Tập được sắp thứ tự và Bổ đề Zorn
Định nghĩa 1.1.1 Một quan hệ hai ngôi ≤ trên một tập L được gọi là một quan hệ thứ tự từng phần nếu thỏa các điều kiện dưới đây :
2 Với mọi a, b∈ L nếu a≤ b và b≤ a thì a=b.
3 Với mọi a, b, c ∈L nếu a≤b và b≤ c thì a≤ b.
Tập hợp L được coi là tập sắp thứ tự khi nó có một quan hệ thứ tự từng phần Hai phần tử a và b trong tập sắp thứ tự được gọi là so sánh được nếu a ≤ b hoặc b ≤ a.
2 Một quan hệ thứ tự trong đó mọi cặp phần tử đều so sánh được được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần.
3 Tập hợp L cùng quan hệ thứ tự ≤ được gọi là tập sắp thứ tự toàn phần nếu ≤ là quan hệ thứ tự toàn phần.
Một số khái niệm cơ bản về nhóm Abel
Định nghĩa 1.1.3 Cho L là một tập sắp thứ tự Khi đó
1 Phần tử a ∈ L được gọi là phần tử tối đại của L nếu với mọi phần tử x ∈L, nếu a≤x thì x= a.
2 Cho X là một tập con của L Một phần tử a ∈ L được gọi là một chặn trên của X nếu x≤ a với mọi x∈X.
Bổ đề Zorn khẳng định rằng nếu một tập hợp sắp thứ tự L không rỗng và mọi tập con sắp thứ tự toàn phần của nó đều có ít nhất một chặn trên thuộc L, thì L sẽ có ít nhất một phần tử tối đại.
1.2 Một số khái niệm cơ bản về nhóm Abel
Độc lập tuyến tính được định nghĩa trong một nhóm A (A ≠ ∅), nơi có một phép toán hai ngôi thỏa mãn các điều kiện sau: Thứ nhất, phép toán cộng phải thỏa tính kết hợp, tức là với mọi x, y, z ∈ A, ta có (x+y) + z = x + (y+z) Thứ hai, tồn tại phần tử 0 ∈ A sao cho với mọi x ∈ A, x + 0 = 0 + x = x Cuối cùng, với mọi x ∈ A, tồn tại phần tử đối -x ∈ A sao cho (−x) + x = x + (−x) = 0.
Nếu nhóm A thỏa mãn x+ y = y +x với mọi x, y ∈ A thì A được gọi là nhóm Abel.
Trong luận văn này, tất cả các nhóm được đề cập đều là nhóm Abel, vì vậy khi nhắc đến "nhóm", chúng ta hiểu là "nhóm Abel" Theo định nghĩa 1.2.2, một tập con G của một nhóm A được gọi là nhóm con của A nếu nó thỏa mãn hai điều kiện: thứ nhất, G không rỗng (G ≠ ∅), và thứ hai, với mọi phần tử a, b thuộc G, thì a + (-b) cũng thuộc G.
1.2 Một số khái niệm cơ bản về nhóm Abel 9
Nếu G là nhóm con của A, ký hiệu G≤ A Cấp của phần tử a trong nhóm A, được ký hiệu là o(a), là số nguyên dương n nhỏ nhất để na = 0 Nếu không tồn tại số nguyên dương n như vậy, thì o(a) bằng ∞.
1 Một hệ{a 1 , ,a k }các phần tử khác 0 của nhómAđược gọi làđộc lập tuyến tính nếu với mọi số nguyên n 1 , , n k , từ n 1 a 1 + +n k a k = 0 suy ra n 1 a 1 = =n k a k = 0.
2 Một hệ L được gọi là độc lập tuyến tính tối đại trong A nếu L thỏa hai điều kiện sau:
(a) L độc lập tuyến tính trong A.
(b) Với mọi a ∈A, a /∈L, hệ {L, a} không độc lập tuyến tính trong A với mọi phần tử a∈ A\L.
3 Phần tử a ∈ A được gọi là phụ thuộc vào tập con L của A nếu tồn tại n, n 1 , , n k ∈ Z và a 1 , , a k ∈L sao cho
Một tập con K củaA được gọi là phụ thuộc vào Lnếu mọi phần tử a ∈K phụ thuộc vào L.
1.2.2 Tổng trực tiếp và tích trực tiếp Định nghĩa 1.2.5 Cho một họ không rỗng các nhóm A i , i ∈ I Khi đó tập tích Descartes Y i∈I
A i cùng với phép toán định nghĩa
A i tạo thành một nhóm, gọi là tích trực tiếp các nhóm A i , i ∈I.
1.2 Một số khái niệm cơ bản về nhóm Abel 10 Định nghĩa 1.2.6 Cho một họ không rỗng các nhóm A i , i ∈ I Tập con của
A i gồm các bộ x = (x i ) i∈I , x i ∈ A i mà hầu hết trừ ra một số hữu hạn các thành phần x i đều bằng 0, là nhóm con trong Y i∈I
A i , gọi là tổng trực tiếp ngoài của các nhóm A i , i ∈ I và kí hiệu là M i∈I
A i Định nghĩa 1.2.7 Cho họ {A i } i∈I các nhóm con của nhóm G thỏa i) X i∈I
A i = G. ii) Với mọi j ∈ I ta có A j ∩ X i∈I,i6=j
A i = 0. thì G gọi là tổng trực tiếp trong của các nhóm con A i , i∈I.
Ghi chú 1.2.8 1 Hai cách định nghĩa tổng trực tiếp trong và tổng trực tiếp ngoài là tương đương nhau.
2 Để đơn giản khi ghi X i∈I a i trong nhóm A, ta hiểu là chỉ có một số hữu hạn các thành phần a i khác 0, còn lại đều bằng 0.
1 Mọi phần tử a ∈ A đều biểu diễn được duy nhất được dưới dạng a a i 1 + .+a i k với i 1 , , i k ∈I.
2 Cho X i∈I a i ∈ A với a i ∈A i , i∈ I Nếu X i∈I a i = 0 thì a i = 0 với mọi i ∈I.
Mệnh đề 1.2.10 Cho {a i |i ∈ I} độc lập tuyến tính thì ha i i i∈I = M i∈I ha i i.
1.2.3 Hạng của nhóm Abel Định nghĩa 1.2.11 Cho A là một nhóm.
Tập hợp L 0 = {a i } i∈I chứa các phần tử của A với bậc là ∞ và tối đại trong các tập con độc lập tuyến tính của A Lực lượng của tập hợp L 0 được ký hiệu là |L 0 | và được gọi là hạng không xoắn của A, ký hiệu là r 0 (A).
Các lớp nhóm Abel quan trọng
Tập hợp L = {a i } i∈I chứa các phần tử của A có bậc là ∞ hoặc lũy thừa của số nguyên tố, và L là tập con tối đại trong số các tập độc lập tuyến tính của A với tính chất này Hạng của A được ký hiệu là r(A) và được xác định bởi lực lượng |L|.
Bổ đề 1.2.12 Nếu nhóm A có hạng vô hạn thì |A|= r(A).
1.2.4 Đồng cấu nhóm Định nghĩa 1.2.13 Cho A và B là các nhóm Ta có các định nghĩa sau:
1 Một ánh xạ từA đếnB được gọi là một đồng cấu nhóm nếu f(x) +f(y) f(x+y) với mọi x, y ∈ A Nếu A =B thì f được gọi là tự đồng cấu của
2 Nếu một đồng cấu là đơn ánh thì nó được gọi là đơn cấu.
3 Nếu một đồng cấu là toàn ánh thì nó được gọi là toàn cấu.
4 Một đồng cấu được gọi là đẳng cấu nếu vừa là đơn cấu, vừa là toàn cấu.
Nếu có một đẳng cấu từ A đến B, ta nói A và B là đẳng cấu với nhau, ký hiệu A ∼= B Định lý 1.2.14 cho biết nếu đồng cấu nhóm f : A → B là toàn cấu thì A/Kerf ∼= B Định lý 1.2.15 nêu rằng cho H, K là các nhóm con của G, với K ≤ H.
1.3 Các lớp nhóm Abel quan trọng
Nhóm A được phân loại thành hai loại: nhóm xoắn và nhóm không xoắn Nhóm A được gọi là nhóm xoắn khi mọi phần tử của nó đều có cấp hữu hạn Ngược lại, nhóm A được xem là nhóm không xoắn nếu tất cả các phần tử, ngoại trừ phần tử 0, đều có cấp vô hạn.
1.3 Các lớp nhóm Abel quan trọng 12 Định nghĩa 1.3.2 Cho nhóm A, khi đó
1 Phần tử có cấp hữu hạn của A được gọi là phần tử xoắn của A.
2 Tập tất cả các phần tử xoắn của A được gọi là phần xoắn của A, kí hiệu là t(A).
3 Với mỗi số nguyên tố p, tập hợp t p (A) tất cả các phần tử có cấp là lũy thừa của p được gọi là p-thành phần của A.
Mệnh đề 1.3.3 Trong nhóm A, phần xoắn t(A) và các p-thành phần t p (A) củaA là nhóm xoắn và A/t(A) là nhóm không xoắn.
Mệnh đề 1.3.4 Cho A là nhóm xoắn Khi đó A = M p∈ P t p (A) với P là tập hợp các số nguyên tố.
Nhóm tự do được định nghĩa là một nhóm F, trong đó F là tổng trực tiếp của các nhóm cyclic vô hạn, tức là F = M i∈I ha i i với o(a i ) = ∞ cho mọi i ∈ I Hạng của nhóm tự do F tương ứng với lực lượng của tập hợp I.
Ghi chú 1.3.6 Hạng của F là |F|.
Mệnh đề 1.3.7 Nhóm F là nhóm tự do khi và chỉ khi F có hệ sinh độc lập tuyến tính trong đó mọi phần tử có bậc ∞.
Mệnh đề 1.3.8 Một nhóm tự do là nhóm không xoắn.
Mệnh đề 1.3.9 Nếu A là nhóm tự do vàf là đơn cấu thì f(A) là nhóm tự do.
1.3.3 Nhóm Abel chia được Định nghĩa 1.3.10 Phần tử a của nhómA được gọi là chia hết cho số nguyên dương n và ký hiệu n|a nếu tồn tại b ∈A thỏa a=nb.
1.3 Các lớp nhóm Abel quan trọng 13
Bổ đề 1.3.11 xác định rằng cho nhóm A và G là nhóm con của A, với mọi m thuộc Z và a thuộc A, m chia a + G trong nhóm thương A/G khi và chỉ khi tồn tại g thuộc G sao cho m chia a + g trong A Định nghĩa 1.3.12 nêu rõ rằng một nhóm A được gọi là chia được nếu mọi phần tử của nhóm này có thể được chia.
A đều chia hết cho mọi số nguyên dương.
Mệnh đề 1.3.13 Cho A là một nhóm Khi đó, các khẳng định sau tương đương:
2 mA =A với mọi số nguyên dương m.
3 pA =A, với mọi số nguyên tố p.
