NỘI DUNG 3 ĐƯỜNG THẲNG

Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC... Viết phương trình đường thẳng  biết tam giác IABcó diện tích bằng 8 và cạnh AB là cạnh lớn nhất.. Viết phương trình đường thẳng AC biết nó

III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Yêu cầu

1) Nắm vững chắc tất cả các dạng phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa

độ

2) Đặc biệt lưu ý dạng thường sử dụng sau:

Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có VTPT n ( ; )A B là:

( ) : (  A x x 0) B y y(  0) 0  (A2 B2  0)

Ví dụ 1 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy viết phương trình các đường thẳng chứa

các cạnh của tam giác ABC biết A 1; 6  và hai đường trung tuyến nằm trên hai đường thẳng có phương trình là x  2y 1   0, 3x    y 2 0

Bài giải

 Do tọa độ điểm A không nghiệm đúng các phương trình đã cho nên ta có thể giả sử rằng:

Phương trình trung tuyến BM là: x  2y 1   0

Phương trình trung tuyến CN là: 3x    y 2 0

 Đặt B 2b 1; b  , do N là trung điểm AB nên : N b;b 6

2



N b;b 6 CN 3b b 6 2 0 b 2

Suy ra: B 3; 2 

 Đặt C c;3c  2, do M là trung điểm AC nên : M c 1 3c 4;

M c 1 3c 4; BM c 1 2.3c 4 1 0 c 1

)

; ( 0 0

0 x y M

)

; (x y M

n

x y

O

Suy ra: C  1; 5

 Vậy phương trình AB, BC, AC là: AB : 11xBC : 7x 4y 132y 1 00

AC : 2x y 8 0

  

   .

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M 6; 2  và đường tròn (C) có phương trình

  2 2

x 1   y 2   5 Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho AB  10

Bài giải

 Đường tròn (C) có tâm I 1; 2  và bán kính R  5

 Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB, ta có:

2

 Đường thẳng (d) đi qua M và có VTPT n  a; b có dạng:

a x   6 b y 2    0 ax  by 6a   2b  0

 Đường thẳng (d) thỏa đề bài khi:

  2 2

2



+ Với b   3a ta được  d : x  3y  0

+ Với b  3a ta được  d : x  3y 12   0.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đường phân giác trong

 AD : x   y 0, đường cao  CH : 2x    y 3 0, cạnh AC qua M 0; 1  , AB  2AM Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC

Bài giải

 Gọi N là điểm đối xứng của M qua AD Suy ra: N  tia AB

Mặt khác ta có: AN  AM  AB  2AN N là trung điểm của AB

 Do MN  AD nên phương trình MN là: x   y m1  0

M 0; 1   MN    1 m 1   0 m 1  1

Suy ra: MN : x    y 1 0

 Gọi K  MN AD, tọa độ K là nghiệm của hệ pt:

y 2

  



Vì K là trung điểm của MN nên:  N K M  

 Do AB  CH nên phương trình AB là: x  2y  m2  0

N 1; 0 AB    1 m 2   0 m 2  1

Suy ra:  AB : x  2y 1   0

 Vì A  AB ADnên tọa độ A là nghiệm của hệ pt: x 2y 1 x 1 A 1;1 

Suy ra:  AC : 2x    y 1 0

 Vì C  AC CH nên tọa độ C là nghiệm của hệ pt:

2



 Do N là trung điểm của AB  B N A  

 Phương trình cạnh BC:  BC : 2x  5y 11   0.

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh A 1; 2 Trung tuyến

CM : 5x  7y  20  0 và đường cao BH : 5x  2y 4   0 Viết phương trình các cạnh

AC và BC

Bài giải

 Do AC  BH nên phương trình AC là: 2x  5y   m 0

A 1; 2 AC    2 10 m    0 m   8

Suy ra:  AC : 2x  5y 8   0

 Do C  AC CM nên tọa độ C là nghiệm của hệ pt:

2x 5y 8 x 4 C 4; 0 

 Đặt B a; b , do B  BHnên: 5a  2b   4 0

 Vì M là trung điểm của AB nên tọa độ M là : M 1 a 2 b;

 Do M 1 a 2 b; CM 5. 1 a 7.2 b 20 0 5







 Tọa độ M là nghiệm của hệ: 5a 2b 4 a 2  

B 2;3

 Phương trình cạnh BC là:  BC : 3x  2y 12   0.

