PP giải BDT GTLN GTNN một biến số

Bài 1 Tìm giá tr l n nhât, nh nh t (n u có) c a các hàm s sau:

f x

 v i x 0

2)

3

3 (1 ) ( ) 16

4

x

  v i x 0;1

3)

3

2

5

f x    x v i x  3;0

f x  x  x  x v i 0  x 1

5) f x( ) (x 1)3 x22x v i 6 x 2

Gi i

f x

 v i x 0

Ta có '( ) 8 2 12 3( 2 1)(5 2 3)

f x

B ng bi n thiên:

T b ng bi n thiên suy ra ( ) (1) 3

2

f x  f  v i   x 0

V y f x( ) có giá tr l n nh t là 3

2 khi x 1

2)

3

3 (1 ) ( ) 16

4

x

v i x 0;1

Ta có

2

'( ) 48

9

GIÁ TR L N NH T NH NH T HÀM S 1 BI N

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Giá tr l n nh t – nh nh t thu c khóa h c Luy n thi THPT

qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này,

b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này

Khi đó  

 

0;1

0;1

1

(1) 16

x

x

f

f

f











  

  



3)

3

2

5

f x    x v i x  3;0

Ta có

'( )

f x

Khi đó

2

x





2

2 2

2 2

2

1

25

3 3

x x x

x

x



 







 

3;0

3;0

( 1) 10

x

x

f

f

 

 



f x  x  x  x v i 0  x 1

Ta có

2

'( )

1

3

x

 







B ng bi n thiên

T b ng bi n thiên suy ra ( ) 1 10

f x  f 

 

  V y giá tr l n nh t c a f x( ) là

10

3 khi

1 3

x

5) f x( ) (x 1)3 x22x v i 6 x 2

Ta có: 2 2

2

x

x





v i   x 2

Suy ra f x( ) đ ng bi n v i   nên x 2 f x( ) f(2) 1  2

V y P đ t giá tr nh nh t là 1 2 khi x 2

Bài 2 Ch ng minh các b t đ ng th c sau:

1) ex  x 1 v i   2)x cos 2 2

2

e  x  x v i   x

3) ln 1

1

x

 v i  x 0;x1 4) ln(x 1) x1 v i   x 1

5) ln 1 

1

x

 v i   6)x 0 1 2 ln2 22

x

  v i   x 1

7) ln( 1) 2

2

x x

x

 

 v i   8)x 0  2 1

x

    v i   x 0

x x x   x v i   10)x

1 1 2

x

x





   v i   x 1

Gi i

1) ex  x 1 v i   x

B t đ ng th c t ng đ ng: x 1 0

e   x v i   x Xét hàm s : f x( )ex x 1 v i   x

Ta có: f x'( )ex   1 0 x 0 và lim ( ) lim  x 1

T b ng bi n thiên ta có: f x( )0 v i x  hay ex  x 1 0 v i x  (đpcm)

2)

2

2

e  x  x v i x 

Xét hàm s :

2

2

f x e  x  x v i x 

Ta có: f x'( )exsinx 1 x và f''( )x excosx 1 0 v i x 

 f x'( ) đ ng bi n v i x  Do đó: 0 '( ) '(0) 0



và ta có:

2

2

x

x

T b ng bi n thiên ta có: f x( )0 v i   hay x cos 2 2

2

e  x  x v i   (đpcm) x

1

x

 v i  x 0;x1

Xét hàm s : f x( ) lnx x 1

x



  v i x và 0 x 1

Ta có:

x x

f x



 f x( ) ngh ch bi n v i  x 0;x1 Do đó:

+) V i 0 x 1  f x( ) f(1) hay 0 ln 1 0 ln 1 ln 1

1

x

 (vì x  ) 1 0

(1)

+) V i x1  f x( ) f(1) hay 0 ln 1 0 ln 1 ln 1

1

x

 (vì x  ) 1 0

(2)

T (1) và (2)  ln 1

1

x

 v i  x 0;x1 (đpcm)

4) ln(x 1) x1 v i   x 1

Xét hàm s f x( )ln(x 1) x1 v i x 1

Ta có:

x

và lim ( ) lim ln( 1) 1

       ;

         

T b ng biên thiên ta có: f x( )2ln 2 2 0 hay ln(x 1) x1 v i   (đpcm) x 1

1

x

 v i   x 0

+) Xét hàm s : f x( )ln 1   v i x x x 0

Ta có: '( ) 1 1 0

x

f x



  v i   x 0

 hàm s f x( ) ngh ch bi n v i   x 0  f x( ) f(0)0 hay: ln 1    v i x x 0   x 0 (1)

