module chia được tên miền dedekind

Mục tiêu:  Nghiên cứu các tính chất đặc trưng của module chia được trên miền Dedekind.. Tính mới và sáng tạo: Đề tài nghiên cứu về cấu trúc của module chia được trên miền Dedekind dựa v

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG

MODULE CHIA ĐƯỢC TÊN MIỀN DEDEKIND

MÃ SỐ: T2011 - 108

S 0 9

S 0 2

S KC 0 0 3 2 8 3

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG

MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN MIỀN DEDEKIND

Mã số: T2011 – 108

Chủ nhiệm đề tài: VÕ THỊ VÂN ANH

TP HCM, 11/2011

MỤC LỤC

MỤC LỤC 2

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3

MỞ ĐẦU 5

Chương 1: MIỀN DEDEKIND 7

Chương 2: MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN MIỀN DEDEKIND 20

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Tp HCM, ngày 25 tháng 11 năm 2011

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chung:

- Tên đề tài: MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN MIỀN DEDEKIND.

- Mã số: T2011 – 108

- Chủ nhiệm: Võ Thị Vân Anh

- Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh

- Thời gian thực hiện: từ tháng 11/2010 đến tháng 11/2011

2 Mục tiêu:

 Nghiên cứu các tính chất đặc trưng của module chia được trên miền Dedekind

 Nghiên cứu cấu trúc của module chia được trên miền Dedekind

3 Tính mới và sáng tạo:

Đề tài nghiên cứu về cấu trúc của module chia được trên miền Dedekind dựa vào tính chất của vành địa phương hóa của miền Dedekind Ngoài ra, đề tài còn so sánh mối quan hệ giữa module chia được và module nội xạ trên miền Dedekind với mối quan hệ giữa module chia được và nội xạ trên miền nguyên, miền các ideal chính

4 Kết quả nghiên cứu:

 Đưa ra các tính chất cơ bản của module chia được trên miền Dedekind

 Mô tả cấu trúc của module chia được trên miền Dedekind

 So sánh mối quan hệ giữa module chia được và module nội xạ trên miền Dedekind với mối quan hệ giữa module chia được và nội xạ trên miền nguyên, miền các ideal chính

5 Sản phẩm: Tài liệu tham khảo chuyên ngành

6 Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng:

Kết quả nghiên cứu là tài liệu tham khảo tốt cho các sinh viên đại học ngành Toán và các học viên sau đại học chuyên ngành Đại số

Trưởng Đơn vị

(ký, họ và tên, đóng dấu)

Chủ nhiệm đề tài

(ký, họ và tên)

1.2 Ngoài nước

Irving Kaplansky đã phát biểu định lý cho phép mô tả cấu trúc của module chia được trên miền Dedekind trong bài báo “Modules Over Dedekind Rings and Valuation Rings” (xem [6]) Tuy nhiên, I Kaplansky không chứng minh định lý này

Trong cuốn sách “An introduction to rings and modules with K-theory in view” (xem [4]), A Jon Berrick, M E Keating đã nghiên cứu về module hữu hạn sinh trên miền Dedekind và mô tả cấu trúc của module P-nguyên sơ hữu hạn sinh trên miền Dedekind Tuy nhiên, hai tác giả này vẫn chưa đưa ra kết quả cho trường hợp tổng quát module P-nguyên sơ

2 Tính cấp thiết của đề tài

Các miền Dedekind có thể xem là một mở rộng gần gũi nhất của miền các ideal chính, vì nó còn bảo lưu được nhiều tính chất rất “giống” miền các ideal chính Chẳng hạn, trong một miền Dedekind mỗi phần tử đều phân tích được duy nhất thành tích các ideal tối đại, mỗi ideal của miền Dedekind đều là ideal hữu hạn sinh Tuy nhiên, nó có rất nhiều tính chất khác lạ so với miền ideal chính; chẳng hạn: ideal của miền Dedekind nói chung không là ideal chính, module con của một module cyclic trên miền Dedekind có thể không là module cyclic, module con của module tự do trên miền Dedekind có thể không là module tự do…

Các kết quả nghiên cứu về module trên miền Dedekind là không nhiều, đồng thời các chứng minh trên nó với những kỹ thuật tương đối khác lạ so với trên miền ideal chính Chính vì vậy, chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài “Module chia được trên miền Dedekind”

Địa phương hóa miền Dedekind.

