NỘI DUNG 4 bất PHƯƠNG TRÌNH mũ LÔGARÍT

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT Chuyên đề: Hàm số mũ – hàm số logarit 1.. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT: a... Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đ

IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT

Chuyên đề: Hàm số mũ – hàm số logarit

1 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT:

a Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M < a N (   , , )

log M log Na  a (   , , )

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2

3x x 9 (1)

Bài giải

♥ Ta có: 2

2

1 3x x 3 2

2

2

2 0

1 x 2

♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 1; 2 

Tự luyện: Giải các bất phương trình

1)

6 3

3 2 1

x

x x





 2)

2

4 15 13

3 4

1

2 2

x x

x

Ví dụ 2: Giải bất phương trình 3   1   

3

2 log 4x 3 log 2x 3 2 (1)

Bài giải

♥ Điều kiện:     



3 x

x

x 2

(*)

♥ Khi đó:

   

2

2

2

2

log 4x 3 log 9 2x 3

16x 42x 18 0

3

8 ♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là 3   x 3

Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

Tự luyện: Giải các bất phương trình sau

1) log 22 x 3 log 32 x 1 2) 2

log 5x 10 log x 6x 8

4

2 3

x

x x

 4) log 2 x 3 log 2 x 2 1

5) 2

3

log (x  6x 5) 2log (2 x) 0     6) 1 1  2

log x 2log x 1 log 6 0    

2

1

2

  8)

2 1 2

log x 5x 6 1

Ví dụ 3: Giải bất phương trình 1 2   

2

x (1)

Bài giải

♥ Điều kiện:       



0

x 2

x (*)

♥ Khi đó:





 



2

2

2

x

x

x

x 0

♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là    

   



Tự luyện: Giải các bất phương trình sau

1)  



2

2x 1

x 1 2)  



3

3x 5

x 1 3)  



0,5

2x 1

x 5 4)  



1 3

3x 1

x 2

Ví dụ 4: Giải bất phương trình:    



2 0,7 6

x 4 (1)

Bài giải

♥ Điều kiện:

  

6

x 2

(*)

♥ Khi đó:

   



2

x 5x 24

x 8

x 4

♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là     x4 8x 3 

Tự luyện: Giải bất phương trình    



1 2 3

2x 3

x 1

b Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số

Ví dụ 5: Giải bất phương trình 1 3

9x  36.3x   3 0 (1)

Bài giải

♥ Biến đổi bất phương trình (1) ta được

1 2 1

1 3x 4.3x 3 0 (2)

♥ Đặt 1

3x

t t 0 , bất phương trình (2) trở thành 2

t t (3)

3 1 t 3

Suy ra: 1

♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 1; 2 

Bài giải

1) 2x x+2

2 - 3.2 + 32 < 0 2) 3

2x 2 x 9 3) 9x 5.3x  6 0 4) 5 2x 1   5 x  4

5)



     

 

2

x 2x 1

3 6) 3 2x 1   2 2x 1   5.6 x  0

Ví dụ 6: Giải bất phương trình log x log x 2 022  2   (1)

Bài giải

♥ Điều kiện: x 0

♥ Đặt t log 2 x , bất phương trình (1) trở thành 2

2 0

t t (2)

3 2 t 1

Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

Suy ra: 2 log2 1 1 2

4

♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1; 2

4

Tự luyện: Giải các phương trình sau

1) 2

2 2

log x 17 log x  4 0 2) 2

3.log x 14.log x  3 0 3) log2x 2 log 4 5x   0 4) 2 5

4 log ( 1) 3 log ( 1)

5

2

3 log x log x   2 0 6) 2

1 1

2 2

log x log x 2 0

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bất phương trình mũ

Câu 1 Giải bất phương trình:

1 2

1

2 2

x

x





  

 

 

2 x 2 x

Câu 2 Giải bất phương trình: 3.9x10.3x30

Đặt t 3x(t  0 ) Bất phương trình đã cho trở thành

3 3

1 0 3

10

3t2 t   t

3

1











Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S [  1 ; 1 ]

Câu 3 Giải bất phương trình:

2 1 3

2 1 1 2

8

x x



  

Bất phương trình tương đương với

x



2 2 0 2 0

Câu 4 Giải bất phương trình:

3 8

1 2

x x x







 

3 4 2 6 8



       

