PHÁT TRIỂN tư DUY GIẢI QUYẾT các bài TOÁN cực TRỊ hàm số CHO học SINH KHỐI 12

Trong dạy học môn Toán, phương pháp tư duy của học sinh phần lớn được hìnhthành và được rèn luyện trong quá trình giải toán, thông qua hoạt động này học sinh hoạtđộng tích cực để tìm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Mỗi một nội dung trong chương trình Toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọngtrong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh Trong quá trình giảng dạy, giáoviên phải đặt ra cái đich là giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phươngpháp giải toán, phát triển tư duy logic, từ đó tạo được thái độ và động cơ học tập đúngđắn Vì vậy việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với mỗi nội dung kiến thứcnhất định là đặc biệt quan trọng Nó vừa giúp người thầy có được sự định hướng trongviệc giảng dạy - tuỳ thuộc vào mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của họcsinh,vừa giúp người học dễ dàng tiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức, từ đó biết vậndụng vào làm bài thi đạt được kết quả cao nhất

Trong dạy học môn Toán, phương pháp tư duy của học sinh phần lớn được hìnhthành và được rèn luyện trong quá trình giải toán, thông qua hoạt động này học sinh hoạtđộng tích cực để tìm tòi, khám phá và chiếm lĩnh tri thức mới Trong tác phẩm nổi tiếng

“ Giải toán như thế nào”, G.Polya cho rằng: “Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từnhững con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toánđơn giản, có khi rất quen thuộc đối với chúng ta” Là giáo viên dạy Toán, việc hướng dẫn

và rèn luyện cho học sinh biết cách chuyển từ bài toán mới về những bài toán quenthuộc, bài toán “khó” trở về bài toán “dễ”, biết cách “xử lí” các tình huống có vấn đề vềcác tình huống đơn giản là điều rất cần thiết và thiết thực

Hơn nữa, bài toán về cực trị của hàm số trong đề thi của các kỳ thi Trung học phổthông Quốc gia của Bộ giáo dục và Đào tạo đã được đề cập, khai thác ở các mức độ khácnhau, các dạng tiếp cận khác nhau gây không ít khó khăn cho học sinh trong quá trìnhgiải quyết bài toán này.Đặc biệt là từ khi Bộ GD và ĐT áp dụng phương thức thi trắcnghiệm cho môn Toán, đòi hỏi học sinh không những phải có kiến thức sâu, rộng mà cònphải có các cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanhnhất

Với những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn đề tài:

“PHÁT TRIỂN TƯ DUY GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM SỐ CHO HỌC SINH KHỐI 12’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học

2020– 2021 Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là phát triển năng lực tư duy, quy lạ về quen thôngqua một lớp các bài toán về cực trị của hàm số nhằm rèn luyện các kỹ năng toán học vàđịnh hướng phát triển cho học sinh những năng lực sau:

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và năng lực giải quyết cáctình huống thực tiễn

- Năng lực sử dụng máy tính cầm tay casio.

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

- Kỹ năng vận dụng kiến thức về hàm số

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lớp các bài toán về cực trị của hàm số trongchương trình học lớp 12 để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực Toán họccủa học sinh

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giảitích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập giải tích- Nâng cao và Cơ bản, tài liệu phânphối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh, đềminh họa và đề thi THPT Quốc gia từ năm 2017-2021

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thựcnghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toán có vai trò quantrọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khả năng thích ứngkhi đứng trước một vấn đề cần giải quyết

Giúp học sinh có cái nhìn và phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụng vào thực tế giảitoán, giúp các em có sự tự tin khi gặp dạng toán này đồng thời giúp học sinh phát triển tưduy cũng như đam mê học toán

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

- Trong quá trình giảng dạy khả năng học phần cực trị hàm số của học sinh còn chưa tốt

Đa số học sinh khi gặp bài toán này thường làm sai trong khi đó trong các đề thi THPTcủa những năm gần đây xuất hiện rất nhiều câu cực trị hàm ẩn phức tạp Do vậy học sinhrất lo ngại và tỏ ra sợ hãi trước nhưng câu hỏi này Một trong cách cho bài toán như vậy

là yêu cầu học sinh làm việc với các hàm số ẩn, không cho định nghĩa hàm số đó mộtcách tường minh mà chỉ cho những tính chất đặc trưng, buộc người học phải giải bằngchính hiểu biết và năng lực bản thân

- Học sinh ít chú ý đến các tính chất cơ bản của cực trị, không nắm rõ mục tiêu, bản chấtcủa các phương pháp tính tích phân Đối với học sinh, nếu việc giải các bài tích cực vớicác hàm số được cho một cách tường minh là đã khó thì việc sử lý các bài cực trị hàm ẩnlại càng khó khăn rất nhiều lần Do đó các em mất nhiều thời gian làm bài mà hiệu quảlại không cao

- Việc học quá nhiều môn gây cho các em học sinh cảm giác chán nản, không tập trungtrong học tập Các hình thức dạy học truyền thống làm hạn chế sự phát triển kỹ năngsống toàn diện ở học sinh, học sinh giảm hứng thú và thiếu sự say mê trong học tập nóichung và môn Toán nói riêng.

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề

 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

Điểm cực đại , cực tiểu của hàm số gọi chung là điểm cực trị của hàm số

Như vậy : Điểm cực trị của hàm số phải là một điểm trong của tập hợp D x0D là điểm cực trị của hàm số ( )f x nếu qua x0 đạo hàm '( )f x đổi dấu.

Chú ý : Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số ( )f x thì:

1 Điểm ( ; ( ))x f x0 0 được gọi là điểm cực trị của đồ thịhàm số ( ) f x

2 y0 f x( )0 được gọi làgiá trị cực trị của hàm số ( còn gọi là cực trị của hàm số)

2.3.2 Hướng dẫn học sinh phương pháp nhận dạng bài tập và vận dụng giải các bài tập liên quan.

2.3.2.1.Dạng bài tập cơ bản để học sinh nhận biết và làm quen:

Dạng 1: Cho biết đồ thị (hoặc BBT) của hàm số ( ) f x Xác định số điểm cực trị của hàm số ( ) f x

Bài tập 1.1: (Đề thi THPTQG năm 2018-Mã đề 101)[1]

Cho hàm số y ax 3 bx2 cx d a b c d   có, , ,  đồ thị như hình vẽ bên

A 2 B 0.

Bài tập 1.2:(Đề minh họa THPTQG năm 2019)[1]

Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số đã cho có mấy điểm cực đại?

A 3 B.2 C 1 D 0

của hàm số ( ) f x

Bài tập 2.1: (Đề thi thử THPTQG trường THPT Phan Đình Phùng – Hà Tĩnh)[2]

Cho hàm số y f x  liên tục trên  Biết đồ thị của hàm số yf x  như hình vẽ

Bài tập 2.2:Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục

trên R Đồ thị của hàm số y f x  được cho bởi

hình vẽ bên.Số điểm cực trị của hàm số y f x  là

Nhận xét: Ở dạng 2 này học sinh thường mắc một số sai lầm:

- Lấy số điểm cực trị của hàm số yf x  là số điểm cực trị của hàm số yf x 

- Số điểm chung của đồ thị với trục Ox là số điểm cực trị của hàm số y f x 

Để tránh được những sai lầm, GV nhấn mạnh đối với dạng này ta chỉ cần tìm số giao điểm của đồ thị yf x'  và trục Ox , không kể các điểm mà đồ thị yf x'  tiếp xúc với trục Ox

Nếu yêu cầubài toán hỏi cụ thể điểm cực đại, cực tiểu thì GV hướng dẫn học sinh lập bảng xét dấu của hàm số y f x , từ đó đưa ra kết luận.

Bảng xét dấu đạo hàm được lập từ đồ thị y f x có thể dựa theo nguyên tắc: Trên khoảnga b đồ thị ;  y f x nằm phía trên trục Ox thì trên khoảng đó đạo hàm nhận giá trị dương và trên khoảng a b đồ thị ;  y f x 

nằm phía dưới trục Ox thì trên khoảng đó đạo hàm nhận giá trị âm Tại “điểm nối” giữa hai khoảng đó đạo hàm nhận giá trị bằng không.

Dạng 3: Cho biểu thức của '( )f x Xác định số điểm cực trị của hàm số ( ) f x

Bài tập 3.1: Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  x x 3 2  x2  5

Số điểm cựctrị của hàm số y f x  là:

A 4 B.3 C.5 D.2

Bài tập 3.2: Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  x x2 3 x2  5

Số điểm cựctrị của hàm số y f x  là:

A 4 B 3 C 5 D 2

Bài tập 3.3:Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x   x 1 3   x với mọi x R Hàm.

số y f x  đạt cực đại tại

A.x 0. B.x 1. C.x 2. D.x 3.

Bài tập 3.4: Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  (x 1)2x 3 x2  5

Số điểmcực đại của hàm số yf x  là:

Nhận xét: Ở dạng 3, giáo viên cần chú ý cho học sinh qua nghiệm kép của pt f x  0

thì f x  không đổi dấu; khi đó giá trị nghiệm kép không được gọi là điểm cực trị.

2.3.2.2 Giới thiệu bài toán với tư cách là một tình huống gợi vấn đề để cho vấn đề

trở nên hấp dẫn, tạo khả năng kích thích hoạt động tích cực của học sinh; từ đó

định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương pháp cho dạng toán.