5 Phương pháp nghiên cứu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

5.1 Phương pháp nghiên cứu: thu thập tài liệu, nghiên cứu tài liệu

5.2 Đối tượng nghiên cứu: Module chia được

5.3 Phạm vi nghiên cứu: Miền Dedekind

6 Nội dung nghiên cứu

 Nghiên cứu tính chất của module chia được, mối liên hệ giữa module chia được và module nội xạ trên miền Dedekind

 Mô tả cấu trúc của một module chia được trên miền Dedekind

Chương 1: MIỀN DEDEKIND

1.1 Phần tử nguyên

1.1.1 Định nghĩa Cho A và B là những miền nguyên và A B

Phần tử b B được gọi là phần tử nguyên trên A nếu tồn tại đa thức đơn khởi

1.1.2 Định nghĩa Cho A và B là những miền nguyên, A B Nếu mọi phần tử

b B nguyên trên A thì ta nói B nguyên trên A

1.1.3 Mệnh đề Cho tháp các miền nguyên A B  Nếu B là A -module hữu hạn sinh thì B nguyên trên A

1.1.4 Hệ quả Cho A và B là những miền nguyên, A B Giả sử b B Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương

i) b nguyên trên A,

ii) A b   là A -module hữu hạn sinh,

iii) A b   nguyên trên A

1.1.5 Hệ quả Cho A và B là những miền nguyên, A B Giả sử b1, , b n B

Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương

i) b1, , b n nguyên trên A ,

ii) A b 1, , b n là A -module hữu hạn sinh,

iii) A b 1, , b n là nguyên trên A

1.1.6 Hệ quả Cho tháp các miền nguyên A B  Nếu b b1 2, B nguyên trên A

thì b b b b b b1 2 1,  2 1 2, cũng nguyên trên A Nói cách khác, tập hợp các phần tử của B nguyên trên A,

B

A  b B b nguyên trên A

là một vành con của B chứa A

1.1.7 Hệ quả Cho tháp các miền nguyên A B C   Nếu B nguyên trên A và

C nguyên trên B thì C là nguyên trên A

1.2 Bao đóng nguyên

1.2.1 Định nghĩa Cho A và B là những miền nguyên và A B

B

A  b B b A được gọi là bao đóng nguyên của A trong B.

B được gọi là nguyên trên A nếu A B B

A được gọi là đóng nguyên trong B nếu A B A

Trong phần này, ta giả sử R là vành giao hoán

1.3.1 Định nghĩa Cho I n  n 1, 2, là dãy vô hạn các ideal trong vành  R

Dãy  I n n được gọi là một dây chuyền tăng nếu

I    I  I 

Dãy  I n n được gọi là một dây chuyền tăng nghiêm ngặt nếu

1.3.3 Định nghĩa Một vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng

nếu mọi dây chuyền tăng các ideal của R đều dãy dừng Nói cách khác, R được gọi

là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng nếu R không chứa dây chuyền tăng nghiêm ngặt các ideal nào

1.3.4 Định nghĩa Một vành R được gọi là vành Noether nếu R thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng

1.3.5 Định nghĩa Một vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện tối đại nếu mọi tập

hợp không rỗng gồm các ideal của R đều chứa phần tử tối đại

1.3.6 Mệnh đề Cho R là một vành Khi đó các mệnh đề sau là tương đương i) R là vành Noether,

ii) R thỏa mãn điều kiện tối đại,

iii) Mọi ideal của R đều hữu hạn sinh.

1.3.9 Mệnh đề Cho R là vành Noether, S là tập con nhân của R Khi đó, vành các thương S R1 a a R s S,

n

i i i

1.4 Miền Dedekind

1.4.1 Định nghĩa Cho D là miền nguyên D được gọi là miền Dedekind nếu các

điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn

1.4.3 Định nghĩa Cho D là miền nguyên và Q D là trường các thương của   D.

Tập con A khác rỗng của Q D được gọi là ideal phân của   D nếu

i) a b A  , với mọi a b A,  ,

ii) ax A , với mọi a A x D ,  ,

iii) Tồn tại D, sao cho 0   A D

1.4.4 Chú ý Để tránh nhầm lẫn giữa ideal và ideal phân của D, ta còn gọi ideal của D là ideal nguyên

1.4.5 Mệnh đề (tính chất của ideal phân)

i) Nếu A là ideal nguyên của D thì A là ideal phân của D. Ngược lại, nếu A

là ideal phân của D và A D  thì A là ideal nguyên của D.

ii) Mỗi ideal phân A của D đều viết được dưới dạng A I ,



 với   D I D, 

iii) Nếu D là miền Noether thì mọi ideal phân của D đều là D -hữu hạn sinh, tức

là nếu A là ideal phân của D thì tồn tại 1, ,   n A và a1, , a n D sao cho x a 1 1   a n n  , với mọi x A

iv) Nếu A , B là ideal phân của D thì A B AB , cũng là ideal phân của D.

1.4.6 Định nghĩa Cho D là miền Dedekind, P là ideal nguyên tố của D

và Q D là trường các thương của   D. Ta định nghĩa P Q D P D   .Khi đó, P là ideal phân của D.