0

x

x

   



Câu 5 Giải bất phương trình sau: 76x2 3x 7 49

7 x  x 497 x  x 7 6x 3x  7 2 6x 3x 9 0

Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

3

x

x







Xét dấu VT ta được tập nghiệm của bất phương trình S = [-3; 1]

Câu 6 Giải bất phương trình:4x3.2x  2 0

4x3.2x   2 0 2 x 3.2x 2 0

Đặt t 2 ,x t 0

Bất phương trình trở thành: 2

Vậy bất phương trình có nghiệm S = (0; 1)

Câu 7 Giải bất phương trình

2

2 2

2 x x x 200

Điều kiện: x> 0 ; BPT  2

2

4log 2log

2 xx x 200

Đặt t log2x Khi đó x2t

BPT trở thành 2 2

4 t 2 t 200 Đặt 22

2 t

y ; y  1

BPT trở thành y2 + y - 20  0  - 5  y  4

Đối chiếu điều kiện ta có: 2

2 t  4 2t   2 t 1  - 1  t  1

Do đó - 1  log x2  1  1 2

2  x

x  x x  x



2 3 x  x 2 3 x  x 4

2

x x

t    t 

BPTTT: t 1 4 t2 4t 1 0 2 3 t 2 3

t

  2

2

x  x

1 x 2x 1

 2

Bất phương trình logarith

Câu 1 Giải bất phương trình: log x log (x 1)0,2  0,2   log (x 2)0,2 

Điều kiện: x  0 (*)

log x log (x 1) log (x 2) 2   

log (x x) log (x 2)

 x2   x x 2 x 2 (vì x > 0)

Vậy bất phương trình có nghiệm x  2

2

log log (2x ) 0 (xR)

2 log (2x )  0 2 x     1 1 x 1

log (2 ) 1

0

x

x



Vậy tập nghiệm bpt là S  ( 1;0)(0;1)

Câu 3 Giải bất phương trình: 2log (3 x 1) log 3(2x 1) 2

ĐK: x > 1 , 2 log (3 x  1) log (23 x  1) 2  log [( 3 x 1)(2x 1)] 1 

2

2x 3x 2 0

2 x

   => tập nghiệm S = (1;2]

5

log 4x  1 log 7 2  x   1 log 3x 2

+ Điều kiện: 1 7

+ BPT  log 54x  1 log 53x 2  1 log 57 2  x

2

log 4 1 3 2 log 5 7 2

33

1 12

x

Giao với điều kiện, ta được: 1 1

4 x

  

Vậy: nghiệm của BPT đã cho là 1 1

4 x

  

Câu 5 Giải bất phương trình sau:

1 log 2xlog2x2log 26x

Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

ĐK: 0  x 6 BPT  2   2

log 2x 4x log 6 x

2x 4x 6 x x 16x 36 0

Vậy: x  18 hay 2 x

So sánh với điều kiện

KL: Nghiệm BPT là 2  x 6

Câu 6 Giải bất phương trình 2  1 

2

log 2x  1 log x 2  1

- ĐK: x 2

- Khi đó bất phương trình có dạng: log 22x  1 log 2x 2 1

2 2

5

2

- Kết hợp điều kiện ta có: 2;5

2

x  

 

Câu 7 Giải bất phương trình sau: log 3 log 2x 2 3log 4.log 5 25 8

log log x 2  3log 4.log 5  log 3 log 2x 2 log 3 3

2

2

x

x x



 



Câu 8 Giải bất phương trình sau : 2

2

log (x   1) log (x 1)

ĐK: x >1 BPT

2

log (x   1) log (x 1)  log (x   1) log (x  1) 0

2

(x 1)(x 1) 1

1 1

x x x

(x x x 1) 0

2

x 

  (do x >1)

Vậy tập nghiệm của BPT là S= 1 5;

2



Câu 9 Giải bất phương trình 2

4

x

Giải bất phương trình 2

4

x

x  (1)

Điều kiện của bất phương trình (1) là: x 0 (*)

