Chuyên đề 2. Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số Chủ đề 2.1. Sự tương giao của hai đồ thị

Trang 1

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đổ thị hàm aố BTN_2_1

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

Cho ham s6 y = f(x) cé dé thi (C,) và y = g(x) có đồ thi (C,) y

Phương trình hoành độ giao điểm của (Œ,) va (C,) là ƒ(z)=g(Œœ) (1)

ch > S6 giao điểm của (C,) va (C,) bằng với số nghiệm của ot ch x

> Nghiệm xạ của phương trình (1) chinh 1a hoanh d6 x, cua

> Dé tinh tung độ yạ của giao diém, ta thay hoanh d6 x, vao y= f(x) hodc y= g(x)

> Diém M (x)3y)) là giao điểm của (C,) va (C,)

B KY NANG CO BAN

I SY TUONG GIAO CUA DUONG THANG VA DO THI HAM SO BAC BA

1 KIEN THUC TRONG TAM

Xét hàm số bậc ba y=ax`+xz”+cx+d (a0) có đồ thị (C) và hàm số bậc nhất

y=kx+ñn có đồ thị d

Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C)và đ:ax`+bxz”+cx+đj=lw+n ()

Phương trình (1) là phương trình bậc ba nên có ít nhất một nghiệm Ta có 2 trường hợp:

e Trường hợp 1: Phương trình (1) có “nghiệm đẹp ” xạ

Thường thì đề hay cho nghiệm xạ =0; +1; +2; thì khi đó:

e Trường hợp 2: Phương trình (1) không thể nhằm được “nghiệm đẹp” thì ta biến đổi

phương trình (1) sao cho hạng tử chứa x tất cả nằm bên về trái, các hạng tử chứa tham sỐ

m nằm bên về phải, nghĩa là (1) <> f(x) = g(m)

Ta khảo sát và vẽ bảng biến thiên hàm số y„= ƒ(x) và biện luận số giao điểm của (C) và

đ theo tham số m

Trang 2

2 CÁC VÍ DỤ

Vi du 1: Tim giao diém cua d6 thi (C): y = x° —3x? +2x+1 và đường thắng y =1

Hướng dẫn giải

x=0 Phương trình hoành độ giao điểm: xŸ -3x? +2x+1=1<©© x)—3x?+2x=0 ©| x=l Vậy có

(C,, ) cat truc hoanh tai ba diém phan biét ( 1) có ba nghiệm phân biệt

(2) có hai nghiệm phân biệt khác —2

mz0

Vay me (-2:5] \{0} thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 3: Cho hàm số y=2x`—3mx” +(/m—1)x+1 có đồ thị (C) Tìm z để đường thăng

đ:y=—x +1 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

Trang 3

Vậy m e(—œ;0)\J l: ) thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số y =x” +zmxz+2 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

Dựa vào bang biến thiên ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm đuy nhat = m>-3 Vay

m >—3 thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị (C) của hàm số y=x°—3x”—9x+m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành:

x`—3x?—09x+m=0 © x`—3x?—9x =—m (1) Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đường (C):y=x°—3x”—9x và đường thắng đ: y= —m Số nghiệm của (1) bang số giao điểm của (C)và đ

Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số y= x° —3x”—9x

Trang 4

Ví dụ 6: Gọi đ là đường thắng đi qua điểm 4(-1;0) với hệ số góc k (ke R) Tim k dé

đường thắng Z cắt đồ thị hàm số (C): y= x`—3x” +4tại ba điểm phân biệt 44, 8, C và tam giác OBC có diện tích bằng 1 (O là gốc tọa độ)

Hướng dẫn giải Đường thăng đ đi qua 4(—1;0) và có hệ sô góc k nên có dạng y = k(x + l), hay

Khi dé g(x) =0< x =2-Vk;x=2+Vk Vậy các giao điểm của hai đồ thị lần lượt là

A(-1;0), B(2-Vk33k-kVk), C(24+Vk;3k+kVk)

x -3x° +4 =k +k (x 41)(x? -4n4 4-4) 065]

k Tinh duoc BC =2VkV1+k?, d(O,BC)=d(O,d)= l Khi đó

X1+#F

Srore => E2 Ji+£ =1©|#|\Jk =1©#? =1©k=l

V1+k?

