BÀI TẬP TÍCH PHÂN BỘI1 Hãy cho biết các tích phân sau dùng để tính thể tích của vật thể nào, hãy vẽ vật thể đó trong không gian 3 chiều.. 2 Tính tích phân lặp sau đây và vẽ hình miền lấy
Trang 1BÀI TẬP TÍCH PHÂN BỘI
1 Hãy cho biết các tích phân sau dùng để tính thể tích của vật thể nào, hãy vẽ vật thể đó trong không gian 3 chiều.
1 R02dxR012xdy
2 R−11 dxR
√ 1−x 2
−√1−x 22dy
3 RR
D
(1 + x2+ y2)dxdy, trong đó D là hình tròn x2+ y2 ≤ 1
4 RR
D
4dxdy, trong đó D là tam giác OAB, O(0, 0), A(0, 2), B(1, 1)
5 RR
D
(x2+ 1)dxdy, trong đó D là hình chữ nhật −1 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 4
2 Tính tích phân lặp sau đây và vẽ hình miền lấy tích phân.
1 R−12 dxR−22 (ex+y − 2x) dy
2 R−12 dxR−22 (xy2− 2x) dy
3 R02dxR
√ 2x
√ 2x−x 2(x − 1 + y) dy
4 R−10 dxR
√ 1−x 2
0 (x − y) dy +R01dxR01−x(x − y) dy
5 R−3−1dxR
√ 2x+6
−√2x+6xydy +R−15 dxR
√ 2x+6 x−1 xydy
6 R−11 dxRx2−x2 2dy
7 R π2
− π
2
dxRcos x 0
y p1 − y2dy
3 Tính các tích phân kép sau
1 RR
D
x2
y2dxdy, D giới hạn bởi y = 1
x, y = x, x = 2.
2 RR
D
1 2
rx
y, với D : xy = 1, x = y, x = 9y, x ≥ 0.
3 RR
D
ydxdy, G giới hạn bởi y = x2+ 2x, y = x
2
2 , y = 1 +
x
2, x ≥ 0.
4 RR
D
dxdy , D : y = 3, y = x2− 2x, 0 ≤ x ≤ 3
5 RR
D
y2exydxdy, D : 0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ x ≤ y
6 RR
D
y
x5+ 1dxdy, D : y = 1, y = x
2, x ≥ 0
Trang 27 RR
D
x3y2
y5+ 1dxdy, D : y = 1, y = x
2, x ≥ 0
8 RR
D
xpy2− x2, D : 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1
9 RR
D
(x +√
y)dxdy với D : y ≤ −x2+ 2x + 3, y ≤ x2+ 2x + 1, y ≥ 0
10 RR
D
ydxdy, với D : y = x√
x + 2, y = x2
4 Tính các tích phân sau trong tọa độ cực hoặc tọa độ cực
mở rộng.
1 RR
D
ypx2+ y2dxdy, với D : −1 ≤ y ≤ 0, −p1 − y2 ≤ x ≤p1 − y2
2 RR
D
xpx2+ y2dxdy, với D : x2+ y2 ≤ 2x, y ≥ x
3 RR
D
xydxdy, với D : x2+ y2 ≤ 2x, y ≥ −x
4 RR
D
ex2+y2dxdy, với D : x2+ y2 ≤ 1, y ≤ x ≤ −y
5 RR
D
ln (x2+ y2 + 1) dxdy, với D : 4 ≤ x2+ y2 ≤ 9
6 RR
D
dxdy, với D : 1 ≤ x2+ y2 ≤ −2y
7 RR
D
ydxdy, với D : x2+ y2 ≤ 1, x2+ y2 ≤ −2y
8 RR
D
|x − y| dxdy, với D : x2 + y2 ≤ −2x
9 RR
D
|x2+ y2− 1| dxdy, với D : x2+ y2 ≤ 4
10 RR
D
|x2− y2| dxdy, với D : x2+ y2 ≤ 1, x ≥ y
11 RR
D
(x + y)dxdy, với D : x2+ y2 ≤ 2y, y ≥ 1
12 RR
D
2xdxdy, với D : x2+ y2+ 2x + 2y + 1 ≤ 0, x + y ≤ 2
13 RR
D
p9x2+ 3y2dxdy, với D : x
2
3 +
y2
9 ≤ 1, y ≥ −x
5 Ứng dụng hình học của tích phân kép
1 D : x2+ y2 ≤ 1, |x| + |y| ≥ 1
2 D : 2y ≤ x2+ y2 ≤ 4y, y ≥ −x
3 D : x
2
25+
y2
9 ≤ 1,x
5 +
y
3 ≥ 1
4 D : x2+ y2 ≤ 2x, x + y ≤ 2
Trang 35.2 Tính thể tích các vật thể dưới đây
1 Ω : z = x2+ 2x − y, z = 0, y = x + 2, x ≥ 0
2 Ω : z = x2+ y2, z = 0, x2+ y2 = 1, x2+ y2 = 2
3 Ω : z = x2+ 1, z = 2x, y = x, y = 2x, x = 1
4 Ω : z =p2 − x2− y2, z = x2+ y2, 0 ≤√
3x ≤ y
5 Ω : z = 4 − x2− y2, z = 2, x ≥ y2
6 Ω : y2+ z2 = 2y, z = 2x, z = 3x
7 Ω : z =px2+ y2, z = 2 − x2− y2, x ≥ 0, y ≤ 0
1 Phần mặt nón z = 3px2+ y2, phần nằm dưới paraboloid z = 4 − x2− y2
2 Phần mặt phẳng x + y + z = 1, bị cắt bởi trun y2 = x và mặt phẳng x = 1
3 Phần mặt nón z =px2+ y2 nằm trong trụ z2 = 2y
4 Phần mặt cầu z =p1 − x2− y2 nằm giữa 2 mặt phẳng x = z, x =√
3z
6 Tính các tích phân lặp sau đây và vẽ miền tính tích phân
1 R1
0 dyRy+1
y dxRx 2 +1
0 ydz
2 R01dxR
√ x
0 dyR04xydz
3 R2
−2dxR
√ 4−x 2
√
x 2 +y 2
4 R01dyR01−y2dzR02dx
5 R−11 dyR
√
1−y 2
−√
1−y 2
R0
−√
4−x 2 −y 2zdz
7 Tính các tích phân bội ba sau đây
1 RRR
Ω
x2dxdydz, Ω : 2x + z = 2, z = (x − 1)2+ y2
2 RRR
Ω
zpx2+ y2dxdydz, Ω : z = 1, z = 2, x2+ y2 = 1, x2+ y2 = 4
3 RRR
Ω
y cos(x + z)dxdydz, Ω : y =√
x, y = 0, z = 0, z + x = π
2.
4 RRR
Ω
(x + y)dxdydz, Ω : x2 + y2 ≤ z ≤p2 − x2− y2, y ≥ x
5 RRR
Ω
xdxdydz, Ω : 0 ≤ z ≤ 2 − x2− y2, x2+ y2 ≥ 1, x ≥ 0, y ≥ 0
6 RRR
Ω
(x + z)dxdydz, Ω : x2+ y2 ≤ z ≤px2+ y2
7 RRR
Ω
x2dxdydz, Ω : 2x + z = 2, z = (x − 1)2+ y2
8 RRR
Ω
(2 + xy + x)dxdydz, Ω : z = 4 − y2, z = 0, x = 0, x = 3
Trang 48 Theo yêu cầu mỗi bài, đổi các tích phân sau sang tọa
độ trụ hoặc tọa độ cầu.
1 I =RRR
Ω
px2+ y2dxdydz, Ω : x2+ y2+ z2 ≤ 1, z ≥ p3(x2+ y2): tọa độ cầu
2 I = RRR
Ω
px2+ y2dxdydz, Ω : x2+ y2+ z2 ≤ 1, z ≥ −p3(x2+ y2), y ≤ x ≤ −y Tọa
độ cầu
3 I =RRR
Ω
dxdydz, Ω : x2+ y2+ z2 = 1, z = x, z = √
3x, x ≥ 0 : tọa độ cầu
4 I =RRR
Ω
(x + y2)dxdydz, Ω : x2+ z2 = 1, x = y2, x = 0: tọa độ trụ
5 I =RRR
Ω
(x + y)dxdydz, Ω : z = x2+ y2, z + 2x = 0: tọa độ trụ
6 I =RRR
Ω
xydxdydz, Ω : y =√
x2+ z2, y = 2x ≤ z ≤ −√
3x: tọa độ trụ
9 Dùng tích phân bội ba tính thể tích các vật thể sau:
1 Ω : z = 0, y + z = 4, x2+ y2 = 4
2 Ω : x2+ y2+ z2 ≤ 2z, x2+ y2+ z2 ≤ 1
3 Ω : 1 ≤ x2+ y2+ z2 ≤ 4, z ≥ px2 + y2
4 Ω : x2+ y2+ z2 ≤ 4, z ≥ px2+ y2, x2+ y2 ≥ 1