Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức A AB, đường cao AH HBC.. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA.. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HUYỆN GIA LỘC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC: 2015 - 2016 MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút
Đề gồm: 01 trang
Câu 1 (2 điểm)
a) Chứng minh rằng đa thức M = a5 – 5a3 +4a chia hết cho 120 aZ
b) Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x4 3x3 ax b chia hết cho
đa thức B x( ) x2 3x 4
Câu 2 (2 điểm)
Cho phân thức
2
x 2x 2x - 4x 3x 6 A
x 2x 8
với x 2 x ; 4
a Rút gọn phân thức A
b Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức A<0
Câu 3 (2 điểm)
a) Giải phương trình:
x 241 x 220 x 195 x 166
10
b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
x2 - y2 + 2x - 4y -10 = 0
Câu 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC)
Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D
cắt AC tại E
a) Chứng minh BC.DC = AC.EC
b) Chứng minh AB =AE
c) Gọi M là trung điểm của đoạn BE, chứng minh AB.HM = BM.DE
Câu 5 (1 điểm)
Cho a,b,c không âm Chứng minh rằng:
(a b c ) a b c 24abc
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN TOÁN 8 (Gồm 04 trang)
1
a
M= a( a4 -5a2+ 4)
= a( a4 - a2 - 4a2 +4) = a( a2 -1) (a2 -4)
= a( a-1)(a+1)(a-2)(a+2) Với a thuộc Z thì (a-2); ( a-1); a; (a+1); (a+2) là 5 số nguyên liên tiếp
Trong năm số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có ít nhất một số là bội của 3 và một số là bội của 5 nên tích của 5 số nguyên liên tiếp là a( a-1)(a+1)(a-2)(a+2) chia hết cho 3 và 5 (1)
Trong 5 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có ít nhất 2 số chẵn liên tiếp mà tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8 nên tích của 5 số nguyên liên tiếp là a( a-1)(a+1)(a-2)(a+2) chia hết cho 8 (2)
ta có (3, 5, 8)=1 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có a( a-1)(a+1)(a-2)(a+2) chia hết cho 3.5.8 = 120
Vậy M chia hết cho 120 với mọi a thuộc Z
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b
A(x)=x4 3x3 ax b = x4-3x3+4x2 -4x2+12x-16-12x+16+ax+b
=x2(x2-3x+4)-4(x2-3x+4)+(a-12)x+b+16
Để A(x)B(x) thì (a-12)x+b+16 =0 với mọi x (a-12)x+b+16 =0 với mọi x a 12 0 a 12
Vậy a =12, b = -16 thì A(x)B(x)
0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ
2 a Với x 2 x ; 4 ta có
0,25đ
Trang 35 4 3 2
2
4 2
4 2
x 2x 2x - 4x 3x 6 A
x 2x 8
A
x 2 x 4
A
x 2 x 4
A
x 4
Vậy
4 2
A
x 4
với x 2 x ; 4
0,25đ
b
Với x 2 x ; 4 thì A<0 khi
4 2
0
x 4
2
0
x 4
0
x 4
2
x 4
2
x 1 x 1
0 vì x 3 0
x 4
trong 3 số x-1, x+1, x+4 chỉ có một số âm hoặc cả ba số
cùng âm
mà x-1 < x+1< x+4 nên
x 1 x 1
0
x 4
x 1 0
1
x 1 0
( )
hoặc x+4<0
x 1
hoặc x<-4 Kết hợp với điều kiện x 2 x ; 4ta có -1<x<1 hoặc x<-4 thì
A<0
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
3 a x 241 x 220 x 195 x 166
10
Trang 4x 241 x 220 x 195 x 166
x 258 x 258 x 258 x 258
0
17 19 21 23
x 258
0
17 19 21 23 )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 258
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b
x2 - y2 + 2x - 4y -10 = 0
(x+1)2 - (y+2)2 =7
(x+y+3)(x-y-1) =7
Lại có x, y nguyên dương nên x+y+3 nguyên dương
Suy ra x-y -1 cũng nguyên dương và x+y+3> x-y-1
Do đó:
x y 3 7 1
x y 1 1 2
( ) ( )
Cộng từng vế (1) và (2) ta được 2x+2=8 x=3, thay vào (1) ta
có 3+y+3=7 y=1
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là (3;1)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ 4
E
D
B
A
a) Xét ABC và DEC có BAC=EDC 90 0 và ACBchung
ABC DEC (g-g)
BC AC
CE CD
BC CD AC CE
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
b Xét ADC và BEC có:
Góc C chung
Trang 5CD CA
CE CB ( do ABC DEC (g-g))
ADC BEC (c-g-c)
ADC=BEC mà ADC=135 0 (vì tam giác AHD vuông cân tại H)
0
AEB=45
ABE vuông cân tại A AB = AE
0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,25đ
c
ABE vuông tai A có AM là trung tuyến
AM=MB=ME=1/2 BE
BDE vuông tại D có DM là trung tuyến
DM=MB=ME=1/2 BE
AM=DM mà AH=DH HM là trung trực của AD
HAD vuông cân tại H, HM là đường trung trực của AD ,
HM là đường phân giác của góc AHD AHM HMD 45 0
HAD vuông cân tại H HDA 45 0 ADE 45 0
AME vuông cân tại M ( AM=EM=1/2BE) MAE 45 0
0 0
HAM DAE
HAM và DAE có HAM DAE và AHM ADE 45 0
HAM DAE(g.g)
AE.HM=AM.DE mà AE = AB, AM=BM
AB.HM = BM.DE
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ 5
Ta có :
Khi đó:
0,25đ
Trang 6Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho các số không âm a và b, b và
c, c và a ta có:
2 2 2
a b 2 ab
b c 2 bc
a c 2 ac
a b b c c a 8 a b c
a b b c c a 8abc
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Vậy với a, b, c không âm ta có
(a b c ) a b c 24abc
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
0,25đ
0,25đ
0,25đ
* Ghi chú : Nếu học sinh làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm
tối đa