Vậy k =1 thỏa yêu cầu bài toán

II SU TUONG GIAO CUA DUONG THANG VOI DO THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG

1 KIEN THUC TRONG TAM

Cho ham sé y =ax*+bx?+c (a#0) 6 dé thi (C)và đường thắng y=k có đồ thị d

Lập phương trình hoành độ giao diém cia (C) va d:ax*+bx?+c=k (1)

Dat t=x’ (t2>0) tacd phuong trinh at?+bt+c-k=0 (2)

e (C) va đ có bốn giao điểm < (1) có bốn nghiệm phân biệt © (2) có hai nghiệm dương

(C) và đ có hai giao điểm<> (1) có hai nghiệm phân biệt ©> (2) có nghiệm kép dương

hoặc có hai nghiệm trái dau

(C) va d không có giao điểm © (1) vô nghiệm © (2) vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm

(C) và đ có một giao điểm <> (1) có một nghiệm © (2) có nghiệm ¿ =0 và một nghiệm

âm

2 CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị (C): y = x' +2x?—3 và trục hoành

Hướng dẫn giải

Trang 5

Phương trình hoành độ giao điểm: x!+2x?—3 =0 © x? =1 = =x=lVx=-]

Vậy có hai giao điểm: 4(-1;0), 8(1;0)

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x'—2x?—mm+3=0 có bốn nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải Phương trình: x`—~2x”—m+3=0©x`—2x”+3—m (1)

Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường (C): y= x“—2x +3 và đường thắng đ: y =m Số nghiệm của (1) băng số giao điểm của (C) và đ

Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số y =x* —2x? +3

Tập xác định D =R

x=0 Dao ham y'= 4x? —4x; y'=0 © 4x`—4x=0<>| x=1

yêu cầu bài toán

Vi dy 3: Cho ham s6 y=x*—2(m+1)x’ +m’ —3m-2 (C,,) Dinh m dé dé thi (C„) cắt đường thăng đ: y=—2 tại bốn điểm phân biệt

Vay me [~s:0] 2(3;+œ) thỏa yêu câu bài toán

Ví dụ 4: Cho hàm số y= xÌ—(3m+2)x” + 3m (C) Tìm m để đường thắng đ: y=—1 cất đồ

thị (C) tại bốn điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2

Trang 6

Khi đó phương trình (2)có hai nghiệm 0<¢, <¢, Suy ra phuong trình (1) có bốn nghiệm

phân biệt là x, = —/t, <x, = —Jt, <x,= Jt, <x,= vt, - Bồn nghiém x,,x,,x,,x, lập thành cấp

19

3(3m+4) =10m

&

3(3m+4)=-10m | m=

Trang 7

Vay gia tri m cần tim la m=12; m= -=

HI SỰ TUONG GIAO CUA DUONG THANG VOI DO TH] HAM SO y =“* -

Phương trình hoành độ giao điểm: oe +2 (1)

Diéu kién: ree Khi đó (1) © 2xz+1=(2x—1)(x+2) © 2x”+x—3=0

3

x= D> =—

x=l>y=3 Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là =5 và (1;3)

Vậy giá trị m cần tìm là m e(—œ;1)tJ(5;+œ)

Trang 8

Diéu kién: x # -2 Khi đó (1) © mxz—1=(2xz—1)(x+2) © 2xz”—(m-3)x—1=0 (2)

ả cắt (C„„) tại hai điểm phân biệt 4, 8 <= (1) có hai nghiệm phân biệt

— =—2x+m&2x4+1= (x+1)(-2x+m) ( điều kiện: x # —1)

Gọi A(x,;y,); B(%;;y;) trong đó y, =—2x¡+7; y; =—2x,+m và xạ, x; là các nghiệm của

Trang 9

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đến đồ thi ham sé BTN_2_1

lim sẻ

1

Soa» = 5 4B.d(O; AB) = = V3 m=2vm=-2

Vay cac gid tri m can tim la m= ` m=-2

Ví dụ 5: Cho ham s6 y=22 1!

x+1

điểm phân biệt 4, B sao cho khoang cac tir A va B dén truc hoanh bang nhau

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đ:

— =lxz+2k+1©2x+1=(x+1)(#&+2k+1) (điều kiện: x#—1)

