GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Chuyên đề: Hàm số A.. Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải toán I.. Đối với GTLN và GTNN đối với hàm nhiều biến cũng có định nghĩa tương tự.. 2 CÁ
Trang 1III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Chuyên đề: Hàm số
A Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải toán
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số y f x xác định trên tập hợp D
Số M được gọi là GTLN của hàm số y f x trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn
0 0
i) f x M x D ii) x D : f x M
x D
Số m được gọi là GTNN của hàm số y f x trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn
0 0
i) f x m x D ii) x D : f x m
x D
Quy ước: Ta quy ước rằng khi nói GTLN hay GTNN của hàm số f mà không
nói "trên tập D" thì ta hiểu đó là GTLN hay GTNN trên TẬP XÁC ĐỊNH của
nó
Đối với GTLN và GTNN đối với hàm nhiều biến cũng có định nghĩa tương tự
2) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
a) Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức (hay phương pháp dùng định nghĩa)
Một số kiến thức thường dùng:
b
f x ax bx c a x
b) Bất đẳng thức Cô-si:
Với hai số a, b không âm a, b 0 ta luôn có: a b ab a b 2 ab
2
Dấu "=" xảy ra khi a b
Với ba số a, b, c không âm a, b, c 0 ta luôn có: a b c 3 3
3
Dấu "=" xảy ra khi a b c
c) Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng
1)
2 2
2 2
2
2
a b
a b ab ab
Trang 22)
2
4
a b
a b ab ab
3)
2
2 2 2 2 2 ( )
2
a b
a b a b b
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm GTLN của hàm số 2
f x 2x 8x 1
Bài giải
♥ Tập xác định: D
♥ Ta có
f x 2x 8x 1 9 2 x 2 9, x D
Dấu “=” xảy ra khi x 2 D
♥ Vậy max ( ) 9
Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số 2
f x 2x 4x 12
Bài giải
♥ Tập xác định: D
♥ Ta có
f x 2x 4x 12 = 2 x 1 10 10 , x D
Dấu “=” xảy ra khi x 1 D
♥ Vậy min ( ) 10
x D f x
Ví dụ 3: Tìm GTNN của các hàm số 2
x 1
với x 1;
Bài giải
♥ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
1
♥ Vậy min ( ) 2 2 1x D f x
Bài tập tương tự
Tìm GTNN của hàm số f (x) x 3 7
x 3
b) Phương pháp 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình (hay phương pháp miền giá trị)
Cơ sở lý thuyết của phương pháp: Cho hàm số xác định bởi biểu thức dạng
Tập xác định của hàm số được định nghĩa là :
D {x |f(x) có nghĩa}
Tập giá trị của hàm số được định nghĩa là :
Trang 3T = {y |Phương trình f(x) = y có nghiệm x D}
Do đó nếu ta tìm được tập giá trị T của hàm số thì ta có thể tìm đựơc GTLN và
GTNN của hàm số đó
Một số kiến thức thường dùng:
ax bx c 0 a 0 có nghiệm 0
b) Phương trình a cos x b sin x c a, b 0 có nghiệm 2 2 2
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số y x22 x 2
(1)
Bài giải
♥ Tập xác định: D
♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có:
2
2
y 1 x2 y 1 x 2y 2 0 (2) (Dạng 2
ax bx c 0) + Trường hợp 1: Với y 1 thì (2) có nghiệm x 0
+ Trường hợp 2: Với y 1 thì (2) có nghiệm 0
7y2 18y 7 0
7 y 7
Suy ra tập giá trị của hàm số là 9 4 2 9 4 2;
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y 1 sin x
2 cos x
(1)
Bài giải
♥ Tập xác định: D
♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có:
1 2y y cos x 1 sin x ycosx sinx 1 2y (2) (dạng a cos x b sin x c)
(2) có nghiệm a2 b2 c2 y2 12 1 2y 2 3y2 4y 0 0 3
4
y
Suy ra tập giá trị của hàm số là 0;3
4
♥ Vậy min 0; max 3
4
c) Phương pháp 3 : Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích)
Điều kiện tồn tại GTLN và GTNN:
Định lý: Hàm số liên tục trên một đoạn a; b thì đạt được GTLN và GTNN
trên đoạn đó
Trang 4 Phương pháp chung: Muốn tìm GTLN và GTNN của hàm số y f x trên