Tình huống gợi vấn đề là tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ cần thiết và có khả năng vượt qua nhưng không phải là ngay tức khắc làm được nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán mà phải trải qua quá trình tích cực suy nghĩ, đòi hỏi tính sáng tạo để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có…

Bài toán đưa ra cần làm cho học sinh thấy rõ tuy chưa có ngay lời giải nhưng đã có một

số kiến thức, kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và các em học sinh tin rằng nếu tích cực suy nghĩ, vận động tích cực sáng tạo, tư duy thì sẽ giải quyết được.

Dạng 1: Cho đồ thị f x hoặc BBT của hàm số '  f x Xác định số điểm cực trị của ' 

hàm số f u x  

Từ dạng bài tập cho đồ thị f x Xác địnhsố điểm cực trị của hàm số '  yf x , GV

mở rộng vấn đề cho đồ thị f x hoặc BBT của hàm số '  f x Xác định số điểm cực trị' 

của hàm số f u x  

Bài tập1.1:(Đề thi thử THPTQG năm 2018-Trường THPT Triệu Sơn 1 – Thanh Hóa)[2].

Cho hàm sốyf x xác định và có đạo hàm yf x'  trên  Biết

đồ thị của hàm số yf x'  như hình vẽ dưới

Số điểm cực trị của hàm số g x  f 2x 1 là

x 

Chọn D.

( số điểm cực trị của hàm số yf 2x 1 bằng số điểmcực trị của y f x )

Bài tập 1.2:Cho hàm số f x có đồ thị   f x  của nó trên khoảng K như hình vẽ Khi

đó trên ,K hàm số y f x  2020 có bao nhiêu điểm cực trị?

1

y

( số điểm cực trị của hàm số y f x  2020 bằng số điểm cực trị của yf x )

Nhận xét:Với a0,b  ,số cực trị của các hàm số 0 y f x , y f ax b   và

y f ax b là bằng nhau nhưng mỗi hàm số đạt cực trị tại các giá trị x0 khác nhau

mà thôi Tuy nhiên, với cách suy luận này thì các em chưa thấy rõ được mấu chốt của vấn đề Ví dụ ta chỉ cần thay đổi yêu cầu của bài là xác định số điểm cực tiểu, cực đại của hàm số y f ax b  , y f ax b  ; nếu không hiểu rõ bản chất là các em chọn sai đáp án Để hiểu rõ hơn, GV giới thiệu cho học sinh một số bài tập sau:

Bài tập1.3:( Đề thi thử THPTQG năm 2019-Trường

THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh)[2]

Cho hàm số y f x  Đồ thị hàm số y f x  như hình

bên.Tìm số điểm cực trị của hàm số g x  f x 2  3 

2

00

3 1 nghiem kep0

2 nghiem kep

f x

x x

f x

x x

Xác định dấu của g x  2xf x 2 3

bằng cách chọn một khoảng bất kì, ví dụ khoảng

2;  lấy 3 x  ta có: g' 3  2.3 ' 6f   0

Nhận thấy các nghiệmx  và 1 x  là các nghiệm bội lẻ nên 0 g x qua nghiệm đổidấu; các nghiệm x  là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy 2 f x  tiếp xúcvới trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 nên qua nghiệm không đổi dấu.

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.

Bài tập 1.4:[3]Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên R và f  0 0, f  1 0,đồng thời đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ bên.Số điểm cực trị của hàm số g x  f 2 x là

20

f x

x x

Vậy hàm số g x có 3 điểm cực trị Chọn C. 

Qua các ví dụ trên, GV định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương pháp cho dạng toán 1:

+ Từ đồ thị hàm số f x hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị '  f x với trục ' 

hoành.

+ Tính đạo hàm của hàm số g x( ) f u x  

+ Dựa vào đồ thị của f x và biểu thức của '  g x để xét dấu '  g x ' 

Nhận xét:Việc rèn luyện giải toán có tính chất quan trọng, nhưng việc rèn luyện khả

năng tìm phương pháp, lời giải của bài toán là khâu có tính chất quyết định trong toàn

bộ công việc rèn luyện giải toán Do vậy, khi dạy học sinh giải toán, giáo viên ngoài việc cung cấp lời giải của bài toán, cần dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ, tư duy tìm ra con đường hợp lý để giải toán.Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, học sinh cần phải suy nghĩ để vận dụng những kiến thức nào, cần xem xét đến mối liên hệ nào để tìm ra lời giải của bài toán.

Dạng 2: Cho đồ thị f x hoặc BBT của hàm số '  f x Xác định số điểm cực trị của ' 

hàm số f u x   v x 

có đồ thị của hàm số f x  như hình vẽ Hàm số

   

y g x f x  có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị hàm số f x theophương Oy ' 

lên trên 4 đơn vị

Khi đó đồ thị hàm số g x cắt trục hoành tại 1 điểm, ta chọn đáp án A.' 