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) :x2 y2 4x 2y 15  0 Gọi

I là tâm đường tròn (C). Đường thẳng  đi qua M( 1 ;  3 ) cắt (C) tại hai điểm A

và B Viết phương trình đường thẳng  biết tam giác IABcó diện tích bằng 8 và

cạnh AB là cạnh lớn nhất

Bài giải

Đường tròn (C) có tâm I( 2 ;  1 ), bán kính R 2 5 Gọi H là trung điểm AB Đặt

).

5 2 0

Khi đó ta có





















) vì

ktm ( 2

4 8

20 8

2

IA AB x

x x

x AB

Pt đường thẳng qua M: a(x 1 ) b(y 3 )  0 (a2 b2  0 )

axby 3ba 0

b a

b a IH

AB I d

3

4 0

0 ) 4 3 ( 2

| 2

| 2 )

, (

2









* Với a 0 ta có pt  :y 3  0

* Với .

3

4

b

a Chọn b 3 ta có a 4 Suy ra pt  : 4x 3y 5  0

Vậy có hai đường thẳng  thỏa mãn là y 3  0 và 4x 3y 5  0 

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác cân ABC có đáyBC nằm trên đường thẳng d:2x 5y  1 0, cạnhABnằm trên đường thẳng d :12x y 230 Viết phương trình đường thẳng AC biết nó đi qua điểm M 3;1

Bài giải

VTPT củ a BC: n BC 2; 5  , VTPT củ a AB: n AB 12; 1  ,

VTPT củ a    2 2 

AC n  a b a b  Ta có 0

90

ABC ACB

 cosABC cosACB cosn AB,n BC  cosn BC,n CA

AB BC CA BC

AB BC CA BC





 a 12b 0  9a 8b 0

+ Vớ i a 12b 0 Chọn a 12,b  1 thì n CA 12; 1   AB AC( loại)

+ Vớ i 9a  8b 0 Chọn a 8, b 9 nên AC: 8x  3 9 y  1 0

Vậy AC: 8x 9y 33  0.

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn   2 2

T x y  x y  và hai điểm A 4;1 ,B3; 1   Gọi C D, là hai điểm thuộc  T sao choABCD là một hình bình hành Viết phương trình đường thẳng CD

Bài giải

Ta có   1 2 9 2 10

:

T x  x  

    nên  T có tâm 1 9;

2 2

I 

  bán kính 10

2

R

AB   AB , và  AB : 2x  y 7 0

Đườ ng thẳng CD AB CD : 2x  y m 0 ( điều kiê ̣n m  7)

Khoảng cách từ I đến CD là 2 7

2 5

m

m

5

1

m m

m



 thỏa mãn + m 6 pt CD : 2x  y 6 0

+ m 1 pt CD : 2x  y 1 0

Có hai đường thẳng thỏa mãn : 2x  y 6 0; 2x  y 1 0.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cóA 1; 4 , tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân giác trong của ADBcó phương trình x  y 2 0 , điểm M 4;1 thuộc cạnh AC Viết phương trình đường thẳng AB

K C

A

D

M M'

E

Gọi AI là phân giác trong của BAC

Ta có : AID ABCBAI

IADCADCAI

Mà BAI CAI,ABCCAD nên AIDIAD

 DAI cân tại D DEAI

PT đường thẳng AI là : x  y 5 0

Goị M’ là điểm đối xứng của M qua AI  PT đường thẳng MM’ : x  y 5 0

Gọi K AIMM' K(0;5) M’(4;9)