miền D, ta lập BẢNG BIẾN THIÊN của hàm số trên D rồi dựa vào BBT suy
ra kết quả
Phương pháp riêng:
Trong nhiều trường hợp, có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một
đoạn mà không cần lập bảng biến thiên của nó Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn a b; và có đạo hàm trên khoảng a b; , có thể trừ một số hữu hạn điểm Nếu f '( )x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc a b; thì ta có quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm f trên đoạn a b; như sau:
Quy tắc
1) Tìm các điểm x x1, 2, ,x m thuộc a b; mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng
0 hoặc không có đạo hàm
2) Tính f x( ), (1 f x2), , (f x m), ( ), ( )f a f b
3) So sánh các giá trị tìm được
Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn a b;
Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn a b;
CÁC VÍ DỤ
i XÉT HÀM TRỰC TIẾP
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2x3 3x2 12x 2 trên đoạn 1;2
Bài giải
♥ D 1;2
♥ Ta có: y' 6x2 6x 12
' 0 2
1
y
Do y 1 15; 2y 6; 1y 5 min 5; max 15
♥ Vậy minx D y 5; maxx D y 15.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y e x x 2 x 1 trên đoạn
0;2
Bài giải
♥ D 0;2
♥ Ta có: y' e x x 2 x 2
' 0 2
1
y
Do y 0 1; 2y e y2; 1 e minx D y e; maxx D y e2
♥ Vậy minx D y e; maxx D y e2.
Trang 5BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 4 x2
Bài giải
♥ D 2;2
2
4 '
4
y
y' 0 x 2 D
x D y x D y
x D y x D y
ii ĐỔI BIẾN (ĐẶT ẨN PHỤ)
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2sin 2x cosx 1
Bài giải
♥ Tập xác định: D
♥ Đặt t cosx với t 1;1 , hàm số trở thành: y 2t2 t 3
Ta có: y' 4 1t ; ' 0 1 1;1
4
8
x D y x D y
Câu 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :yx4 2x2 3 trên đoạn 0 ; 4
y’= 0 x=0, x=1 0 ; 4 x= -1 loại
Ta có: f(0) =3 , f(1)=2 , f(4)=227
Vậy GTLN y = 227 , trên 0 ; 4 khi x=4
GTNN y= 2 trên trên 0 ; 4 khi x=1
Câu 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
f x x x
trên đoạn
1
2;
2
+ Ta có
2
x
f '(x) 1
Trang 6+ f '(x) 0 x 2 [ 2; ]1
2
+ Có f ( 2) 2;f ( )1 1 15
1 15
2
maxf(x) minf(x)
Câu 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2
đoạn 1; 2
2
f x x x ; f x xác định và liên tục trên đoạn 1; 0
2
;
' 3
f x x x
2
x f x x x
f f f f
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn 1; 0
2
lần lượt là 4 và 0
Câu 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
ln 1 2
y f x x x trên đoạn 1; 0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
ln 1 2
y f x x x trên đoạn
1; 0
1 2
2
x
f f f
1;0 1;0
1
4
Câu 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số yx.logx trên khoảng (0;10)
Hàm số đã cho liên tục trên (0;10] Ta có '( ) log 1 log log
ln10
1 '( ) 0 log log
e BBT:
Trang 7
10 x
f’(x)
f(x)
0
log
e
e
10 x
f’(x)
f(x)
0
log
e
e
Từ BBT ta suy ra
(0;10]
min f x'( ) e x .
Câu 6 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 4
3 1
x
trên đoạn 2; 5
- Ta có f x liên tục và xác định trên đoạn 2; 5 ;
2
4
1
f x
x
- Với x 2;5 thì f ' x 0 x 3
- Ta có: f 2 3,f 3 2, f 5 3
- Do đó:
2;5
Max f x x x ,
2;5
min f x x
Câu 7 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1
x y x
trên đoạn 2; 4
Hàm số liên tục trên đoạn 2; 4
Ta có
1
x
y y
Vậy
2;4
3 max =
7
y
khi x 4 và
2;4
1 min =
3
y
khi x 2
Câu 8 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2
f x x x trên đoạn 0; 2
( )
f x xác định và liên tục trên đoạn 0; 2 , ta có: 3
f x x x
Với x 0; 2 thì: '( ) 0 0
1
x
f x
x
Ta có: f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = -6
Vậy:
0;2 ax ( ) (1) 12; min ( ) 0;2 (2) 6
M f x f f x f