Trang 10

Giao điểm giữa đồ thị (C): y = ——— và đường thăng (đ): y= x+1 là

A A(2;-1) B A(0;-1) C A(-1;2) D 4(-1;0)

Cho hàm sé y =x‘ —4x” —2 c6 dé thi (C) và đồ thị (P): y=1—x” Số giao điểm của (P) và

Trang 11

Tất cả giá trị của tham số 7m để đồ thị (C):y=x°—3x?+2 cắt đường thắng đ:y=m tại ba

điểm phân biệt là

Trang 12

Cho hàm số y=—*`+2x?+m Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục

hoành tại ít nhất ba điểm phân biệt là

Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm s6 y =—2x*+2x?+1 cat duong thang y =3m tai

ba điểm phân biệt là

Tất cả giá trị của tham số m dé đồ thị hàm số (C): y=—2x° +3x°+2m-1 cat truc hoanh tai

ba điểm phân biệt là

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình vA

xÌ`—3x?+4+mm=0 có nghiệm duy nhất lớn hơn 2

Biết rằng đồ thị của hàm số y==—x”+3x” —4 là hình

Tất cả giá trị của thm số m để phương trình x` —3x—znm+1=0 có ba nghiệm phân biệt, trong

đó có hai nghiệm dương là

A -l<m<l B -l<m<l C -l<m<3 D —1<m <1

Cho hàm số y=—2x°+3x?—1 có đồ thị (C) như hình vẽ Dùng 2T

đồ thị (C)suy ra tất cả giá trị tham số m để phương trình +

2x°—3x” +2m =0 (1) có ba nghiệm phân biệt là

+1

C 0<m<-l D -l<m<0 ot

Cho phương trình x° —3x”+1—zz=0 (1) Điều kiện của tham số 7z để (1) có ba nghiệm phân

biệt thỏa x; <1< x; < x; khi

Trang 13

Chuyén dé 2 Các bài toán liên quán đến đồ thi ham aố

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

Cho hàm số y= 2x? —3x? +1 có đồ thị (C)và đường thắng đ: y= x—1 Giao điểm của (C) và

d lần lượt là 4(1;0), 8 và Œ Khi đó khoảng cách giữa B va C la

Tập tất cả các giá trị của tham số m để đường thắng 2:y=x+m? cắt đồ thị hàm số

(C):y =—x” +4z tại ba điểm phân biệt là

Cho hàm số y= x`—3x” +4 có đồ thị (C) Gọi đ là đường thắng qua 7(1;2) với hệ số góc k

Tập tất cả các gia tri cua k dé d cat (C ) tại ba điểm phân biệt 7, 4, Ø sao cho 7 là trung điểm

của đoạn thắng 4 là

13|THBTN

Trang 14

(C„):y=xˆ~3(m+1)x? +2(m? +4m +1)x—4m(m+1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

Cho (P):y=x?—2x—m? và đ:y=2x+l Giả sử (P) cat d tai hai diém phan biét 4,B thi

tọa độ trung điểm 7 của đoạn thang AB là

Giá trị nào của tham số mm để đồ thị (C,,) iy= (m—-1)x° +x?—m chỉ có một điểm chung với trục hoành?

Cho ham sé y = x*—(2m-1)x’ +2m cé dé thi (C) Tất cả các giá trị của tham số m để đường

thang d: y=2 cat dé thị (C) tại bốn điểm phân biệt đều có hoành độ lớn hơn 3 là

Trang 15

Câu 54

Cau 55

Cau 56

Cau 57

Cho hàm số: y = xÌ+2mx?+3(m—1)x+2 có đồ thị (C) Đường thắng Z: y=—x+2 cắt đồ thị

(C) tại ba điểm phân biệt 4(0;—2), 8 và C Với MG;1), giá trị của tham số m để tam giác

MBC có diện tích bằng 22/7 là

Cho đồ thị (Œ„):y=x`—2x”+(I—m)x+m Tất cả giá trị của tham số m để (Œ„) cắt trục

hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x,,x,,x; thỏa x°+ +; +x? =4 là

Cho hàm số ‘yaar —mx? -xtm+2 có đồ thị (C„) Tât cả các giá trị của tham sô 7 đê

(C,,) cắt trục Óx tại ba điểm phân biệt có hoành độ x,, x;, x; thỏa x; +x; +x; >15 là