VTCP của đường thẳng AB là AM'  3;5 VTPT của đường thẳng AB là n5; 3  

Vậy PT đường thẳng AB là: 5x  1 3 y 4 0  5x 3y  7 0

Câu 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có

phương trình: x  y 1 0, phương trình đường cao kẻ từ B là: x 2y  2 0 Điểm M(2;1) thuộc đường cao kẻ từ C Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC

Gọi H là trực tâm  ABC Tìm được B(0;-1),cos 1 cos

10

HBC  HCB

Pt đthẳng HC có dạng: a(x-2)+b(y-1)=0(n ( ; )a b là VTPT và 2 2

0

a b  )

2

1

10

a b

   



2

2

a

b

b

  

       



, phương trình CH: -2x + y + 3 = 0

AB CH Tìm được pt AB:x+2y+2=0

Tìm được : ( ;2 5)

C  ,pt AC:6x+3y+1=0

Câu 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho hình vuông ABCD có M(1;2) là

trung điểm AB, N(-2;1) là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN=3NC Viết phương trình của đường thẳng CD

Ta có MN= 10, AN=3AC/4=3 2

4

a

MN2=AM2+AN2-2AM.AN.cos450=

2

5 8

a

 a=4

Gọi I(x;y) là trung điểm của CD.Ta có

4

, 2

4

IM

BD

IN

  



+Đường thẳng CD đi qua I(1;-2) có pt : y+2=0

+ Đường thẳng CD đi qua I(17/5;-6/5) có pt : 3x-4y-15=0

Câu 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho C 5; 4 , đường thẳng d x:  2y 11  0

đi qua A và song song với BC, đường phân giác trong AD có phương trình

3x  y 9 0 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC

Tìm được A 1;6 , AC x: 2y13 0 , BC x: 2y 3 0

Từ C kẻ đường thẳng vuông góc AD, cắt AD tại I , cắt AB tại J Khi đó tam giác

ACJ cân tại A

Phương trình đường thẳng CI x: 3y 7 0I  2;3 ,J 1;2, phương trình đường thẳng AB: 2x  y 4 0

B' A

B

D C

M

Câu 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh

AB: x - y - 2 = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y - 5 = 0 Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2) Viết phương trình cạnh BC

Tọa độ điểm A là nghiệm của HPT: - - 2 0

x y





Gọi B(b; b- 2)  AB, C(5- 2c; c)  AC

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên 3 5 2 9



    

2

b c





 

Hay B(5;3), C(1;2)

Một vectơ chỉ phương của cạnh BC là u BC   ( 4; 1)

Phương trình cạnh BC là: x - 4y + 7 = 0

Câu 6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho hình thang cân ABCD với hai đáy

AD, BC Biết B(2; 3) và ABBC, đường thẳng AC có phương trình x  y 1 0, điểm

 2; 1

M   nằm trên đường thẳng AD Viết phương trình đường thẳng CD

Vì ABCD là hình thang cân nên nội tiếp trong một đường tròn Mà BCCD nên AC là đường phân giác của góc BAD

Gọi B' là điểm đối xứng của B qua AC

Khi đó B' AD Gọi H là hình chiếu của B trên AC Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:



  Suy ra H 3; 2

Vì B’ đối xứng với B qua AC nên H là trung điểm của BB’ Do đó B' 4;1 

Đường thẳng AD đi qua M và nhận MB' làm vectơ chỉ phương nên có phương trình

x y  Vì A ACAD nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

  Do đó, A 1; 0

Ta có ABCB’ là hình bình hành nên ABB C' Do đó, C5; 4

Gọi d là đường trung trực của BC, suy ra d: 3x y 14  0

Gọi I  d AD, suy ra I là trung điểm của AD Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:

x y

x y



   

43 11

;

10 10

  Do đó, 38 11;

Vậy, đường thẳng CD đi qua C và nhận CD làm vectơ chỉ phương nên có phương trình 9x 13y 97  0 (Học sinh có thể giải theo cách khác)

Câu 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 đường tròn (C1) và (C2) lần lượt có phương trình là 2 2 2 2