+) Xét hàm s : ( ) ln 1 

1

x

x

 v i x 0

Ta có:

x

g x

 hàm s g x( )đ ng bi n v i   x 0 g x( )g(0)0 hay: ln 1  0

1

x x

x

 v i   x 0

(2)

T (1) và (2)  ln 1 

1

x

 v i   (đpcm) x 0

6) 1 2 ln2 22

x

  v i   x 1

Tr c tiên ta s ch ng minh 1 2 ln2

1

x

x x

 (1)

f x x   x x v i x 1

Ta có f x'( )2x2lnx2 ; f ''( )x 2 2 2(x 1) 0



Suy ra f x'( ) đ ng bi n v i  x 1 f x'( ) f '(1) 0 f x( ) đ ng bi n v i   x 1

 Khi đó f x( ) f(1)0 hay 2

Ta ch ng minh 2 2

x

g x  x  x x  v i x 1

Ta có

2



2



Suy ra g x'( ) đ ng bi n v i  x 1g x'( )g'(1) 0 g x( ) đ ng bi n v i   x 1

 Khi đó g x( )g(1)0 hay (x21) lnx x 2 1 0

2

x x

x

 

 v i   x 0

Xét hàm s : ( ) ln( 1) 2

2

x

x

 v i x 0

Ta có:

2

x

f x

 f x( ) đ ng bi n v i   x 0  f x( ) f(0)0 hay ln( 1) 2

2

x x

x

 

 v i   (đpcm) x 0

x

    v i   x 0

Xét hàm s :  2 1

x

Ta có:

'( )

f x



0 1



 hàm s đ ng bi n trên 0; (1) 

x

T (1) và (2)  f x( )0 v i   hay x 0  2 1

x

    v i   (đpcm) x 0

x x x   x v i   x

f x x x x   x v i   x

1 1

x x

x x





0 0

x x

T b ng bi n thiên ta có: f x( )0 v i x  hay  2 2

x x x   x v i x  (đpcm)

1 1 2

x

x





   v i   x 1

2

x

Ta có: '( ) ln 1 ln 1 1 ln ln 1 ln 2

x

 (1)

T (1) và (2)  f x'( )0 v i   và x 1 f x'( )0 khi x  hàm s 1 f x( ) đ ng bi n v i   x 1  f x( ) f(1)0 hay   1

2

x

(đpcm)

Bài 3 Tìm giá tr l n nh t, nh nh t (n u có) c a hàm s sau:

2

( )

f x



Gi i

3 x

  

t t3 x 1 2 4 3 x Xét hàm g x( )3 x 1 2 4 3 x liên t c trên 1;4

3

'( )

g x

Khi đó g( 1) 2 7 ; g(0)7 ; 4 21

3

g   

  Suy ra 21g x( )7 hay 21  t 7

Ta có

2

3

t

Suy ra

2

2

25 8

3

t

t

Xét hàm ( ) 1 1

3

t

  v i t  21; 7

Ta có '( ) 1 1 12 0

3

h t

t

  v i   t  21; 7 , suy ra h t( ) liên t c và đ ng bi n trên 21;7 

7

3 21

7

3 21 f x 

3

t  x ; t   7 x 0

V y giá tr nh nh t c a f x( ) là 20

3 21 khi

4 3

x và giá tr l n nh t c a f x( ) là 16

7 khi x 0

Bài 4 Tìm giá tr nh nh t c a hàm s ( ) (1 cos ) 1 1 (1 sin ) 1 1



 

Gi i

sin cos sin cos 1 2

sin cos

4

 , suy ra

2

1 2sin cos sin cos

2

t

2

t



Ta có '( ) 1 2 2 ( 1 2)( 21 2) 0

g t

Suy ra g t( ) ngh ch bi n v i  t 1; 2

 , khi đó f x( )g t( )g( 2) 4 3 2

V i

4

x

thì f x( ) 4 3 2 V y giá tr nh nh t c a f x( ) là 4 3 2

Bài 5 Tìm giá tr l n nh t c a hàm s f x( )5 (x1) (3 2 )3  x

Gi i

 V i x ho c 1 3

2

x thì f x( )0

2 x

  , áp d ng b t đ ng th c AM – GM cho 4 s ta đ c:

4

3

3

( ) ( 1) (3 2 )

2048

V y f x( ) có giá l n nh t b ng 5 27

2048 khi

11 8

x

Bài 6 Ch ng minh r ng:

3 1

x

2

 

Gi i

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta đ c: 2sin tan 2sin tan

2sin tan

1 2

x  x

Khi đó b t đ ng th c s đ c ch ng minh n u ta ch ra đ c:

3 1 2

2sin tan

1 2

x



 

 2sin tan 1 3 1 2sin tan 3



Xét hàm s f x( )2sinxtanx3x v i 0;

