pt (5) có 4 nghiệm x1; x2; x3; x4 lập thành 1 cấp số cộng
Trang 4
pt (6) có 2 nghiệm dương phân biệt t t
t 9t
Phần II – Bài tập B) Một số bài tập cơ bản:
Bài 1) Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị hàm số:
a) y = f(x) = x3 + x2 – x + 2; y = f(x) = 4x – 1
b) y = g(x) =
1
1 2
x
x
; y = g(x) = -3x2 – 9x – 1
Bài 2:
a) Tìm a;b để cho (C):y = 1a
x và (C’):y= bx – 2 cắt nhau tại 2 điểm
có hoành độ bằng –1 và 1
2 b) Chứng tỏ rằng (C): y = x2 – 2(k – 1)x + k2 cắt (C’): y = 2x + 1 tại 2 điểm phân biệt với mọi k
c) Tìm k để (C): y = kx + 1 cắt (C’):
2
x 4x 3 y
x 2 tại 2 điểm phân biệt
Bài 3)
a) Tìm k để (C):y = -x + k; (C’): y =
2x 1
x 2 cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B với đoạn AB có độ dài ngắn nhất
b) Tìm k để (G): y = k cắt (G’): y =
2
x
x 1 tại 2 điểm M và N với MN =
5
c) Tìm k để(C): y = kx + 2 cắt (C’):
2
x x 1 y
x 1 tại 2 điểm thuộc 2 nhánh khác nhau của (C’)
C) Các bài toán khác:
Bài 4) Biện luận số giao điểm của (d): y = 3x + m và đồ thị (C)
của hàm số:
2
x 3x 3 y
1 x
Trang 5Bài 5) Cho đường thẳng (d) qua A(-1;-2) có hệ số góc k Biên luận
theo k số giao điểm của (d) và đồ thị (C) của hàm số: y = x3 – 3x2 + 2
Bài 6) Tìm m để đồ thị hsố sau cắt Ox ít nhất tại 1 điểm:
2
f(x) (m 1) 3m 4m
Bài 7) CMR khi k > 1 thì (d): y = kx + m luôn cắt đồ thị (C): của hsố:
2
x 2 x 2
y
x 1
Bài 8) Tìm k để (C): y = k(x2 – 1) cắt (C’): y = -2x3+x+1
tại 3 điểm phân biệt
Bài 9) Tìm k theo m để (D): y = k(x + 1) + 1 cắt đồ thị (C): y = -x3 + mx2 – m tại 3 điểm phân biệt
Bài 10) Tìm m để đồ thị các hàm số sau cắt trục hoành tại 3
điểm có hoành độ dương:
a) y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x – (m2 – 1)
b) y = x3 – x2 + 18mx – 2m
Bài 11) Tìm m để đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x3 – 3(m + 3)x2 + 18mx – 8; cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lớn hơn –1
b) y = x3 – 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x – 4m(m + 1)
cắt trục Ox tại 3 điểm ph/biệt có hoành độ lớn hơn 1
Bài 12) Tìm m để đồ thị các hàm số cắt Ox tại 3 điểm có hoành
độ tạo thành một cấp số cộng:
a) y = x3 – 3x2 – 9x + m
b) y = x3 – 3mx2 + 2m(m – 4)x + 9m2 – m
Bài 13) Tìm m để đồ thị các hàm số cắt Ox tại 4 điểm cách đều
nhau:
a) y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + 1
b) y = x4 – (3m + 4)x2 + m2
Trang 6Bài 14) Cho hàm số y = x4 + ax2 + b (1) Giả sử đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ tạo thành 1 cấp số cộng CMR: 9a2 – 100b = 0
Bài 15) Cho hàm số
2
y
x a với a là tham số Xác định a để đồ thị hàm số cắt đường thẳng
y = x – 1 tại 2 điểm phân biệt Khi đó gọi y1, y2 là tung độ 2 giao điểm Hãy tìm các hệ thức liên hệ giữa y1 và y2 không phụ thuộc a
Bài 16) Cho hàm số
2
x 2x 2 y
x 1 có đồ thị (C) a) Tìm trên (C) điểm M(x;y) thoả điều kiện y 2 x
b) Tìm k sao cho trên (C) có 2 điểm khác nhau P và Q thoả mãn
các điều kiện:
x y k
x y k CMR khi đó P và Q cùng thuộc 1 nhánh của (C)
Bài 17) Cho hàm số
2
x (m 2)x m y
x 1 (1) Xác định m để đường thẳng y = -(x + 4) cắt đường cong (1) tại 2 điểm đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất
Bài 18) Tìm 2 điểm trên đồ thị (H):
2
x 2x 2 y
x 1 đối xứng nhau qua đường thẳng (D): y = x + 3
Bài 19) Cho đường cong (C): y = f(x) và (d): y = ax + b (a ≠ 0) CMR
điều kiện cần và đủ để (C) nhận (d) làm trục đối xứng là:
(a 1)f (x) 2ax 2b (1 a ) 2a.f (x) 2ab
f
D) Bài tổng hợp:
Trang 7Bài 1) Cho hàm số
y
x m (1) a) Khảo sát hàm số khi m = 2 Gọi đồ thị là (C)
b) Viết pttt của (C) biết tt có hệ số góc âm và tạo với Ox một góc 450
c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm CĐ & CT của đồ thị hàm số (1)
d) Với giá trị nào của m, hàm số có giá trị cực đại và cực tiểu trái dấu, cùng dấu
Bài 2)
a) Khảo sát hàm số: y = x3 + 6x2 + 9x + 1
b) Biện luận theo m số nghiệm cuả phương trình:
f (x) m với –3 x 1