Nếu A là p-nhóm thì A chia được khi và chỉ khi pA=A.
Ngoài các kết quả trên, ta chứng minh thêm một số khẳng định liên quan đến nhóm chia được mà sẽ được sử dụng ở chương sau.
Bổ đề 1.3.14 Cho A là nhóm xoắn và chia được, G là nhóm con của A Khi đó A/G xoắn và chia được.
Bổ đề 1.3.15 Nếu A là nhóm cyclic bậc n và số nguyên tố p thỏa (p, n) = 1 thì p k A =A.
Mệnh đề 1.3.16 Nếu nhóm G chứa hạng tử trực tiếp là nhóm cyclic khác 0 thì G không chia được.
Một ví dụ quan trọng của nhóm xoắn chia được là nhóm tựa cyclic. Định nghĩa 1.3.17 Nhóm A được gọi là nhóm tựa cyclic kiểu p (ký hiệu
Z(p ∞ )) nếu A =ha 1 , a 2 , i và thỏa điều kiện pa 1 = 0, pa i+1 =a i , i = 1,2,
Nhận xét 1.3.18 1 Do tính chất pa 1 = 0, pa i+1 = pa i nên với mọi x ∈ A, tồn tại m∈Z và i ∈ N thỏa x= ma i
1.3 Các lớp nhóm Abel quan trọng 14
Nhóm A là một nhóm tựa cyclic kiểu p, và do đó A là một p-nhóm thỏa mãn tính chất pA = A, dẫn đến việc A là nhóm chia được theo mệnh đề 1.3.13 Theo định lý 1.3.19, một nhóm Abel sẽ là nhóm chia được nếu và chỉ nếu nó đẳng cấu với tổng trực tiếp các bản sao của Q và các nhóm tựa cyclic.
Nhóm A được xác định là nhóm bị chặn nếu tồn tại một số tự nhiên n ∈ N ∗ sao cho nA = 0 Theo định lý 1.3.21, nhóm bị chặn có thể được biểu diễn dưới dạng tổng trực tiếp của các nhóm cyclic.
Mệnh đề 1.3.22 Nhóm bị chặn thì không chia được.
HỆ p-ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH
Hệ p-độc lập tuyến tính
Định nghĩa 2.1.1 Cho nhóm A và số nguyên tố p Một tập hợp {a 1 , , a n } các phần tử khác 0 củaAđược gọi làp-độc lập tuyến tính nếu với mọi 0< s ∈Z, nếu m 1 a 1 + .+m n a n ∈ p s A với m i a i 6= 0, m i ∈Z (1) thì m i ∈p s Z (2)
Một tập con vô hạn của các phần tử được gọi là p-độc lập tuyến tính khi mọi tập hợp con hữu hạn của nó đều duy trì tính chất p-độc lập tuyến tính.
Mệnh đề 2.1.2 Trong nhóm A, mọi tập hợp p-độc lập tuyến tính thì cũng độc lập tuyến tính.
Tập hợp {a₁, , aₖ} là độc lập tuyến tính nếu như m₁a₁ + + mₖaₖ = 0 dẫn đến mᵢ = 0 với mọi số nguyên s Điều này có nghĩa là mᵢ thuộc pₛZ cho mọi số nguyên s, từ đó khẳng định rằng tập hợp a₁, , aₖ là độc lập tuyến tính.
Mệnh đề 2.1.3 Nếu phần tử a của một tập hợp p-độc lập tuyến tính trong nhómA có cấp hữu hạn thì o(a) là một lũy thừa của p.
2.1 Hệ p-độc lập tuyến tính 16
Giả sử có cấp là n và n = p^k * n_1 với (n_1, p) = 1, thì a = p^k * n_1 * a = 0 Khi đó, phần tử a_1 = p^k * a khác 0 tạo thành một nhóm con cyclic có cấp n_1 Do (n_1, p^(k+1)) = 1, áp dụng Bổ đề 1.3.15 cho thấy phần tử p^k * a chia hết cho p^(k+1) trong nhóm Điều này dẫn đến việc {a} không p-độc lập tuyến tính, mâu thuẫn với giả thuyết ban đầu.
Bổ đề 2.1.4 Nếu một tập con S của một nhóm A là p-độc lập tuyến tính, nhưng tậpS∪ {b}, 06=b ∈A, không là tập hợpp-độc lập tuyến tính thì tồn tại r, s∈ Z, 0≤ r < s, p r b 6= 0, a 1 , , a n ∈S, m 1 , , m n ∈Z thỏa p r b+m 1 a 1 + .+m n a n ∈p s A.
Vì S∪ {b} không phải là tập hợp p-độc lập tuyến tính, nên với a 1 , , a n ∈ A và s >1, tồn tại một tổ hợp tuyến tính các hệ số nguyên kb+m 1 a 1 + .+m n a n =pz ∈p s A sao cho không phải tất cả các số hạng đều chia hết cho p s Rõ ràng k không chia hết cho p s và kb 6= 0 Giả sử k =p r k 1 với 0 ≤ r < s và (k 1 , p) = 1, tồn tại hai số nguyên u, v thỏa mãn uk 1 +vp s−r = 1 Từ đó, ta có uk 1 = 1−vp s−r Nhân hai vế của đẳng thức (2.1) với u, ta được p r k 1 bu+ (um 1 )a 1 + .+ (um n )a n = p s zu, suy ra p r b+ (um 1 )a 1 + .+ (um n )a n =p s (uz+vb) ∈p s A và p r b6= 0 Theo Định lý 2.1.5, mỗi nhóm đều chứa tập p-độc lập tuyến tính tối đại với mọi số nguyên tố p.