Với điều kiện (*),

(1)  log x log x log 4 4   log x log x  2 0  (log2 x 2)(log2 x  1) 0

2

2

4

1

2

x x









Kết hợp với điều kiện (*), ta có tập nghiệm của bất phương trình (1) là 1  

2

S   

Câu 10 Giải bất phương trình

3

32

8

x

x

Điều kiện x > 0

log ( )x log x log 8 9 log 32 log x  4log ( )x

4  2   2

log ( )x 3log x 3 9 5 2log x 4log ( )x

Đặt t = log2(x), bất phương trình trên tương đương với

2

2 log 3

x

t

x t

x



Vậy bất phương trình có nghiệm 1 1  

8 4

Câu 11 Giải bất phương trình 2

2

1 log (4 4 1) 2 2 ( 2) log

2

1

*

2

x

x x



Với điều kiện (*) bất phương trình tương đương với:

2log (1 2 ) x 2x  2 (x 2) log (1 2 ) 1 x  xlog (1 2 ) 12  x   0

1 log (1 2 ) 1 0 log 2(1 2 ) 0 2(1 2 ) 1

4

0 log (1 2 ) 1 0 log 2(1 2 ) 0 2(1 2 ) 1

x





Kết hợp với điều kiện (*) ta có: 1 1

4 x 2 hoặc x < 0

2

log (x ) log (x     )

Điều kiện: x  1

Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

log (x ) log (x ) log (x x )

2

Kết hợp điều kiện ta được: 1   x 5 là nghiệm của bất phương trình

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: 1   x 5

Câu 13 Giải bất phương trình:

log ( 22 x  1) log ( 2 x2 2x   1) 3 0

log (x 1) log (x 2x   1) 3 0 log (x 1) 2log (x  1) 3 0

Đặt t = log2(x+1) ta được : t2 – 2t – 3 > 0 <=> t < -1 hoặc t > 3

Vậy: 2

2

log ( 1) 3

x

Câu 14 Giải bất phương trình sau: log (43 x 3) 2

3

log (4x 3) 2

4

2 3

log (4x  3) 2 4x 3 3 4x12 x 3

Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm 3;3

4

  

Câu 15 Giải bất phương trình sau: 2

0,5 log (x 5x  6) 1

2

0,5

log (x 5x  6) 1

3

x

x







0,5

log (x 5x   6) 1 x 5x 6 0,5  x 5x    4 0 1 x 4

Kết hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm S 1;2  3;4

Câu 16 Giải bất phương trình sau:

2

log (2x4)log (x  x 6)

2

log (2x4)log (x  x 6)

Điều kiện: 2

2

3 2

6 0

3

x x

x x

x

 



 



2 2

2

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm S 3;5

Câu 17 Giải bất phương trình sau: l g(7o x 1) l g(10o x2 11x1)

1 7

1

7 10

10 11 1 0

10 1

x x

x x

x

  









2

9

5

Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm 0; 1 1;9

 

Câu 18 Giải bất phương trình:

1

2

Điều kiện: x  3

Bất phương trình đã cho tương đương:

2

2

3

x

x





3

x

x





9 1

10

x x

x

  





Giao với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là x 10

Câu 19 Giải bất phương trình:

log log x  1 x log log x  1 x

Đk: x 0

Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

5

5

5

5

5

0log x  1 x  x 0

5

12

5

Vậy BPT có nghiệm 0;12

5

x 

Câu 20 Giải bất phương trình x(3log2x2)9 log2x2

Điều kiện:x  0Bất phương trình 3(x3) log2x2(x1)

Nhận thấy x=3 không là nghiệm của bất phương trình

TH1 Nếu x  3 BPT  3log2 1

x x x







Xét hàm số: ( ) 3log2

2

f x  x đồng biến trên khoảng 0; ( ) 1

3

x

g x

x





 nghịch biến

trên khoảng 3; *Với x  4:Ta có ( ) (4) 3

( ) (4) 3



   Bpt có nghiệm x4 * Với

4

x :Ta có ( ) (4) 3

( ) (4) 3



   Bpt vô nghiệm

TH 2:Nếu 0  x 3 BPT  3log2 1

x x x





3 ( ) log 2

f x  x đồng biến trên 0; ;

1

( )

3

x

g x

x





 nghịch biến trên  0;3 *Với x 1:Ta có ( ) (1) 0

( ) (1) 0



   Bpt vô

nghiệm

 Với x  1:Ta có ( ) (1) 0

( ) (1) 0



   Bpt có nghiệm 0 x 1

Vậy bất phương trình có nghiệm 4

x x





  