Bài toán cực trị hàm số

ABCvuông cân AB AC.

D u hi u tìm c c đ i c c ti u

D u hi u 1: Cho y f x  xác đ nh trên  a; b và y x' 0 0 thì

Ghi nh

+ Hoành đ x0 c a c c tr chính là nghi m c a ph ng trình y ' 0

+ Tung đ y0  f x 0

+ S c c tr c a hàm s y f x  b ng s l n y' đ i d u liên ti p b ng s nghi m phân bi t c a ph ng trình y ' 0

I C c tr hàm b c 3: yax3bx2cx d có y'  3ax2 2bx c

1) Hàm s có 2 c c tr (1 c c đ i 1 c c ti u) y'0 có 2 nghi m phân bi t hay  y' 0

2) Hàm s không có c c tr y'0 vô nghi m ho c có nghi m kép Hay  y' 0

Chú ý: A x A;y A , B x y B; B thì: ABx Bx A,y By A và   2 2

D ng toán 1 Tìm đ c t a đ A, B c th (hay y' là chính ph ng

Ví d 1 Cho hàm s y  x3 3x23m21x3m21 Tìm m đ hàm s có c c đ i, c c ti u và các

đi m c c tr cách đ u g c t a đ

H ng d n

T p xác đ nh: xR

x 0

x 0

y' x

y

0

+

c c đ i

c c ti u

+

0

+ ∞

∞

y

x y'

CT

C

CT

C

A

B

C C TR C A HÀM S TÀI LI U BÀI GI NG

Giáo viên: LÊ ANH TU N

 

Hàm s có đi m c c tr t ng đ ng v i    ' 0 9 9m2 1 9m2  0 m0

1 ' 0

1

A B

y

  

    

 v i x x A, B là hoành đ đi m c c tr A, B

Khi đó ta có t a đ 2 c c tr là: A1m; 2 m32 ; B 1  m m; 2 32

Theo đ bài ta có: OA OB OA2 OB2

0

2

m

m

 





(lo i m 0 do đi u ki n m 0)

Ví d 2 (B 2013) Cho hàm s y f x  2x3  3m 1x2  6mx tìm m đ hàm s có đi m c c tr

A, B sao cho AB vuông góc v i đ ng th ng d y:  x 2

H ng d n

T p xác đ nh xR

Đ o hàm y'  6x2  6m 1x 6m

       

' 0

1 1; 3 1

A A

y

    

2

AB d

m

m

 

          



Th a mãn đi u ki n nên k t lu n giá tr m c n tìm là 0

2

m m

 

  



D ng toán 2 Tìm đ c t a đ A, B không tìm đ c c th (hay y' không khai căn đ c)

 

 

2

    A B là đi m c c tr c a đ th hàm s )

G i x A,x B là 2 nghi m c a ph ng trình y ' 0 khi đó

+ Ph ng trình đ ng th ng đi qua đi m AB = ph n d c a phép chia  

  '

f x

f x

Chú ý: Mu n dùng cách này, ta ph i đi ch ng minh nhé !!

+ Tìm t a đ y A;y B b ng cách

- Thay x A,x Bvào   3 2

y f x ax bx  cx d

- Ho c b ng cách thay y A;y Bvào ph ng trình đ ng th ng AB

Ví d 1 (D 2012) Cho hàm s   2 3 2  2  2

2 3 1

y f x  x mx  m  x tìm m đ hàm s có đi m

c c tr có hoành đ x x1; 2 th a mãn x x1 22x1x21

H ng d n

CT

C

T p xác đ nh x R

Đ o hàm y'2x22mx2 3 m21

Đ hàm s có 2 c c tr thì ph ng trình y ' 0 ph i có 2 nghi m phân bi t hay:

2 13

2 13

m

m

 







 





(*)

G i x x1, 2 là 2 nghi m c a ph ng trình y ' 0 khi đó áp d ng đ nh lý Vi-et ta có: 1 2

2

1 2 1 3

  





 

0

2

3 3

m

m

 



 



(do (*) )

Ví d 2 Cho hàm s   3 2  

y f x x  x  m x  m tìm m đ hàm s có c c đ i, c c ti u t i A

và B sao cho SOAB 4

H ng d n

T p xác đ nh x R

' 3 6 3 1

Đ hàm s có 2 c c tr thì ph ng trình y ' 0 ph i có 2 nghi m phân bi t hay:

' 0 9m 0 m 0

     

G i x A,x B là 2 nghi m c a ph ng trình y ' 0 khi đó áp d ng đ nh lý Vi-et ta có: 2

1

A B

A B

  



Khi đó áp d ng cách tìm ph ng trình đ ng th ng đi qua đi m c c tr = ph n d c a phép chia

 

 