Tập con của một tập p-độc lập tuyến tính cũng là p-độc lập tuyến tính, và tập rỗng cũng được xem là p-độc lập tuyến tính Hơn nữa, hợp của một dãy tăng dần các tập p-độc lập tuyến tính, với S1 ⊂ S2 ⊂ , cũng giữ tính chất p-độc lập tuyến tính.
Bổ đề 1.1.4 yêu cầu chứng minh một điều quan trọng Định nghĩa 2.1.6 cho biết rằng p-hạng của nhóm A được xác định là số lượng của tập hợp p-độc lập tuyến tính tối đa của nhóm A, được ký hiệu là r p (A).
Bổ đề 2.1.7 Nếu A là nhóm thỏa pA = 0 thì A là không gian véc-tơ trên trường Z p với phép nhân ngoài ma= ma.
2.1 Hệ p-độc lập tuyến tính 17
Lấya ∈A, m, n ∈Zthỏama= na Suy ra (m−n)a = 0 Suy ram−nãa = 0. Suy ra (m−n)a= 0 Do đó ma= na.
Nhóm A thỏa mãn các tính chất của phép toán cộng, bao gồm tính giao hoán, tính kết hợp, sự tồn tại của phần tử trung hòa và phần tử đối Đối với các phần tử a, b thuộc A và m, n thuộc Z p, các tính chất này được áp dụng.
• (m+n)a=m+nãa= (m+n)a =ma+na =ma+na.
• m(na) =m(na) =mna =mnãa=mãna.
Vậy A là không gian véc-tơ trên trường Z p Định lý 2.1.8 Lấy S ={a i |i ∈I}là tậpp-độc lập tuyến tính tối đại của nhóm
A và a i = a i +pA ∈ A/pA, i ∈ I thì tập các phần tử S = {a i |i ∈ I} là một cơ sở của không gian véc-tơ A/pAtrên trường Z p =Z/pZ.
Giả sử m₁a₁ + + mₙaₙ = 0 với aᵢ ∈ S, mᵢ = mᵢ + pZ ∈ Zₚ, mᵢ ∈ Z, i = 1, , n, thì m₁a₁ + + mₙaₙ ∈ pA Vì tập hợp {aᵢ} là tập hợp p-độc lập tuyến tính, nên tất cả hệ số mᵢ, i = 1, , n đều chia hết cho p Suy ra, m₁ = = mₙ = 0 Do đó, S = {aᵢ | i ∈ I} là tập hợp độc lập tuyến tính.
Lấy phần tử 0 6=b∈ A Vì S ={a i |i ∈I} là tập p-độc lập tuyến tính tối đại nên tập S ∪ {b} không phải là tập p-độc lập tuyến tính Do đó áp dụng Bổ đề
2.1.4 tồn tại hai số nguyên 0≤r < s thỏa p r b+m 1 a 1 + .+m n a n ∈p s A, m i ∈Z và p r b 6= 0 (2.2)
Ta chứng minh b = b+pA ∈ A/pA là một tổ hợp tuyến tính các véc-tơ của
S = {a_i | i ∈ I} được xây dựng thông qua quy nạp lý thuyết Với r = 0, ta có b + m_1 a_1 + + m_n a_n ∈ p_s A ⊂ pA khi s > 0 Do đó, b thuộc vào m_1 a_1 + + m_n a_n + pA Không mất tính tổng quát, có thể giả sử r > 0 là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn (2.2) và (2.2) đúng với mọi trường hợp.
0≤ t < r Khi đó từ (2.2) ta cóp r b+m 1 a 1 + .+m n a n =p s z với z ∈A suy ra m 1 a 1 + .+m n a n = p r (p s−r z−b) ∈p r A (2.3)
Nhóm con p-cơ sở của nhóm Abel
Mà tập {a i } là p-độc lập tuyến tính nên tất cả hệ số m i , i ∈I đều chia hết cho p r Suy ra m i =p r m 0 i với mọi i ∈I Đặt c=b+m 0 1 a 1 + .+m 0 n a n −p s−r z, từ
(2.3) suy ra p r c=p r (b+m 0 1 a 1 + .+m 0 n a n −p s−r z) = 0 Do tính nhỏ nhất của r nên o(c) =p r (2.4)
• TH1: c ∈S, suy ra b+m 0 1 a 1 + .+m 0 n a n −p s−r z ∈ S Do đób ∈S+pA.
• TH2: c /∈ S Vì S là tập p-độc lập tuyến tính tối đại nên S ∩ {b} không phải là tập p-độc lập tuyến tính, áp dụng Bổ đề 2.1.4 tồn tại hai số nguyên
Suy ra p t b+ (p t m 0 1 +k 1 )a 1 + +(p t m 0 n +k n )a n ∈p u A, với điều kiện p t khác 0 dẫn đến t < r Áp dụng giả thiết quy nạp, tồn tại các số nguyên l 1, , l n sao cho c = l 1 a 1 + + l n a n Đồng thời, từ (2.3) ta có c = m 0 1 a 1 + + m 0 n a n, do đó b = (l 1 - m 0 1 )a 1 + + (l n - m 0 n )a n là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong S.
Vậy tập các phần tử S = {a i |i ∈ I} là một cơ sở của không gian véc-tơ A/pA trên trường Z p =Z/pZ
Hệ quả 2.1.9 Cho A là nhóm và p là một số nguyên tố Số chiều của không gian véc-tơ A/pA trên trường Z p chính là p-hạng của nhóm A.
