bài tập tích phân bội

BÀI TẬP TÍCH PHÂN BỘI1 Hãy cho biết các tích phân sau dùng để tính thể tích của vật thể nào, hãy vẽ vật thể đó trong không gian 3 chiều.. 2 Tính tích phân lặp sau đây và vẽ hình miền lấy

BÀI TẬP TÍCH PHÂN BỘI

1 Hãy cho biết các tích phân sau dùng để tính thể tích của vật thể nào, hãy vẽ vật thể đó trong không gian 3 chiều.

1 R2

0 dxR1

0 2xdy

2 R−11 dxR

√ 1−x 2

−√1−x 22dy

3 RR

D

(1 + x2+ y2)dxdy, trong đó D là hình tròn x2+ y2 ≤ 1

4 RR

D

4dxdy, trong đó D là tam giác OAB, O(0, 0), A(0, 2), B(1, 1)

5 RR

D

(x2+ 1)dxdy, trong đó D là hình chữ nhật −1 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 4

2 Tính tích phân lặp sau đây và vẽ hình miền lấy tích phân.

1 R−12 dxR−22 (ex+y − 2x) dy

2 R−12 dxR−22 (xy2− 2x) dy

3 R02dxR

√ 2x

√ 2x−x 2(x − 1 + y) dy

4 R−10 dxR

√ 1−x 2

0 (x − y) dy +R01dxR01−x(x − y) dy

5 R−1

−3 dxR

√ 2x+6

−√2x+6xydy +R5

−1dxR

√ 2x+6 x−1 xydy

6 R−11 dxRx2−x2 2dy

3 Tính các tích phân kép sau

1 RR

D

x2

y2dxdy, D giới hạn bởi y = 1

x, y = x, x = 2.

2 RR

D

1 2

rx

y, với D : xy = 1, x = y, x = 9y, x ≥ 0.

3 RR

D

ydxdy, G giới hạn bởi y = x2+ 2x, y = x

2

2 , y = 1 +

x

2, x ≥ 0.

4 RR

D

dxdy , D : y = 3, y = x2− 2x, 0 ≤ x ≤ 3

5 RR

D

y2exydxdy, D : 0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ x ≤ y

6 RR

D

y

x5+ 1dxdy, D : y = 1, y = x

2, x ≥ 0

7 RR x3y2

5 dxdy, D : y = 1, y = x2, x ≥ 0

D

xpy2− x2, D : 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1

9 RR

D

(x +√

y)dxdy với D : y ≤ −x2+ 2x + 3, y ≤ x2+ 2x + 1, y ≥ 0

10 RR

D

ydxdy, với D : y = x√

x + 2, y = x2

4 Tính các tích phân sau trong tọa độ cực hoặc tọa độ cực

mở rộng.

1 RR

D

ypx2+ y2dxdy, với D : −1 ≤ y ≤ 0, −p1 − y2 ≤ x ≤p1 − y2

2 RR

D

xpx2+ y2dxdy, với D : x2+ y2 ≤ 2x, y ≥ x

3 RR

D

xydxdy, với D : x2+ y2 ≤ 2x, y ≥ −x

4 RR

D

ex 2 +y 2

dxdy, với D : x2+ y2 ≤ 1, y ≤ x ≤ −y

5 RR

D

ln (x2+ y2 + 1) dxdy, với D : 4 ≤ x2+ y2 ≤ 9

6 RR

D

dxdy, với D : 1 ≤ x2+ y2 ≤ −2y

7 RR

D

ydxdy, với D : x2+ y2 ≤ 1, x2+ y2 ≤ −2y

8 RR

D

|x − y| dxdy, với D : x2 + y2 ≤ −2x

9 RR

D

|x2+ y2− 1| dxdy, với D : x2+ y2 ≤ 4

10 RR

D

|x2− y2| dxdy, với D : x2+ y2 ≤ 1, x ≥ y

11 RR

D

(x + y)dxdy, với D : x2+ y2 ≤ 2y, y ≥ 1

12 RR

D

2xdxdy, với D : x2+ y2+ 2x + 2y + 1 ≤ 0, x + y ≤ 2

13 RR

D

p9x2+ 3y2dxdy, với D : x

2

3 +

y2

9 ≤ 1, y ≥ −x

5 Ứng dụng hình học của tích phân kép

1 D : x2+ y2 ≤ 1, |x| + |y| ≥ 1

2 D : 2y ≤ x2+ y2 ≤ 4y, y ≥ −x

3 D : x

2

25+

y2

9 ≤ 1,x

5 +

y

3 ≥ 1

4 D : x2+ y2 ≤ 2x, x + y ≤ 2

5.2 Tính thể tích các vật thể dưới đây

1 Ω : z = x2+ 2x − y, z = 0, y = x + 2, x ≥ 0

2 Ω : z = x2+ y2, z = 0, x2+ y2 = 1, x2+ y2 = 2

3 Ω : z = x2+ 1, z = 2x, y = x, y = 2x, x = 1

4 Ω : z =p2 − x2− y2, z = x2+ y2, 0 ≤√

3x ≤ y

5 Ω : z = 4 − x2− y2, z = 3, x = y2

6 Ω : y2+ z2 = 2y, z = 2x, z = 3x

7 Ω : z =px2+ y2, z = 2 − x2− y2, x ≥ 0, y ≤ 0

1 Phần mặt nón z = 3px2+ y2, phần nằm dưới paraboloid z = 4 − x2− y2

2 Phần mặt phẳng x + y + z = 1, bị cắt bởi trun y2 = x và mặt phẳng x = 1

3 Phần mặt nón z =px2+ y2 nằm trong trụ z2 = 2y

4 Phần mặt cầu z =p1 − x2− y2 nằm giữa 2 mặt phẳng x = z, x =√

3z