41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57

D|}C;B;D;A;J|D|A;{}A;/D|B{]C;{/B/;]|D|Bj{A|]A]B

II-HƯỚNG DẪN GIẢI

Cau 1 |ỂW8WỸẾ

Vậy số giao điểm là 2

Lap phuong trinh hoanh d6 giao diém: x° —2x*+x-12=0 ox=3

Vậy có một giao điểm duy nhất

Câu4 |ỂW@Wf

Trang 16

2x°+x+1=0(VN) Vay đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm

Cau7 Chon)

Phương trình hoành độ giao điểm

Trang 17

Chuyén dé 2 Các bài toán liên quán đến đồ thi ham aố

Vậy số giao điểm là 2

Trang 18

Ta khảo sát hàm số (C): y= x'*—2xŸ tìm được yựy =—l, ye; =0

Vay chon m e(—4;~3)

Cau 22 Ghon Al

Phương pháp tự luận:

Ta khảo sát hàm số (C): y= x”—3x+1 tìm được yœ; =3, yey = —1

Yêu cầu bài toán > —l< <3 Vậy chọn —l< m <3

Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiỂm tra trực tiếp đáp án

+Với m=2, giải phương trình xÌ —3x—1=0 ta bắm máy được ba nghiệm => loại C, D

+Với m=—], giải phương trình xÌ—3x+2=0 ta bắm máy được hai nghiệm = loại B

Vậy chọn —] <zn <3

Cau 23 GhonBl

Bang bién thién:

Trang 19

Trang 20

Phương trình hoành độ giao điểm: —x*+2x?+m=0 <=m=x‘-22’

nghiệm phân biệt Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2

>

mz#—]

Vậy chọn | m#-—l

Tương tự ta khảo sát hàm số (C): y=x*-2x7 +3 ta tim duge yor =2, Yep = 3

Yêu cầu bài toán <> 2<m<3 Vay chon 2<m<3

Tương tự ta khảo sát hàm số (C): y=x“—2x” +3 ta tìm được yựy =2, yep =3

Trang 21

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm aố BTN 21

Phương pháp trắc nghiệm:

+Với m=2, ta giải phương trình x”—2x” +1=0 <>x=lvx=—1= loại A

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Øx: -2x`+3x?+2m—1=0 Ta khảo sát

hàm số (C'): y=2x”—3x” +1 và cũng chỉ là tìm y„„, y„„ Cụ thể y„„ =1, yey =0 Do đó yêu cầu bài toán c 0 < 2m < co 0 < m < Vậy chọn 0<m<2

Phương pháp trắc nghiệm:

—1

x=1 + V6i m=0.1, tacé phuong trinh —2x° +3x? —0.8=0 có 3 nghiệm = loại C

Câu 33 Chon

Ta có xÌ—3xÏ+4+/m=0 (*) Xem phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của

đồ thị hàm số (C): y=—x”+3x” —4 và đường thắng đ: y=m Số giao điểm của (C) và đ là

sỐ nghiệm của (*) Dựa vào đồ thị hàm số, yêu cầu bài toán m< -4 Vay chon m<-4

Cau 34 GhonD)

Ta có đồ thị của hàm số y = x`—3x +1như hình bên

Dựa vào đồ thị ta tìm được kết quả để đồ thị cắt hàm số tại ba điểm phân biệt là —l < m <3

Trang 22

không đủ hai nghiệm dương => loại A, B, C Vậy chọn —l <7 <1

và đ:y=2m—1 (là đường thẳng song song hoặc trùng với Óx )

Phương pháp tự luận

Ta có xÌ—3x?+1—m =0 là phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số

y=>z°—3x” +1 và y=m (là đường thăng song song hoặc trùng với Óx )

Dựa vào đồ thị số nghiệm của phương trinh (1) chính là số giao điểm của đồ thị y=z`—3x? +1 và đường thang y=m

Do đó, yêu cầu bài toán > —3 < m < —1

máy tính Ta nhận thấy (1) có ba nghiệm nhưng có

Tiếp tục thử m= -2 thay vao (1) tim nghiệm bang

máy tính Ta nhận thấy (1) có ba nghiệm thỏa yêu

cầu bài toán Suy ra loại D

Ta có BC = (x; —x;;x; — x¡) , SUy Ta

Định dạng
Số trang	31
Dung lượng	10,26 MB