Nhóm con p-cơ sở của nhóm Abel được định nghĩa là một tập p-độc lập tuyến tính tối đại S của nhóm A Nhóm con được sinh bởi S được gọi là nhóm con p-cơ sở của A Nếu nhóm A không phải là nhóm p chia được và S là một p-cơ sở của A, thì với mọi số nguyên dương n, ta có thể xác định các phần tử a_i trong A/p^n A bằng cách cộng thêm p^n A vào a_i.
2.2 Nhóm con p-cơ sở của nhóm Abel 19
Lấy b ∈ ha i i \ X j6=i ha j i vớii ∈ I Khi đób =m i a i =m 1 a j 1 + .+m n a j n nênm i a i −m 1 a j 1 − m n a j n ∈ p n A VìS là tậpp-độc lập tuyến tính nênm i chia hết chop n Do đób= m i a i = 0.
Theo Định lý 2.1.8, tập hợp S = {a_i | i ∈ I} là một cơ sở của không gian véc-tơ A/pA trên trường Z_p Với phần tử b ∈ A, ta có thể biểu diễn b dưới dạng b = k_11 a_1 + k_12 a_2 + + k_1m a_m + pz, trong đó 0 ≤ k_1i < p, a_i ∈ S cho i = 1, , m, và z ∈ A Tương tự, từ Định lý 2.1.8, chúng ta cũng có z = k_21 a_1 + + k_2m a_m + pv.
Tương tự áp dụng Định lý 2.1.8 cho phần tử v và thay vào đẳng thức lần thứ n ta được b= (k 11 +k 21 p+ .+k n 1 p n−1 )a 1 + .+ (k 1m +k 2m p+ .+k n m p n−1 )a m +p n w.
Vì vậy b= ha 1 i+ã ã ã+ha m i ⊂ X i∈I ha i i= M i∈I ha i i.
Mặt khác lấy b ∈ M i∈I ha i i thì b = X i∈I m i a i ∈A/p n A Do đó
2.2 Nhóm con p-cơ sở của nhóm Abel 20
Hệ quả 2.2.3 Cho B là một nhóm con p-cơ sở của nhóm A được sinh bởi tập p-cơ sở {a i |i ∈I} Khi đó
2 A =B +p n A với mọi 0 < n∈Z. Định lý 2.2.4 Cho plà số nguyên tố Nếu một nhóm A không chứa nhóm tựa cyclic kiểu pvà r p (A) n có nghiệm khix i = 0, do đó x = (x i ) i∈ P, x i = 0 với mọi i > n hay x ∈ M p Z p Xét x = (x i ) i∈ P ∈ M p Z p với hầu hết các thành phần x i khác 0 Đặt n = Y i i với x i ≠ 0, ta có nx = n(x i ) i∈ P = (nx i ) i∈ P = 0, suy ra x ∈ t( Y p Z p ) Do đó, t( Y p Z p ) = M p Z p.
Ví dụ 3.1.6 Nhóm G= Y p Z p không phải là nhóm thương chia được.
Chứng minh: Áp dụng Bổ đề 1.2.12 ta có r(G) =r
Mặt khác áp dụng Bổ đề 3.1.5 thì t( Y p Z p ) = M p Z p Do đó r(G) =r 0 (G) +r(t(G))
3.1 Khái niệm và ví dụ về nhóm thương chia được 26 r(t(G)) =r
Từ (3.4),(3.5) suy ra r 0 (G) = r(G) Suy ra G có hạng không xoắn vô hạn nên theo Mệnh đề 3.1.4 thì G không phải là nhóm thương chia được
Trong ví dụ 3.1.7, tập hợp A được xác định là tất cả các nghiệm của phương trình có dạng nãx = mã 1, với m, n thuộc Z và n khác 0 Đặc biệt, phần tử 1 = (1, 1, ) thuộc Y p Z p, cho thấy rằng A là một nhóm thương có hạng 1, trong đó phần tử 1 là cơ sở của nhóm này.
Ta có A là nhóm con của Y p Z p Thật vậy lấy x 1 , x 2 ∈ A suy ra tồn tại n 1 , n 2 , m 1 , m 2 ∈ Z, n 1 , n 2 6= 0 thỏa n 1 ã x 1 = m 1 ã 1 , n 2 ã x 2 = m 2 ã 1 Khi đú n 1 n 2 (x 1 −x 2 ) =n 1 n 2 x 1 −n 1 n 2 x 2 =n 2 m 1 ã1−n 1 m 2 ã1= (n 2 m 1 −n 1 m 2 )ã1 nờn (x 1 −x 2 ) ∈A.
Xét F =h1i ⊂ A Dễ thấy F tự do có hạng 1.
Lấy a∈ A nờn tồn tại n, m∈Z, n 6= 0 thỏanãa =mã1 Khi đú n(a+F) na+F =mã1+F =F Vậy A/F xoắn.
Lấy a = (a 1 , a 2 , , a k , ) ∈ A và p = p k là số nguyên tố bất kỳ thì p|a.
Thật vậy xột a−a k ã1 = (a 1 −a k , a 2 −a k , , a k−1 −a k ,0, a k+1 −a k , ) Vỡ với mọi i 6= k thì (p i , p k ) = 1 nên áp dụng Bổ đề 1.3.15 ta có p k |a i −a k ∈ Z p i
Do đú a i −a k =p k ãb i trong Z p i Suy ra p k |(a−a k ã1) trong A, ỏp dụng Bổ đề
1.3.11 thìp k |a+F trong A/F Suy ra pA/F =A/F với mọi số nguyên tố pnên theo Mệnh đề 1.3.13 thì A/F chia được.
