Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt BC và CD lần lượt tại M và N.. Đường vuông góc với BC tại C cắt AM tại K.. Chứng minh rằng: a ABM là tam giác cân.
Trang 1TRƯỜNG THCS LÊ THANH NGHỊ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN TOÁN 8 Thời gian làm bài 120 phút
Đề gồm 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: Mx2 x 1 x2 x 2 12
b) Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức:
2 1 22 2
c ac
c b
bc
b a
ab
a A
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 26 30 8 4
1990 1986 1004
x x x
b) Cho x, y thỏa mãn: x > y > 0 và x2 + 3y2 = 4xy
Tính giá trị biểu thức A = 2 5
2
x y
x y
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 2
2xy 2x 3y 4
b) Tìm hằng số a sao cho đa thức ax5 5x4 9 chia hết cho đa thức x 1
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho tam giác ABC có B 2C ; trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt BC và CD lần lượt tại M và N Đường vuông góc với BC tại C cắt AM tại K Chứng minh rằng:
a) ABM là tam giác cân
b) AC2 = AB.AD
c) MA.KN = MN.KA
Câu 5 (1,0 điểm).
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A = 42 3
1
x x
-Hết -TRƯỜNG THCS LÊ THANH NGHỊ
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2015 - 2016
Trang 2MÔN TOÁN 8 (Gồm 04 trang)
1
a
Đặt x2 x 1 y
Khi đó: My y 1 12y2 y 12
2 4 3 12
y 4 y 3
2
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ
b
2 2
2 1
c ac
c b
bc
b a
ab
a A
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ 2
4
1990 1986 1004
1990 1986 1004
1990 1986 1004
1990 1986 1004 v×
x x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2016
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ
b Có x2+3y2 = 4xy x2- 4xy+3y2= 0 0,25đ
Trang 3 x2- xy-3xy +3y2= 0
x(x-y)-3y(x-y)=0
(x-y)(x-3y)=0
x-y=0 x=y (loại vì x>y) hoặc x-3y=0 x=3y
Có 2 5 2.3 5 11 11
x y y y y
0,25đ 0,25đ 0,25đ
3
a
2xy 2x 3y 4 (y2 1)(2x 3) 7
Vì 2
1 1
y với mọi y Ta có:
TH1:
2
2 3 7
y y
x x
TH2:
Lo¹i v × y lµ sè nguyª n
Vậy cặp số ( ; )x y cần tìm là x y ; (2;0)
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
b
Để đa thức 5 4
ax 5x 9 chia hết cho đa thức x 1 thì tồn tại đa thức Q(x) sao cho ax5 5x4 9 x 1 Q x (*)
Thay x = 1 vào (*) a 5 9 0
a 4
0,5đ
0,5đ 4
a
1
2
1 1
K
N M
D
A
A D 90 , M C 90 (1)
BD BC BCD cân tại B
2
D C
(2)
Từ (1), (2) A 1 M 2
1 2
M M (2 góc đối đỉnh)
1 1
cân tại B
0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ
b D C 2 (Theo (2)), B1 D C 2 B 1 2D
1 1
B 2C (GT)
1
C D
0,25đ 0,25đ
Trang 4Xét ABC và ACD có:
BAC là góc chung, C1 D
ABC
ACD (g.g)
2
AB AC
AC AB.AD
AC AD
0,25đ 0,25đ
c
1 2 1 2
C D, C D C C CM là đường phân giác của ACN
AM CA
MN CN
(3) Chứng minh được CK là tia phân giác của góc ngoài tại C của ACN
AK CA
KN CN
(4)
Từ (3), (4) MA KA MA.KN KA.MN
MN KN
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
5
Xét biểu thức 2 2
5 7
x A
x x
+) Tìm GTNN :
Vì
2
2 4 x
x x x
Mà 2
0
x x nên A 0
Vậy Min A = 0 khi và chỉ khi x = 0
+) Tìm GTLN :
Ta có
2
2 2
2 2
28 5 7 25 140 196 3
3.
28 5 7 (5 14) 3
5 7 (5 14)
5 7 28
3
v×
x A
A
x x x
x x A
Vậy Max A = 28 14
3 x5
0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ
* Ghi chú : Nếu học sinh làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa