Bài tập về cực trị hàm số

Xác định m để hàm số có cực trị.. Xác định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.. Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm

Bài 1 Tìm cực trị của hàm số sau: y  x 3  3x 2  9x 5 

Hướng dẫn

 D R

  2  

Cho         



y' 0 3x 6x 9 0

x 3

Vậy: hàm số đạt cực đại tại ( 1;10) Hàm số đạt cực tiểu tại (3; 22)

y x m 1 x m 3m 2 x 5

a Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x  0 b Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x 1

c Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x  3

Hướng dẫn

a TXĐ: D R

y'x 2 m 1 x m  3m 2



y' 0 0 m 3m 2 0

m 2

y'  x    0, x R nên y' không đổi dấu qua x  0 tại x 0 hàm số không đạt cực trị

y'  x  2x, ta có bảng biến thiên của đồ thị hàm số y f x  là:

Vậy hàm số đạt cực trị tại x  0, khi m2

b TXĐ: D R

∞

+

0

∞

y

x

10

-22

+ ∞

0

∞

+

0

∞

y

x

5

11 3

+ ∞

0

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: LÊ ANH TUẤN

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hàm số

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -

y'x 2 m 1 x m  3m 2 và y''2x 2 m 1   

5 5 m

2 y'(1) 0 m 5m 5 0

5 5 m

2













Tương tự như phần b, ta thử lại giá trị m vào hàm số ta thấy m  5 5

2 thì hàm số đạt cực trị tại



x 1

c TXĐ: D R

y'x22 m 1 x m    23m 2

9 13 m

2 2 y'(3) 0 m 9m 17 0

9 13 m

2 2



 







 





Thử lại giá trị vào hàm số ta có m 9 13

2 2 để hàm số đạt cực tiểu tại x 3 

y x ax bx

cực đại tại điểm đó bằng 2

Hướng dẫn

* TXĐ: D = R

* y'    x 2 ax b 

Để hàm số đạt cực trị tại x1 và giá trị của hàm tại x = 1 là 2 thì

y'(1) 0

y(1) 2







1 a b 0

a 2 a 2 1

b 3 b 3

a b 2 2

Với    ab 32 ta có y’    x 2 2x 3  , ta lập bảng xét dấu y’ ta có

1



x là cực đại của hàm số

Vậy    ab 32 thỏa mãn điều kiện bài toán

Hướng dẫn

a TXĐ: D R

y'  4x 3  4m x 2

y'( 1) 0 4 4m 0

x 1

m 1 m 1

 

Thử lại    mm 11ta thấy    mm 11đều là giá trị cần tìm

∞

2

-26 3

+ + ∞

∞

0

y' x

y

+ ∞

1 -3

0

b TXĐ: D = R

y'  4x  4m x

Hàm số đạt cực đại tại x 2

y'( 2) 0 32 8m 0

m 2

 



Thử lại ta thấy không có giá trị nào thoả mãn điều kiện đề bài Vậy không tồn tại m





y

x 1

a Xác định m để hàm số có cực trị

b Xác định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

Hướng dẫn

a TXĐ:

 

2

x 2x m 3m 3

y'

x 1





x 1 (1) y' 0

x 2x m 3m 3 0 (2)

 



  



Hàm số có cực trị phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

2

' 0 m 3m 2 0

1 m 2

1 2.1 m 3m 3 0 m 3m 2 0



b Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

y' 0, x 1 x 2x m 3m 3 0, x 1

a 1 0

x 2x m 3m 3 0; x R m 3m 2 0 m ;1 2;

' 0

  

 



y x 2m 1 x 1 4m x 1 3

a Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu

b Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2 sao cho x1x2 4

c. Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2 sao cho 3x1x2 4

d Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn: 2  2 

e Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung

Hướng dẫn

a. TXĐ: D = R

2

y'x 2 2m 1 x 1 4m  

2

y' 0 x 2 2m 1 x 1 4m   0 (*)

Hàm số có cực đại và cực tiểu  phương (*) có hai nghiệm phân biệt

' 4m 0 m 0 m 0

Vậy m 0 hàm số có cực đại và cực tiểu 

b. TXĐ: D = R

y'x 2 2m 1 x 1 4m  

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hàm số

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 -

y' 0 x 2 2m 1 x 1 4m   0 (*)

* Hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2  phương (*) có hai nghiệm phân biệt

' 4m 0 m 0 m 0

* Với m 0 hàm số có hai điểm cực trị  x x1, 2

Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên      



 



1 2

x x 2 2m 1

x x 1 4m

x x 2x x 16 x x 4x x 16

2 2m 1 24 1 4m 16 2 m 1

16m 16

m 1

 



Vậy m1;m 1 thỏa mãn điều kiện bài toán

c. TXĐ: D = R

y'x 2 2m 1 x 1 4m  

y' 0 x 2 2m 1 x 1 4m   0 (*)

* Hàm số có hai điểm cực trị x ,x1 2  phương (*) có hai nghiệm phân biệt

' 4m 0 m 0 m 0

* Với m 0 hàm số có hai điểm cực trị  x x1, 2

Ta có x x1, 2là nghiệm của phương trình (*) nên      



 



1 2

x x 2 2m 1 (1)

x x 1 4m (2)

Theo đề ta có 3x1x2 4 (3)

4 2x 2 2m 1 x 3 2m (3)