Hơn nữa vỡ cỏc phần tử xoắn là nghiệm của phương trỡnh cú dạngnãx= 0ã1 với n ∈Z nào đó nên nhóm A chứa tất cả các phần tử xoắn của Y p Z p Do đó
A chứa tất cả các phần tử xoắn của Y p Z p và Bổ đề 3.1.5, do đó tồn tại phần tử xoắn 0 6= a = (a i ) ∈ A, với a i ∈ Z p i Hầu hết các a i đều bằng 0, ngoại trừ một số hữu hạn các a i mà tại đó a i 6= 0 Điều này dẫn đến việc p i - a i thuộc Z p i, và từ đó suy ra p i - a thuộc A Kết quả là A không chứa nhóm con xoắn nào khác ngoài 0.
Vậy A là nhóm thương chia được hạng 1 và phần tử 1∈A là cơ sở.
Các tính chất quan trọng của nhóm thương chia được
3.2 Các tính chất quan trọng của nhóm thương chia được
Bổ đề 3.2.1 khẳng định rằng, với tập hợp các phần tử a1, a2, , an thuộc nhóm A và F = ⟨a1, a2, , an⟩, các điều kiện sau đây là tương đương: Thứ nhất, nhóm thương A/F là chia được Thứ hai, với mỗi số nguyên dương m, nhóm A/mA được sinh bởi các phần tử a1 = a1 + mA, , an = an + mA thuộc mA, hay A/mA = ⟨a1, , an⟩ Cuối cùng, với mỗi số nguyên tố p, nhóm A/pA được sinh bởi các phần tử a1 = a1 + pA, , an = an + pA thuộc pA, hay A/pA = ⟨a1, , an⟩.
Giả sử A/F chia được, cho m∈Z Lấy a∈A, vìA/F chia được nên tồn tại b ∈ A thỏa a+F = m(b+F) Do đó a−mb ∈ F và F = ha 1 , a 2 , , a n i nên a−mb=k 1 a 1 + .+k n a n Vì vậy a−(k 1 a 1 + .+k n a n ) =mb∈mA Suy ra a+mA=k 1 a 1 + .+k n a n
Vậy mọi phần tửa+mA của nhóm A/mA đều được biểu diến dưới dạng a=k 1 a 1 + .+k n a n nghĩa làA/mA =ha 1 , , a n i.
Với mỗi số nguyên dương m, nhóm A/mA được sinh bởi các phần tử a1 + mA, , an + mA thuộc mA, dẫn đến A/mA = Tương tự, với mỗi số nguyên tố p, nhóm A/pA được sinh bởi các phần tử a1 + pA, , an + pA thuộc pA, tạo thành A/pA = .
Bây giờ giả sử A/pA= ha 1 , , a n i với mọi p nguyên tố Lấy a ∈A, tồn tại các hệ số nguyên k 1 , , k n thỏa a=k 1 a 1 + .+k n a n Suy ra a−(k 1 a 1 + .+k n a n ) =pc∈ pA( với c ∈A).
Do đó a−pc=k 1 a 1 + .+k n a n ∈ F hayA/F =p(A/F) với mọi p nguyên tố.
3.2 Các tính chất quan trọng của nhóm thương chia được 28
Bổ đề 3.2.2 Nếu B là nhóm xoắn và T ≤ B thì t p (B/T) = (t(B) +T)/T hay với mọi phần tử b+T ∈t p (B/T) tồn tại b p ∈ t p (B) sao cho b+T =b p +T.
Cho b+T ∈ t p (B/T) Vì B xoắn nên B = M t q (B) nên đặt b = b p +b 0 với b p ∈t p (B), b 0 ∈ M q6=p t q (b) Ta chứng minh b 0 ∈T.
Vì (o(b 0 ), p) = 1 nênb 0 ∈ hb 0 i=hp s b 0 i ∈T Do đób+T =b p +b 0 +T = b p +T. Suy ra p m b+T =p m b p +T =T.
Vậy t p (B/T) bị chặn Suy ra t p (B/T) không chia được theo Mệnh đề 1.3.22.
Do đó không chứa p-nhóm tựa cyclic Định lý 3.2.3 Nếu A là nhóm thương chia được hạng n thì r p (A) ≤ n với mọi số nguyên tố p.
Lấya 1 , , a n là một cơ sở của nhóm thương chia đượcAvàF =ha 1 , , a n i. Khi đóA/F chia được Hơn nữaA/pAlà không gian vec-tơ trên trường Z p Theo
Bổ đề 3.2.1 chỉ ra rằng không gian vec-tơ A/pA trên trường Zp được sinh bởi n vec-tơ với mọi số nguyên tố p, từ đó suy ra rằng r_p(A) = dim Zp(A/pA) ≤ n Định lý 3.2.4 khẳng định rằng T là một nhóm con xoắn của nhóm thương chia được A.
Khi đó nhóm thương A/T là nhóm thương chia được và nhóm A/t(A) là nhóm thương chia được không xoắn.
Nhóm thương A là nhóm thương chia được, do đó tồn tại nhóm con F tự do của A sao cho A/F xoắn và chia được Chúng ta ký hiệu A = A/T Khi đó, thu hẹp của toàn cấu chính tắc f : A −→ A được xác định bởi phép ánh xạ a 7−→ a=a+T.
