Phương trình, BPt, HPT tổng hợp

Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tổng hợp Bài 1.

Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tổng hợp

Bài 1 Giải phương trình x2      x 1 1 x 1 1 x trên tập số thực

Lời giải Điều kiện: x  1

2

2

1 0

x

x x

 

             

Mặt khác: 2 1    x 1 1 x 1   x 1 1 x2 1     x 1 1 x 2x2 1 x

1 2 1 x 2 1 1 x 1 x 1 1 x 2x 1 x 1 1 x

2

A   x  x B    x x A B  x   

Phương trình đã cho tương đương với:

1

1

                 

Vì , 0; 1 5

2

A B x   nên phương trình  

2

1 0

x x

  





   



là nghiệm duy nhất của phương trình ban đầu 

Bài 2 Giải phương trình 2x2  2 x x3 1  3 3 x trên tập số thực

Lời giải Điều kiện: 1 1

3 x

  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki chúng ta có:

x x   x  x  x   x  x  x x   x  x  Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

3 3 1

x x

 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 13

1 2

x 

 

Bài 3 Giải bất phương trình 2x42x x3 2 2 x x2    1 1 x trên tập số thực

Lời giải Điều kiện: x  

Bất phương trình đã cho tương đương với: 2 x 2 x x2   1 2x4 2x x3 2 0

Vì  2

x x       nên từ phương trình x  i suy ra:

 2

x  x  x x   x x  x x  x x x   x x 

Từ đó, bất phương trình ban đầu trở thành  

 

2 2

2 2

1

1 0

x

x x

      



Vậy bất phương trình đã cho có hai nghiệm là x0; x1 

Bài 4 Giải hệ phương trình   

,

x y



Lời giải Điều kiện: x y x y ;  1

Hệ phương trình đã cho được viết lại thành:

xy x y x y



Lấy    1 2 theo vế ta có: 1xy x y    x y3  3 x y 1 x3  y3 x y 1

1 xy x y  x3 y x y3 1 x y 1 x2 y2 x y 1 0  i

Với   x yx y 1     x2 y2 x y 1 0, suy ra  i   y 1 x thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:

 1x 1 1   x 0 x x       1 0 xx  10 yy 01

Đối chiếu với điều kiện ban đầu, vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là    x y ; 1;0 

2 1 0



   

Lời giải Điều kiện: 2x y  2 0

Cách 1 Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:

2 2

2 0

y y

             

             

Do đó, áp dụng bất đẳng thức AM – GM, chúng ta có:

4 2x y 2 2 2x.2 y   2 2 x 4 y 2 4y x  10 Nên từ phương trình một suy ra:

14 4 xy x 4 2x y 2 4xy x 4y x  10 4xy4 10y  y x 1 1 i

Mặt khác, ta lại có:  2 2  2  

x y    x y  x y

2 2 x 1 y x 1 y 0 y x 1 1 ii

Từ    i ii; suy ra hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

2

1

y x

x

y

 



   



Cách 2 Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:

2 2

y

             

              Khi đó hệ phương trình đã cho được viết lại thành:

2 2

1 0

1

xy x

y

  



Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là   x y   ; 2; 1 