1.4.7 Bổ đề Cho D là miền Dedekind và P là ideal nguyên tố của D. Khi đó,

P D  và  P D

1.4.8 Bổ đề Cho D là vành Dedekind và P là ideal nguyên tố khác 0 của D. Khi

đó,  P P D 

1.4.9 Mệnh đề Nếu D là miền Dedekind thì mọi ideal nguyên khác 0 và khác D

của D đều phân tích được một cách duy nhất thành tích của một hoặc hữu hạn các ideal nguyên tố.

Như vậy, mọi ideal nguyên A của miền Dedekind D A0,A D  được phân tích một cách duy nhất 1

1k k m,

m

A P P với P là các ideal nguyên tố của i D

và k  i 1. Đây được gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của A

Xét A là ideal phân của D. Khi đó A  I , với I D ,  D Ta có sự phân

Vậy mọi ideal (ideal nguyên hoặc ideal phân) A khác 0 và khác D của D

đều được phân tích một cách duy nhất dưới dạng 1

1k k m,

m

A P P với k i là các sốnguyên khác 0 và P là các ideal nguyên tố khác nhau của i D.

1.4.10 Định nghĩa Cho A là ideal (nguyên hoặc phân) khác 0 của miền Dedekind

P viết ord A , được định nghĩa bởi P  ord A P  nếu k i P P i và ord A  P  0nếu P P i i,  1, m

Quy ước P0 D, với mọi P là ideal nguyên tố của D.

1.4.11 Mệnh đề (Tính chất của ord ) Cho P D là miền Dedekind, P là ideal nguyên tố, A , B là các ideal phân của D và   , Q D  Khi đó

i) ord AB P ord A ord B P  P 

A B khi và chỉ khi ord A ord B P  P , với mọi P là ideal nguyên tố của D.

ii) ord A B P  minord A ord B P , P  

iii) ord P  ord P  ord P  , trong đó ord P  ord P 

iv) ord P   minord P  ,ord P  

v) Nếu ord P  ord P  thì ord P   minord P  ,ord P  

1.4.12.Mệnh đề Cho A là ideal phân của miền Dedekind D, giả sử có sự phân tích 1

iii) A D khi và chỉ khi ord A  với mọi P  0 P là ideal nguyên tố.

iv) Nếu AB AC thì B C ( A B C là ideal (nguyên hoặc phân) của , , D)

1.4.13 Định nghĩa Cho A, B là ideal (nguyên hoặc phân) của D. A chia hết cho

B, viết A B , nếu tồn tại ideal nguyên C sao cho A BC Khi đó, ta gọi B là ước của A, viết B A|

1.4.14 Nhận xét Sự tồn tại của ideal nguyên C như trong định nghĩa 1.4.13 là duy nhất Do đó, ta ký hiệu C : A

B

 

1.4.15 Mệnh đề Cho A , B là ideal (nguyên hoặc phân) của D. Khi đó, các mệnh

đề sau là tương đương

1.4.17.Bổ đề Cho D là miền Dedekind, A là ideal (nguyên hoặc phân) của D và

B là ideal nguyên của D. Khi đó, tồn tại   sao cho A A  AB

1.4.18.Mệnh đề Mọi ideal (nguyên hoặc phân) của D đều được sinh bởi tối đa hai phần tử.

1.4.19.Định nghĩa Cho A, B là ideal (nguyên hoặc phân) của miền Dedekind D.

Ước chung lớn nhất của hai ideal A , B được định nghĩa là ideal  A B,thỏa đồng thời các điều kiện sau

i)  A B A và , |  A B B, | ,

ii) Nếu tồn tại ideal C sao cho C A C B| , | thì C A B| ,  

Bội chung nhỏ nhất của hai ideal A , B được định nghĩa là ideal A B,  thỏa đồng thời các điều kiện sau

i) A A B| ,  và B A B| , , 

ii) Nếu tồn tại ideal C sao cho A C B C thì ,| , | A B C |

1.4.20 Mệnh đề Cho A , B là hai ideal (nguyên hoặc phân) của miền Dedekind

với c i min , a b d i i , i max , a b i i

Sau này, nếu A B D  thì ta viết  A B , 1

1.4.21 Mệnh đề Cho A I J là các ideal (nguyên hoặc phân) của miền Dedekind , ,

Vì  I J  nên tồn tại , 1 a I b J ,  sao cho a b 1 Khi đó, với mọi

Tiếp theo, ta chỉ ra mọi ideal nguyên tố của S D1 đều là ideal tối đại

Lấy P là ideal nguyên tố của S D1 Xét I là ideal của S D1 (I S D1 ) sao cho P I Khi đó, f1 P là ideal nguyên tố của D (f D: S D1 là đồng cấu các D-module xác định bởi   ,

S D I  mâu thuẫn với cách lấy I. Vì thế, f1 I  f1 P Do đó P  I.

Vậy P là ideal tối đại của S D1

Cuối cùng, ta chứng minh S D1 đóng nguyên

Gọi Q D là trường các thương của   D. Khi đó, Q D cũng chính là trường  các thương của S D1 ( đơn cấu f D: S D1 xác định bởi   ,

a D Khi đó, tồn tại a a  , D P\ sao cho a a. x ord a P a.

Chứng minh Ta có ord a P    ord a P  0

Chứng minh Miền Dedekind D chỉ có một ideal nguyên tố duy nhất P PD Hơn P.nữa, mọi ideal khác 0, khácD của P D đều được phân tích một cách duy nhất P

thành tích các ideal nguyên tố Do đó, ta chứng minh mệnh đề bằng cách chứng minh ideal PD P là ideal chính

Lấy x P P \ 2 Khi đó, x PD1  P. Nếu a PD b  P a P b P ,   thì tồn tại

1.5 Một số kết quả trên vành giao hoán

1.5.1 Mệnh đề Cho S là tập con nhân của vành giao hoán có đơn vị R Cho N

là module con của R -module M. Khi đó, ta có đẳng cấu S R1 -module

  là module các thương của

module M theo tập con nhân S D P \ và  P :M P N P là đồng cấu được xác định bởi  , ,

1.5.3 Định nghĩa R-module M được gọi là module nội xạ nếu với mọi đơn cấu

:

j N  K và đồng cấu f N:  M luôn tồn tại đồng cấu g K:  M sao cho

f  g j

1.5.4 Mệnh đề (Tiêu chuẩn Baer) Cho R là vành giao hoán, có đơn vị và M là

R -module Khi đó M là module nội xạ nếu với mọi ideal I của R và với mọi đồng cấu f I:  M thì tồn tại đồng cấu g R:  M sao cho f  g j, trong đó

Chương 2: MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN MIỀN

DEDEKIND

Trong chương này, ta giả sử D là miền Dedekind

2.1 Cấp của phần tử trên miền Dedekind

2.1.1 Định nghĩa Cho D-module M.

Với mỗi x M , đặt O x a D a x  0  Khi đó O x là ideal của   D.

Chiều thuận của mệnh đề là hiển nhiên

Đảo lại, từ giả thiết ta có A O x   Mặt khác, vì ax   0, x O x  nên

iii) Nếu x x1 2, , , x n M có cấp lần lượt là A A1 2, , , A n thì M chứa phần tử

có cấp là A A1 2, , , A n (bội chung nhỏ nhất của A A1 2, , , A n ).

Nếu d x y   thì 0 da x y     0, a A Suy ra day   0, a A Do

đó, da B a A ,   Mặt khác, vì  A B  nên tồn tại , 1 a0 A b, 0  sao cho B

a   Suy ra b d d a  0b0da0 db0 B Tương tự, ta có d A Do

đó d d a  0 b0da0 db0 AB

Vậy O x y  AB (mệnh đề 2.1.2)

iii) Ta chứng minh cho trường hợp n  2. Ta có hai trường hợp

Trường hợp 1 Tồn tại i sao cho A  i 0

Với mỗi j cố định (j 1,s), không mất tính tổng quát, giả sử l j k j Khi

đó, với mỗi t 1,s và t  j, ta lấy cố định phần tử k t \

Đặt y y   1 y2  y s Theo (ii) ta cĩ y cĩ cấp 1 2

s

P P P  A A Trong trường hợp n tổng quát, ta chứng minh (iii) bằng quy nạp ■

2.1.4 Định nghĩa Cho D-module M và P là ideal nguyên tố của D.

Đặt M P x M x có cấp là lũy thừa của P Khi đĩ, M là module con P

của M và được gọi là thành phần P -nguyên sơ của M.

2.1.5 Mệnh đề Cho M là một D -module P -nguyên sơ Khi đĩ, tồn tại đẳng cấu

D -module M M P, với M là module các thương của P D -module M theo tập con nhân S D P \

Chứng minh Xét đơn cấu tự nhiên D-module :M M P Ta chứng minh  là tồn cấu bằng cách sử dụng mệnh đề 1.5.2

Lấy Q là ideal tối đại của D, xét đồng cấu  Q :M Q  M P Q

Nếu Q P thì tồn tại u P Q \ Lấy x  m t  M P Q, với m m M P

s

và t D Q \ Vì M là module P-nguyên sơ nên tồn tại số tự nhiên n sao cho

     Điều này cho ta  là toàn cấu P

Tóm lại, với mọi ideal tối đại Q của D, ta có  Q :M Q  M P Q là toàn cấu

Vì vậy, theo mệnh đề 1.5.2, :M M P cũng là toàn cấu ■

2.1.6 Chú ý Do đẳng cấu D -module trong mệnh đề 2.1.5 nên ta đồng nhất M P