2

 

Ta có

2

2

   Suy ra f x( ) đ ng bi n trên kho ng 0;

2



Khi đó f x( ) f(0)0 hay 2sinxtanx3x 0 2sinxtanx3x (đpcm)

Bài 7 Tìm giá tr nh nhât c a bi u th c P x48x322x224x2 x   2 x 1 4ln(x24x 5)

Gi i

2

x



AM GM



Nên f x'( )     0 x 2 0 x 2, khi đó ta có b ng bi n thiên:

Suy ra f x( ) f(2)88 (*)

 Áp d ng b t đ ng th c tr tuy t đ i d ng a    và b a b a  v i 0 a b,  , ta đ c:

2 x   2 x 1 x  2 1 x       x 2 x 2 1 x 0 1 (2*)

T (*) và (2*), ta đ c: P  f x( ) 2 x   2 x 1 88 1 89 

 Khi x thì 2 P89

 V y giá tr nh nh t c a P là 89

Bài 8 Ch ng minh các b t đ ng th c sau:

1)

2

n

n

     v i  ; n x 0

2)  2  

n

n

     v i   ; x 0 a ; n 1

Gi i

1)

2

n

n

     v i  ; nx 0

Xét hàm s :

2

n x

n

n

      Ta s đi ch ng minh: f xn( )0 (*) v i   ; n x 0 +) V i n : 1 f x1( )ex 1 x  f1'( )x ex 1 0 v i   và x 0 f x'( )0 khi x 0

 hàm s f x1( )đ ng bi n v i  x 0 f x1( ) f1(0)0 V y (*) đúng v i n 1

+) Gi s (*) đúng v i n k hay f xk( )0

+) Ta c n ch ng minh (*) đúng v i n  hay k 1

x k



v y:

2 '

k x

k

k

        f xk( ) (theo gi thi t quy n p) và 0 '

1( ) 0 k

f  x  khi x 0  hàm s fk1( )x đ ng bi n v i  x 0 fk1( )x  fk1(0)0 V y (*) đúng v i n  k 1

n

n

      v i   ; n (đpcm) x 0

n

n

     v i   ; x 0 a ; n 1

t txlna  x x ln a t

a e e v i t 0 Khi đó bài toán đ c phát bi u l i là: Ch ng minh 1 2

n

n

     v i   ; n (quay v ý t 0

1))

Bài 9 Ch ng minh các b t đ ng th c sau:

1)

2

ln 1

2

x

  v i   2)x 0

2

n

n

Gi i

1)

2

ln 1

2

x

  v i   x 0

Xét hàm s : f x( ) ln 1 x 12 x

x

1

2

f x

x

 

v i

0

x

 

 hàm s f x( ) ngh ch bi n v i   x 0  f x( ) f(0)0 hay:

2

ln 1

2

x

  v i   x 0 (đpcm)

2

n

n

  v i   x 0

Xét hàm s :

2

n

n

1

n

n

x

f x





v i   x 0

 f x( ) ngh ch bi n v i   x 0  f x( ) f(0)0 hay:

2

n

n

(đpcm)

Bài 10 Ch ng minh b t đ ng th c sau: 1 1

2

n

ne

  v i  x (0;1) và *

Gi i

2 2

ne

2

n

n

Ta c n ch ng minh:

2n1 ln 2   n ln 2 n1 1 hay

n



Xét hàm s : f x( )lnx v i x2 ; 2n n ta có: 1 f x'( ) 1

x

 và f x( ) liên t c trên 2 ; 2n n 1

Áp d ng đ nh lý La – g – r ng  c 2 ; 2n n : 1

 (2)

n

 (đpcm)

Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng Ngu n : Hocmai.vn

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N

 Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng

 Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c

 H c m i lúc, m i n i

 Ti t ki m th i gian đi l i

 Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI

 Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t

 i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam

 Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên

 Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c

Là các khoá h c trang b toàn

b ki n th c c b n theo

ch ng trình sách giáo khoa

(l p 10, 11, 12) T p trung

vào m t s ki n th c tr ng

tâm c a kì thi THPT qu c gia

Là các khóa h c trang b toàn

di n ki n th c theo c u trúc c a

kì thi THPT qu c gia Phù h p

v i h c sinh c n ôn luy n bài

b n

Là các khóa h c t p trung vào

rèn ph ng pháp, luy n k

n ng tr c kì thi THPT qu c

gia cho các h c sinh đã tr i

qua quá trình ôn luy n t ng

th

Là nhóm các khóa h c t ng

ôn nh m t i u đi m s d a

trên h c l c t i th i đi m

tr c kì thi THPT qu c gia

1, 2 tháng