'

f x

f x ta có Ph ng trình đ ng th ng đi qua đi m c c tr là: y 2mx 2 2m

2 2

2 2

2

2 1 4

OAB

m







V y m 1 là giá tr c n tìm

Ví d 3 Cho hàm s   3 2

9

m

y f x x x mx

a Tìm m đ hàm s có c c đ i, c c ti u A và B, vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua đi m c c tr

b Tìm m đ đ ng th ng AB t o v i đ ng th ng d y : 1 m t góc b ng 600

c Tìm m đ c c đ i và c c ti u cách đ u đ ng th ng y x 1

d Tìm m đ c c đ i và c c ti u cách đ u tr c Oy

e Tìm m đ c c đ i và c c ti u cách đ u tr c Ox

f Tìm m đ c c đ i và c c ti u đ i x ng nhau qua :x y  1 0

H ng d n

T p xác đ nh x R

Đ o hàm y'3x22x m

Đ hàm s có 2 c c tr thì ph ng trình y ' 0 ph i có 2 nghi m phân bi t hay:

1 ' 0 1 3 0

3

      

a Khi đó ph ng trình đ ng th ng AB là ph n d c a phép chia  

3 9 '

f x

f x

          

Theo Vi et ta có: 1 1

1 1

2 3

3

m

x x

   







b Ta có, vector pháp tuy n c a đ ng th ng AB là 2 2, 1

3 9

AB

Vector pháp tuy n c a đ ng th ng d là n  d  0,1

Vì đ ng th ng AB t o v i đ ng th ng d y : 1 m t góc b ng 600 nên:

0

2 9 3

2 cos60

2

2 9 3

2

AB d

AB d

m

m

m











3

m 

c Vì A và B cách đ u y x 1 nên    

19 3 : B :

11 6

m

m

 



 



(lo i h t do 1

3

m  )

d Vì A và B cách đ u Oy nên     1 2

 

         do A khác B

1 2 0

3

x x    vô lý  không t n t i m

e Vì A và B cách đ u Ox nên

1 2

1 2

1 2

0

: Ox B : Ox

3

0

f Đ A và B đ i x ng nhau qua :x y  1 0 thì ph i th a mãn đ ng th i:

            

2

AB d

k k   m 

V y không t n t i m th a mãn yêu c u

II C c tr hàm trùng ph ng: yax4bx2c có y'4ax32bx

1) Hàm s có 3 c c tr y'0 có 3 nghi m phân bi t

Tính ch t c a 3 c c tr A,B,C :

1 ABC luôn cân t i A

2 ABCvuông cân AB AC 0

3 Kho ng cách t A đ n đ ng th ng BC: A B

A C

 

 





ABC

AB AC BC

R

5 ABCđ u

1 :

3

2 : AH

2





6

.AC cos

AC

tan

2

AB AB BAC

BC AH















  



Ví d 1 Cho hàm s 4   2 2

x  m x m tìm m đ hàm s có 3 c c tr t o thành 1 tam giác

a) tam giác này vuông

b) Tam giác có bán kính đ ng tròn ngo i ti p b ng 1

H ng d n

T p xác đ nh x R

Đ o hàm y'4x34m1x4x x 2 m 1

Đ hàm s có 3 c c tr thì ph ng trình y ' 0 ph i có 3 nghi m phân bi t, hay

 2 

4x x   m 1 0 có 2 nghi m phân bi t khác 0    m 1 0 m 1

1

x y

 

  

 có 3 c c tr là A 0;m2 ,B m 1; 2m1 ,C  m 1; 2m1

1; 1

1; 1

a) Đ tam giác ABC vuông t i A thì

1

m

m

 

            (do m  1 )

b) Ta có:

2

ABC

2

CT

A

2

C

CT

C

   

4 2

m

Đ th hàm c c tr có đúng c c tr y'0 có đúng nghi m duy nh t

Khi đó s có m t lo i bài toán là: tìm m đ hàm trùng ph ng có đúng c c tr

+) Hàm s ch có 1 c c đ i  hàm s có 1 c c tr và a 0

+) Hàm s ch có 1 c c ti u  hàm s có 1 c c tr và a 0

Ví d 2 Cho hàm s yx42m x2 21tìm m đ hàm s có 1 c c tr

( ng d n

T p xác đ nh x R

Đ o hàm y'4x34m x2 4x x 2m2

Hàm s có 1 c c tr y'0 có đúng nghi m duy nh t x2 m2 ph i vô nghi m ho c có nghi m kép x 0 m0

III Hàm s y ax b

cx d





 , hàm s này không có c c tr

D u hi u s 2 Cho y f x  xác đ nh trên  a b x; , 0 a b;

1, N u  

 00

" 0

y x

y x





 c c ti u là x0 Chú ý ng c l i không đúng

2, N u  

 00

" 0

y x

y x





 c c đ i là x0 Chú ý ng c l i không đúng

Ví d Cho hàm s  3

3

y x m  x tìm m đ hàm s đ t c c ti u t i x 0

H ng d n

T p xác đ nh x R

2

" 6





Hàm s đ t c c ti u t i x 0khi  

 

2 0

0

1

" 0 6 0

m

  



Th l i m  1 ta th y hàm s đ t c c ti u t i x 0 V y m  1 th a mãn

a > 0

CT

a < 0

CĐ

Giáo viên : Lê Anh Tu n Ngu n : Hocmai.vn