Cách 2: Số cực trị của hàm g x bằng tổng số nghiệm đơn và bội lẻ của phương trình  

Bài tập2.2: Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên R Đồ .

thị hàm số y f x'  như hình vẽ bên dưới.Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  2019 2020x2021 là

y g x f x  có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị hàm số f x theo phương' 

Oy xuống dưới 2020 đơn vị.

Khi đó đồ thị hàm số g x cắt trục hoành tại 1 điểm, ta chọn đáp án A.' 

Cách 2:

Ta có g x  f x'  2017 2018; g x   0 f x'  2019 2020

Dựa vào đồ thị hàm số yf x'  suy ra phương trình f x ' 2019 2020 có 1 nghiệmđơn duy nhất Suy ra hàm số g x có 1 điểm cực trị Chọn A. 

Nhận xét: Cách giải 1 chỉ phù hợp với v x là hàm số bậc nhất.Nếu   v x không phải  

hàm số bậc nhất thì ta nên phân tích bài toán theo cách 2.

Bài tập 2.3:[3]Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y f x  như hình vẽbên dưới.Hàm số    

A x  1 B x  0

C x  D 1 x  2

Phân tíchvà lựa chọn đáp án:

Ta có g x  f x   x2 2x 1; g x   0 f x   x 1 2

là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f x  và

Dựa vào bảng biến thiên tathấy g x đạt cực đại tại 

1

x  Chọn C.

Chú ý Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: trên khoảng  ;0 ta thấy đồ thị hàm

 

f x nằm phía trên đường y x 12 nên g x  mang dấu 

Nhận thấy các nghiệm x0; x1; x là các nghiệm đơn nên qua nghiệm 2 g x  đổidấu

Bài tập 2.4 : [3]Cho hàm số yf x  và đồ thị

hình bên là đồ thị của hàm f x Hỏi đồ thị của' 

hàm số g x  2f x   x 12

có tối đa baonhiêu điểm cực trị ?

A 9 B 11 C 8 D.7

1 0

∞

h(x) h'(x) x

Đồ thị hàm số g x có nhiều điểm cực trị nhất khi   h x có nhiều giao điểm với trục  

hoành nhất, vậy đồ thị hàm số h x cắt trục hoành tại nhiều nhất 6 điểm, suy ra đồ thị  

hàm số g x có tối đa 11 điểm cực trị.Chọn B. 

Qua định hướng tìm lời giải của các bài tập trên, GV cho học sinh chốt phương pháp cho dạng toán 2:

+ Từ đồ thị hàm số f x , tìm hoành độ giao điểm của đồ thị '  f x với trục ' 

hoành.

+ Tính đạo hàm của hàm số g x( )f u x   v x 

+ Dựa vào đồ thị của f x và biểu thức của '  g x để xét dấu '  g x ' 

Chú ý: * Nếu trong khoảng a b đồ thị hàm số ;  f x nằm trên đồ thị hàm số '( )'  v x thì g x'( )f x'( )v x'( ) 0,  x a b; 

* Nếu trong khoảng a b đồ thị hàm số ;  f x nằm dưới đồ thị hàm số '( )'  v x thì

 

g x f x v x   x a b

Dạng 3: Cho biểu thức f x Xác đinh số điểm cực trịcủa hàm số '  f u x  

Bài tập 3.1:Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x   x1 x 1 2 x 2  với mọi1

x R Hàm số g x  f x   x có bao nhiêu điểm cực trị ?

Vậy hàm số g x có 2 điểm cực trị Chọn B. 

Chú ý:Nếu bài toán hỏi điểm cực đại ( cực tiểu) của hàm số thì ta phải lập bảng xét dấu

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số g x đạt cực đại tại   x 2.Chọn B.

Bài tập 3.3:Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x x x2  1 x 42 với mọi x R.

Hàm số g x  f x 2 có bao nhiêu điểm cực trị ?

Vậy hàm số g x có   3 điểm cực tiểu là

24

x x x

Dạng 4: Cho đồ thị f x Xác định số điểm cực trị của hàm số   f u x  .

Bài4.1:[3]Cho hàm số y f x có đạo hàm trên R và có

đồ thị như hình bên Đồ thị của hàm số g x   f x 2 có

bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A.1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

B 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

C 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

D.3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu

Dựa vào BBT, ta kết luậng x có 2 điểm cực đại,   3 điểm cực tiểu.Chọn C.

Bài 4.2:Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên R và có

đồ thị như hình vẽ bên Hàm số g x   f f x   có bao

nhiêu điểm cực trị ?