Đề thi thử thptqg 2016 môn toán hocmai đề số 1

Biết tiếp tuyến qua giao điểm của đồ thị với trục tung.. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với hai mặt phẳng  và Oxy.. Lớp học đủ sáng nếu có ít nhất 4 bóng sáng.. T

HOCMAI.VN KÌ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016

ĐỀ THI THỬ LẦN 01

(Đề thi có 01 trang)

Môn thi: TOÁN

(Thời gian làm bài: 180 phút)

Câu 1 (1 điểm) Cho hàm số 3

yx  x , khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Câu 2 (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y 2x 1

x 1





 Biết tiếp tuyến qua giao điểm

của đồ thị với trục tung

Câu 3 (1 điểm)

a Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện z 3 4i 2

b Giải phương trình sau: 1

log (3x1) log (3x  3) 6

Câu 4 (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : x 1;x e y; 0; y lnx 1

x

Câu 5 (1 điểm).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2x y 2z 1 0      và đường thẳng d :x 1 y 1 z



 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với hai mặt phẳng ( )

và Oxy

Câu 6 (1 điểm)

cos x6cosx6cos sinx x 1 0 trên đoạn  0;

b Trong 1 lớp học có 6 bóng đèn, năm bóng có xác suất bị cháy là 1

4 Lớp học đủ sáng nếu có ít nhất

4 bóng sáng Tìm xác suất để lớp học đủ ánh sáng

Câu 7 ( 1 điểm). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA’ = a Gọi I

là giao điểm của AB’ và A’B Tính thể tích của khối tứ diện ACA’B’ và khoảng cách giữa hai đường thằng AB và CI

Câu 8 (1 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có 45

2

ABCD

S  , đáy lớn

CD nằm trên đường thẳng x3y 3 0 Biết 2 đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại (2;3)I

Viết phương trình cạnh BC, biết điểm C có hoành độ dương

Câu 9 (1 điểm) Giải phương trình 3   3

2 3 2 1 3 7 6



Câu 10 (1 điểm) Cho ,x y0 thoả mãn 1 1 1 3

x y xy  Tìm giá lớn nhất của:

HOCMAI.VN KÌ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

(Thời gian làm bài: 180 phút) (Đáp án - Thang điểm gồm có 07 trang)

Câu 1

(2 điểm)

Cho hàm số yx33x2, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Tập xác định là D = R

Đạo hàm 2

' 3x 3

y  

1

x

x







0.25

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  , 1;1,, nghịch biến trên 1,1

Giới hạn hàm số:

  

  

0.25

Bảng biến thiên

0.25

Đồ thị hàm số:

0.25

2

2

4

Câu 2

(1 điểm)

Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y 2x 1

x 1





 Biết tiếp tuyến qua giao điểm của đồ thị với

trục tung

Ta có giao của đồ thị với trục tung là: I 0, 1  

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm có hoành độ x0 có dạng:

0 0

2x 1 3

x 1

x 1







0.5

Tiếp tuyến đi qua điểm I 0, 1  nên:

0 0

2x 1 3

x 1







Từ đây ta có tương ứng tiếp tuyến là:    y 3x 1

0.5

Câu 3

(1 điểm)

a Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện:

3 4 2

z  i 

Gọi M a b biểu thị số phức  ; z a bi a, , bR

Ta có z 3 4i   a 3 b 4i

z  i   a  b 

0.25

  2 2

Do đó tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z trong mặt phẳng Oxy là đường tròn tâm

(3; 4)

I  và bán kính R2

0.25

b Giải phương trình sau: 1

log (3x1) log (3x  3) 6 ĐK:

3

0

3 1 0

log 2

3 1 1

x x

x x





1 3

2

1 log (3 1) log (3 3) 6

log (3 1) 1 log (3 1) 6

3 log (3 1) ( 1) 6

2 28

log 27 log 10



 





 









t x

x

0.5

Câu 4

(1 điểm)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : x 1;x e y; 0; y lnx 1

x

Gọi S là diện tích cần xác định, ta có:

1

ln 1

e

x

x

Bởi   ln ln

e

Đặt

ln

2

dx

u x

du x dx

dv

x

Khi đó:

1

2

e

x

0.5

Câu 5

(1 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2x y 2z 1 0      và đường thẳng

y 1

d :





 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với hai mặt phẳng ( )  và

Oxy

Gọi Ilà tâm mặt cầu (S) cần tìm, vì I d I t 1; 2t 1; 2t    

Theo giả thiết mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng ( ) và Oxy nên I cách đều hai mặt phẳng

này, do đó:

d I,(O xy) d I,( )

2t

3

4 1 4

2 4t

5

 

  



0.5

Do đó ta có 2 điểm I là:

+) t  1 I 0; 1; 2  

Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn đề bài:

• Mặt cầu ( )S có tâm 1 I1(0; 1; 2) , bán kính R1 z  2

1

S : x  (y 1)    (z 2)  4

•Mặt cầu (S2) có tâm I2 6 7, , 2

5 5 5

 , bán kính 2

2

5

 

(S):

         

0.5

Câu 6

(1 điểm)

cos x6cosx6cos sinx x 1 0 trên đoạn  0;

Phương trình cos2x6cosx6cos sinx 2x 1 0

2

6 cos cos 1 0 (2 cos 1)(3cos 2 cos 1) 0

0.25

cos 1

2

x

2 , 

3

Như vậy nghiệm của PT trên đoạn  0; là:

3



0.25

b Trong 1 lớp học có 6 bóng đèn, năm bóng có xác suất bị cháy là 1

4 Lớp học đủ sáng nếu có ít nhất 4 bóng sáng Tìm xác suất để lớp học đủ ánh sáng

Ta đi tìm xác xuất để lớp học không đủ sáng:

+ Xác suất 3 bóng cháy :

3 3 5

1

 

 

+ Xác suất 4 bóng cháy :

4 4 5

1

 

 

 

+ Xác xuất 5 bóng đều cháy:

5 5 5

1

 

 

 

0.25

Vậy xác suất để lớp học không đủ sáng là :

C C C

p   

Do đó xác suất để lớp học đủ sáng là : 2 1 1 845

1024

p  p 

0.25

Câu 7

(1 điểm)

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA’ = a Gọi I là giao điểm của AB’ và A’B Tính thể tích của khối tứ diện ACA’B’ và khoảng cách giữa hai đường thằng AB

và CI

Gọi V là thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ ta có:

1 2

V V  V

'.

0.5

Gọi E là trung điểm của AB => CE  AB (1)

IE là đường trung bình của tam giác ABB’=> IE // BB’

Mà BB’ AB => IE AB (2)

Từ (1) và (2) => AB (CIE)

Trong mặt phẳng (CIE kẻ EK) IC

=> EK là đoạn vuông góc chung của AB và IC Suy ra: (d AB IC, )IK

Ta có: 3; 1AA'=

EC EI

Xét tam giác vuông CEI có:

3

a EK

EK  EI EC  a  a a  a  a  

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và IC bằng 3

4

a

0.5

Câu 8

(1 điểm)

Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có 45

2

ABCD

S  , đáy lớn CD nằm trên đường thẳng x3y 3 0 Biết 2 đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại (2;3)I Viết

phương trình cạnh BC, biết điểm C có hoành độ dương

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB

Do ACBD =>Tam giác AIB và CID là 2 tam giác vuông

cân tại I =>INNANB IM, MCMD

+ dI CD,   10CD2 10

+NI  x AB2x

0.5

I

A'

B'

C'

C

B A

H

E K

    

  2

45 10

2

*

ABCD

AB CD MN S

x

IN IB x

IM ID



+ MN qua I vuông góc với CD => MN: 3x  y 9 0

 Toạ độ M là nghiệm của hệ: 3 9 0  3; 0

x y

x y

   



  

+ PT đường tròn tâm M bán kính MI:    2 2

C x y 

+ C, D là giao điểm của đường tròn C với đường DC

 

0; 1

6;

x y

D

C













   (do x C 0)

+ Từ (*)DI 2IBB 3,5 =>PT đường thẳng qua B, C là : 4x3y270

0.5

Câu 9

(1 điểm)

Giải phương trình 3   3

2 3 2 1 3 7 6

Điều kiện 2

3

x

x



Đặt

3

2

3 2,

3

7 6





  



Khi đó ta có hệ phương trình:  

 

3 2

2 3 1

2 3 2

b

a b a

a b









0.5

2

2

b a b

a b a b a b

b a a







+) Với a b 3 2

+) Với b 2a, ta có 2  3 3 2  

2a 2a 3 8a 2a 3 0 *

Vì a0 nên áp dụng Cosi cho 3 số a a3; 3;1 ta có:

a a   a  a   a  a   a

Từ đây suy ra (*) vô nghiệm

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là: x1

0.5

N

I

A

B

D

C M

Nguồn: Hocmai.vn

Câu 10

(1 điểm)

Cho ,x y0 thoả mãn 1 1 1 3

x y xy Tìm giá lớn nhất của:

P

y y y x x x x y

Đặt a x y b, xya b, 0;

3

2

a 4b 3b1 4b 9b1 b   1 0 b 1

2 2

P

2 2

1

xy x y x y xy x y xy

  

2

1

ab a b a b

 

2

3



b



0.5

Xét ( ) 5 12, 1

t t

5 1

4 4

t



Vậy Max P1 dấu “=” xảy ra tại 1,1 1 1 3 x y 1

x y xy

0.5