4x 3x 1 4m (4)

x 4 3x 1 4m





4 3 2m 3 3 2m 1 4m







2

2

m (n) 12m 32m 16 0 3

m 2 (n)

Vậy m2; m2

d. TXĐ: D = R

2

y'x 2 2m 1 x 1 4m  

2

y' 0 x 2 2m 1 x 1 4m   0 (*)

* Hàm số có hai điểm cực trị x ,x1 2  phương (*) có hai nghiệm phân biệt

' 4m 0 m 0 m 0

* Với m 0 hàm số có hai điểm cực trị  x x1, 2

Ta có x x1, 2 là nghiệm của phương trình (*) nên      



 



1 2

x x 2 2m 1

x x 1 4m

Theo đề ta có 2 2    2     2   

x x 2 x x 2x x 2 2 2m 1 2 1 4m 2

16m 8m 0 0 m

2

Vậy 0m 1

2 thỏa mãn

e TXĐ: D = R

y'x22 2m 1 x 1 4m    

y' 0 x22 2m 1 x 1 4m     0 (*)

* Hàm số có hai điểm cực trị  phương (*) có hai nghiệm phân biệt

' 4m 0 m 0 m 0

* Với m 0 hàm số có hai điểm cực trị Gọi  x x1, 2 là hai điểm cực trị của hàm số

Ta có x x1, 2 là nghiệm của phương trình (*) nên      



 



1 2

x x 2 2m 1

x x 1 4m

Đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung

x x1 2   0 1 4m 0 m 1

4

Kết hợp với điều kiện m 0 ta được  m0; m 1

4

Vậy m0; m 1

4 thỏa TĐKBT

Bài 7 Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2

a Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị

b. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân

c. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác đều

d. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng 1

Hướng dẫn

a TXĐ: D = R

y'  4x 3  4mx

2

x 0 (1) y' 0 4x 4mx 0 (*) 4x x m 0

x m (2)

 



Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt

 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0



 2     

m 0 m 0

m 0

m 0

0 m

Vậy m > 0 thỏa mãn TĐKBT

b TXĐ: D = R

y'  4x 3  4mx

2

x 0 (1) y' 0 4x 4mx 0 (*) 4x x m 0

x m (2)

 





Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hàm số

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 -

* Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt

 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0



 2     

m 0 m 0

m 0

m 0

0 m

B( m ; 2 m ) , 2

C( m ; 2 m )

AB m m ; AC m m AB ACnên tam giác ABC cân tại A

Do đó tam giác ABC vuông cân   ABC vuông tại AAB AC 0(**)

AB m ; m ; AC m ; m



2 2 4 m 0 (l)

m m ( m ).( m ) 0 m m 0

m 1 (n)

Vậy m = 1 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân

c TXĐ: D = R

y'  4x 3  4mx

2

x 0 (1) y' 0 4x 4mx 0 (*) 4x x m 0

x m (2)

 



* Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt

 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0  2      

m 0 m 0

m 0

m 0

0 m

B( m ; 2 m ) , 2

C( m ; 2 m )



4 4

AB AC m m m m

AC BC m m 4m

3

m 0 (l)

m 3m 0 m m 3

m 3 (TM)

 





d TXĐ: D = R

y'  4x 3  4mx

2

x 0 (1) y' 0 4x 4mx 0 (*) 4x x m 0

x m (2)

 



* Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt

 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0



 2     

m 0 m 0

m 0

m 0

0 m

* Với m 0 , ta có  (2)  x m nên đồ thị hàm số có ba diểm cực trị

B( m ; 2 m ) , 2

C( m ; 2 m )

BC 2 m ; 02 m 1; 0  vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là n  0;1

Nên BC có phương trình: y m  2   2 0

d A; BC  m m

ABC

S BC.d(A; BC) 1 4m.m 1 m 1 m 1 (tm)

Vậy m = 1 thỏa ĐKBT



2

x mx 1 y

Hướng dẫn

TXĐ: D R\ m  

x m (1)

x 2mx m 1

x 2mx m 1 0 (2)

x m

  



Hàm số có cực trị phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

m R

1 0

m 2m.( m) m 1 0



Vậy với mọi m hàm số luôn có cực trị

Bài 9 Cho hàm só y  x 4  2(m 1)x  2  m Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại

Hướng dẫn

3

 2

x 0 (1)

x m 1 (2) y’ 0

Hàm số có 3 cực trị  phương trình y/ = 0 có hai nghiệm phân biệt

 2

m 1 0

m 1

0 m 1

B m 1; m – m – 1 ,    2 

m

C m 1; m – 1

m 4 m 1

OA OB    m 2 2 2 (thỏa m > -1)

y x (m 2)x (5m 4)x 3m 1

cho x1 2 x2

Hướng dẫn

* TXĐ: D = R

' 2( 2) 5 4

y x  m x m

* Hàm số có hai cực trị phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hàm số

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 8 -

* Khi m 0 hoặc  m9, hàm số đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1 2 x2

 

(x 2)(x 2) 0 x x 2x 2x 4 0 x x 2(x x ) 4 0

5m 4 2.( 2)(m 2) 4 0 9m 0 m 0 2

Đối chiếu (1) và (2) ta được m < 0 Vậy m < 0 thỏa điều kiện bài