Các tính chất quan trọng của nhóm thương chia 29 trên nhóm con F cho thấy F là một đơn cấu Cụ thể, nếu a thuộc Kerf thì f(a) = a + T = 0, dẫn đến a thuộc T Do đó, a thuộc F ∩ T = 0, vì T là nhóm xoắn còn F là nhóm tự do không xoắn Điều này chứng tỏ rằng việc thu hẹp f trên nhóm con F tạo thành một đơn cấu, và do F là nhóm tự do, điều này càng khẳng định tính chất của nó.
Ánh xạ hợp gf: A −→ A/F, với a 7−→ a+F, là một toàn cấu Cụ thể, với a+F ∈ A/F, ta có gf(a) = g(f(a)) = g(a) a+F, chứng tỏ gf là một toàn cấu Nếu a ∈ Kergf, thì (gf)(a) = 0, suy ra a ∈ F hoặc a+T ∈ F +T, dẫn đến a−F ∈ T và a ∈ F +T Ngược lại, nếu a ∈ F +T, thì a+T ∈ F +T, từ đó suy ra a ∈ F và (gf)(a) = 0, cho thấy a ∈ Kergf.
Kergf =F +T Áp dụng định lý 1.2.14 cho toàn cấugf ta đượcA/F ∼=A/(F +T) Hơn nữa áp dụng định lý 1.2.15 cho F +T, F, A ta có A/(F +T) ∼= (A/F)/ (F +T)/F
VìA/F xoắn và chia được nên theo Bổ đề 1.3.14 ta có (A/F)/ (F +T)/F là xoắn và chia được
Giả sửA/T chứa nhóm conB/T xoắn chia được khác 0 Lấyb+T ∈ B/T Do
B/T xoắn tồn tại n ∈ N ∗ và thỏanb ∈ T, dẫn đến tồn tại m ∈ N ∗ với thỏamnb = 0 Điều này cho thấy b ∈ t(A), do đó B là nhóm xoắn Hơn nữa, vì A là nhóm thương chia được và không chứa tựa nhóm cyclic kiểu p, theo Định lý 3.2.3, ta có r p (A) hữu hạn Áp dụng Hệ quả 2.2.5, t p (A) bị chặn, và do B ⊂ A, suy ra t p (B) cũng bị chặn Kết luận rằng B/T không chia được, mâu thuẫn với giả thuyết, từ đó suy ra A/T không chứa nhóm con xoắn chia được khác 0.
VậyA là nhóm thương chia được Áp dụng Mệnh đề 1.3.3 ta cót(A) là nhóm con xoắn của A nên A/t(A) là nhóm thương chia được không xoắn
3.2 Các tính chất quan trọng của nhóm thương chia được 30 Định lý 3.2.5 Cho A là nhóm thương chia được hạng n Khi đó với mỗi số nguyên tố p ta có A= t p (A)⊕A 0 p và
1 t p (A) = C 1 ⊕ ã ã ã ⊕C m p là tổng trực tiếp hữu hạn cỏc p-nhúm cyclic với
2 A 0 p là nhóm thương chia được và t p (A 0 p ) = 0.
Theo Bổ đề 3.2.3, với nhóm thương A chia được hạng n, ta có r_p(A) ≤ n với mọi số nguyên tố p Điều này dẫn đến việc tất cả các p-thành phần của nhóm t(A) đều bị chặn, tức là tồn tại 0 ≤ s ∈ Z sao cho p^s t_p(A) = 0 Do đó, t_p(A) không thể chứa nhóm cyclic kiểu p Áp dụng Định lý 2.2.4 cho nhóm A, ta có A = t_p(A) ⊕ A_0^p.
1 t p (A) =C 1 ⊕ ã ã ã ⊕C m p là tổng trực tiếp hữu hạn của m p-nhúm cyclic.
Mặt kháct p (A) là nhóm con xoắn của nhóm thương chia được A nên theo Định lý 3.2.4 thì A/t p (A) là nhóm thương chia được Mà A = t p (A) ⊕ A 0 p suy ra
Nhóm A được gọi là tách được nếu nó có thể được biểu diễn dưới dạng tổng trực tiếp của một nhóm xoắn và một nhóm không xoắn Thêm vào đó, A 0 p = A/t p (A) cho thấy A 0 p là một nhóm thương chia được.
A =t(A)⊕B. Định lý 3.2.7 Nhóm thương chia được A là tách được nếu và chỉ nếu phần xoắn t(A) của A là hữu hạn.
3.2 Các tính chất quan trọng của nhóm thương chia được 31
Theo Định lý 2.2.4, mỗi phần tử của nhóm thương chia được A là hữu hạn Do đó, phần xoắn t(A) của nhóm thương chia được A cũng hữu hạn nếu số phần tử khác 0 của A là hữu hạn Nhóm t(A) được biểu diễn dưới dạng t(A) = t p 1 (A) ⊕ ⊕ t p s (A) là hữu hạn Áp dụng Định lý 2.2.4 và quy nạp theo s các phần tử khác 0, ta có kết luận cần thiết.
A =t p 1 (A)⊕ ã ã ã ⊕t p s (A)⊕B, với B là nhóm không xoắn Vì vậy A =t(A)⊕B tách được.
Giả sử t(A) là một không gian vô hạn và nhóm A tách được, ta có A = t(A) ⊕ B với B không xoắn Gọi a₁, a₂, , aₙ là cơ sở của nhúm thương chia được A, trong đó A/ha₁, a₂, , aₙi là xoắn và chia được Khi đó, ta có a₁ = t₁ + b₁, a₂ = t₂ + b₂, , aₙ = tₙ + bₙ với t₁, , tₙ thuộc t(A) có cấp tương ứng là m₁, , mₙ và b₁, , bₙ thuộc B Do t(A) vô hạn nên có vô số số nguyên tố p sao cho tₚ(A) ≠ 0, cho phép chọn một số nguyên tố p khác nhau với m₁, , mₙ.