(x 1)  (y 4)  10,x y  6x 6y 13  0 Viết phương trình đường thẳngqua M(2;5) cắt hai đường tròn (C), (C’) lần lượt tại A, B sao cho

25 12

I MA I MB

biết rằng phương trình đường thẳng có hệ số nguyên (I1,I2 lần lượt là tâm của (C1)

và (C2))

 (C1) có tâm I1(-1;4), bán kính R1 = 10

 (C1) có tâm I1(3;3), bán kính R2 = 5

 Dễ kiểm tra được: M là một giao điểm của (C1),(C2)

: (x 2)a b(y 5) 0, (a, b Z, a b 0)

 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của I1,I2 lên 

;

 Ta có:

I MA I MB

S  S  I H MA I K MB I H MH  I K MK

I H I M I H I I M I K

2

1

(loai do a

172

n

a

b



 



  



 

  













+ Với a 2

b   , chọn a = 2, b= -1   : 2x  y 1 0

+ Với 1

2

a

b  , chọn a = 1, b= 2   :x 2y 12  0

Có hai có hai đường thẳng thỏa điều kiện bài toán là 2x–y+1=0, x+2y–12 = 0

Câu 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng  :y  2 0 và các điểm

(0; 6), (4; 4)

A B Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng  sao cho tam giác ABC vuông tại B

Phương trình đường thẳng AB là: 0 6 6

 x y  x y 

C C t BA BC t

Câu 9 Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, CD = 2AB Gọi I là giao điểm của

hai đường chéo AC và BD Gọi M là điểm đối xứng của I qua A với 2 17

3 3

  Biết phương trình đường thẳng DC : x + y – 1= 0 và diện tích hình thang ABCD bằng 12 Viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hoành độ dương

I A

B M

H

Ta có : tam giác MDC vuông tại D

 (MD) : x – y + 5 = 0

 D(-2; 3)

MD = 8 2

3  HD = 3

4MD = 2 2

Gọi AB = a  SABCD = 3a.2 2

2 = 12  a = 2 2

 DC = 4 2

Gọi C(c; 1 –c )  DC2 = 2(c + 2 )2  c = 2 hay c = -6 (loại)  C(2; -1)

 B(3; 2)

 (BC): 3x – y – 7 = 0

Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2

1

(C) :x y  13 và

2

(C ) : (x 6) y  25 cắt nhau tại A(2; 3) Viết phương trình đường thẳng

đi qua A và lần lượt cắt (C1 ), (C ) 2 theo hai dây cung phân biệt có độ dài bằng nhau Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng cần tìm với (C1) và (C2) lần lượt là M và N

Gọi M x y( ; ) 2 2

1

    (1)

Vì A là trung điểm của MN nên N(4 x; 6 y)

2

Từ (1) và (2) ta có hệ 2 22 2

2 3

6 5

x y

x y

x

y

  



 





 





 M( 17

5



; 6

5 )

Đường thẳng cần tìm đi qua A và M có phương trình: x 3y  7 0

Câu 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với AB//CD có diện

tích bằng 14, ( 1; 0)

2

H  là trung điểm của cạnh BC và ( ; )1 1

4 2

I là trung điểm của AH Viết phương trình đường thẳng AB biết đỉnh D có hoành độ dương và D thuộc đường thẳng d: 5x  y 1 0

M

H

I

Vì I là trung điểm của AH nên A(1;1); Ta có: 13

2

AH  Phương trình AH là: 2x 3y  1 0.Gọi M  AHCD thì H là trung điểm của AM Suy ra: M(-2; -1) Giả sử D(a; 5a+1) (a>0) Ta có:

ABCD ADM

ABH MCH S S AH d D AH

13

d D AH

Hay 13a  2 28  a 2( ìv a 0) D(2;11)

Vì AB đi qua A(1;1) và có 1VTCP là 1 (1;3)

4MD AB có 1VTPT làn(3; 1)  nên AB

có pt là: 3x  y 2 0