Từ (3.6), ta suy ra rằng a1, , an thuộc M q6=p t q (A)⊕B, và đặt A0 = M q6=p t q (A)⊕B Do đó, F ha1, , an i ⊂ A0 Khi đó, A/F = tp(A)⊕A0/F = (tp(A)⊕F)/F ⊕(A0/F) Theo Định lý 3.2.5, tp(A) là tổng trực tiếp hữu hạn của nhóm cyclic Vì vậy, A/F chứa hạng tử trực tiếp là nhóm cyclic, dẫn đến A/F không phải là nhóm chia được theo Mệnh đề 1.3.16 Điều này tạo ra mâu thuẫn, do đó A không tách được.
Bổ đề 3.2.8 Cho G =A⊕B Khi đó G/pG ∼=A/pA⊕B/pB.
Chứng minh: f : G/pG −→ A/pA⊕B/pB g+pG 7−→ (a+pA;b+pB). với g =a+b, a∈ A, b∈ B (1) Biểu diến (1) của g là duy nhất vìG=A⊕B.
3.2 Các tính chất quan trọng của nhóm thương chia được 32
Lấy g 1 = a 1 +b 1 , g 2 = a 2 +b 2 Khi đó f (g 1 +pG) + (g 2 +pG) = f(g 1 + g 2 +pG) = (a 1 +a 2 +pA;b 1 +b 2 +pB) = (a 1 +pA;b 1 +pB) + (a 2 +pA;b 2 +pB) f(g 1 +pG) +f(g 2 +pG) Vậy f là đồng cấu.
Lấy g+pG ∈ G/pG thỏa f(g+pG) = 0 với g = a+b Ta có a+pA = pA và b+pB = pB Suy ra a ∈ pA ⊂ G và b ∈ pB ⊂ pG Do đó g = a+b ∈ pG.
Suy ra g+pG=pG Suy ra f là đơn cấu.
Lấy (a+pA;b+pB) ∈ A/pA⊕B/pB Khi đó f(a+b) = (a+pA;b+pB) nênf là toàn cấu.
Nếu f là đẳng cấu, thì G/pG tương đương với A/pA cộng B/pB Định lý 3.2.9 chỉ ra rằng, nếu A là nhóm thương chia được và p là số nguyên tố, thì nếu hạng của nhóm thương chia được A lớn hơn hạng của A, thì nhóm B = C⊕A là nhóm thương chia được với mọi nhóm cyclic C.
Lấy a 1, , a n là một cơ sở của nhóm thương chia được A với r = r p (A) và r < n Theo Bổ đề 3.2.1, không gian véc-tơ A/pA trên trường Z p được sinh bởi các phần tử 1 = a 1 + pA, , a n = a n + pA, và tập sinh này chứa một cơ sở của không gian véc-tơ, giả sử là a 1, , a r Tồn tại các số nguyên k 1, , k r sao cho a r+1 − (k 1 a 1 + + k r a r) ∈ pA Nếu c ∈ A và o(c) = p m là phần tử sinh của p-nhóm cyclic C = hci, thì b i = a i với i ≠ r + 1 và b r + 1 = c + a r + 1.
Giả sử tồn tại các hệ số nguyênk 1 , , k n thỏak 1 b 1 + .+k n b n = 0 Khi đó từ (3.9)k 1 a 1 + .+k n a n +k r+1 c = 0 Suy ra−k r+1 c=k 1 a 1 + .+k n a n ∈C∪A = 0. Suy ra −k + 1c = k 1 a 1 + .+k n a n = 0 Do a 1 , , a n độc lập tuyến tính nên k 1 a 1 = = k n a n = 0 Suy ra k 1 b 1 = = k r b r = k r+2 b r+2 = = k n b n = 0.
3.2 Các tính chất quan trọng của nhóm thương chia được 33
Hơn nữa k r+1 b r+1 = k r+1 (a r+1 +c) = k r+1 a r+1 +k r+1 c = 0 Ngoài ra o(b 1 ) =o(b n ) =∞ Vậy G là nhóm tự do hạng n.
Lấy b = x + a ∈ B với x ∈ C và a ∈ A, trong đó x ∈ C = hci dẫn đến p m x = 0 từ (3.8) A là nhóm thương chia được với a1, , an là cơ sở, do đó A/ha1, , ani là nhóm xoắn Điều này cho thấy với mọi a ∈ A, tồn tại s ∈ N sao cho a ∈ ha1, , ani, từ đó suy ra sa n.
X i=1 p m k i a i Hơn nữa từ (3.8), (3.9) ta có p m b r+1 =p m (c+a r+1 ) = p m c+p m a r+1 = p m a r+1 Suy ra p m sa n
X i=1 p m k i b i Khi đó p m sb= p m s(x+a) =p m sa∈ hb 1 , , b n i= G nên
Ta chứng minh nhóm B/G là chia được Vì G =hb 1 , , b n i nên từ 3.2.1 ta sẽ chứng minh B/qB =hb 1 +B, , b n +B với mọi số nguyên tố q.
Cho b ∈B =C⊕A Khi đó b =kc+a với k ∈Z, a∈A (3.10)
1 TH1: Xét số nguyên tố p Vì A là nhóm thương chia được nên từ (3.7) ta có tồn tại s 1 , , s r ∈ Z sao cho a+pA =s 1 a 1 + .+s r a r +pA Suy ra a= s 1 a 1 + .+s r a r +px với x∈A (3.11)