PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TỔNG HỢP 3

So với điều kiện nghiệm này loại.

LỜI GIẢI

Câu : Giải các phương trình sau:

4sin sin 3sin cos2x cosx 1 cot x

2) 2sin x 33 − =(3sin x 2sinx 3 tanx2 + − )

3) (2tan x 1 cosx 2 cos2x2 − ) = −

4) 5sin 5 x 3(1 cosx)cot x 22

2

5) (tanx 1)sin x 3cos x2 2 3sin2x 0

2

2

sinx cosx 2sin x 2

sin x sin 3x

1 cot x

LỜI GIẢI

4sin sin 3sin cos2x cosx 1 cot x

Điều kiện: sinx 0≠ ⇔ ≠ π ∈x k ,k ¢

Các bạn để ý góc ở vế trái, nên ý tưởng biến đổi tích thành tổng ở vế trái

2

1

2 cosx cos 3sinx 2cos x 1 cosx

(2cosx 1) 3 2cos x cosx 1( 2 ) 1

sinx

sinx 2cosx 1 3 cosx 1 2cosx 1

(2cosx 1 sinx) ( 3cosx 3) 0

2cosx 1 0 sinx 3cosx 3 0

Với 2cosx 1 0 cosx 1 cosx cos

π

3

π

Với sinx 3cosx 3 1sinx 3cosx 3

2

  hoặc x= π +k2 , k Zπ ( ∈ )

Biểu diễn nghiệm trên vòng tròn lượng giác :

Vậy nghiệm x= π +k2π loại

Kết luận nghiệm phương trình: x k2

3

π

= ± + π, x 2 k2

3

π

= + π (k Z∈ ) 2) 2sin x 33 − =(3sin x 2sinx 3 tanx2 + − ) ( )∗

Ý tưởng: Đổi tanx thành sin chia cos, sau đó quy đồng mẫu

Điều kiện cosx 0 x k ,k

2

π

( ) 2sin x 33 3 sin x 1 2sinx( 2 ) sinx

cosx

cosx 2sin x 3 3cos x 2sinx sinx

Phân phối sau đó chuyển các phần tử vế phải qua vế trái được:

2cosxsin x 3cosx 3cos xsinx 2sin x 0

(2cosx.sin x 2sin x3 2 ) (3cos xsinx 3cosx2 ) 0

2

2sin x sinxcosx 1 3cosx sinxcosx 1 0

(sinxcosx 1 2sin x 3cosx) ( 2 ) 0

2 sinxcosx 1 0 2sin x 3cosx 0

Với sinxcosx 1 0 1sin2x 1 sin2x 2

2

Với 2sin x 3cosx 02 + = ⇔2 1 cos x( − 2 )+3cosx 0=

2cos x 3cosx 2 0 cosx cosx 2

2

So với điều kiện thì cosx 1

2

= − (nhận)

( )

cosx cos x k2 k Z

Nghiệm phương trình: x 2 k2 k Z( )

3

π

3) (2tan x 1 cosx 2 cos2x2 − ) = − ( )∗

Điều kiện: cosx 0.≠

2

1

2 1 1 cosx 2 2cos x 1

cos x

Đặt t cosx= Điều kiện:t∈ −  1,1 / 0  { }

2

2

3 t 3 2t

t

2

2 3t 2t 3 0 t

⇔ − + − = ⇔2t3−3t2− + =3t 2 0

t 1

⇔ = − (nhận) t 1

2

∨ = (nhận) t 2∨ = (loại)

Với t= − ⇔1 cosx= − ⇔ = π +1 x k2 , k Z π ( ∈ )

Với t 1 cosx 1 cosx cos x k2 , k Z ( )

Vậy nghiệm của phương trình x= π +k2π, x k2 , k Z ( )

3

π

5sin x 3(1 cosx)cot x 2

2

Điều kiện sinx 0≠

Ta có : sin 5 x sin 2 x sin x cosx

 π− =  π + −π =  π− =

(1) ⇔ 5cosx 3(1 cosx).cos x2 2

sinx

− − =

⇔ 5cosx 3(1 cosx) cos x22 2

1 cos x

−

⇔ 5cosx 3(1 cosx) cos x2 2

(1 cosx)(1 cosx)

⇔ 5cosx(1 cosx) 3cos x 2(1 cosx)+ − 2 = +

⇔ 2cos x 3cosx 2 02 cosx 1

2

3

π

= ± + π (k∈¢ )

Kết luận nghiệm của phương trình : x k2

3

π

= ± + π (k∈¢ ) 5) (tanx 1)sin x 3cos x2 2 3sin2x 0

2

Điều kiện cosx 0≠

(1) ⇔ (tanx 1)sin x 3cos x 2sinx.cosx 0− 2 + 2 − =

Chia hai vế cho cos x ta được : 2 (tanx 1)tan x 3 3tanx 0− 2 + − =

⇔ tan x tan x 3tanx 3 03 − 2 − + = ⇔tanx= ± 3 hoặc tanx 1=

x k

3

π

4

π

= + π(k∈¢ ) Kết luận nghiệm của phương trình x k ,x k , k( )

2

sinx cosx 2sin x 2

sin x sin 3x

1 cot x

Điều kiện sinx 0≠ ⇒ ≠ πx k , k Z( ∈ )

( ) (cos2x sin2x sin x) 2 2cos 2x sinx

4

2cos 2x sinx 2cos 2x cos 2x 1 sinx 0

( )

3 k x

k Z 4

sinx 1



Cả hai họ nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện , vậy phương trình có hai

họ nghiệm x 3 k ;x k2 k Z ( )

Câu : Giải các phương trình sau:

4

4

2 sin 2x sin3x tan x 1

cos x

−

tanx cosx cos x sinx 1 tanx.tan

2

  [Dự bị 4 ĐH02]

3) sin2 x tan x cos2 2x 0

4) 3 tanx tanx 2sinx− ( + )+6cosx 0= [Dự bị 1 ĐH A03]

5) cos2x cosx 2tan x 1+ ( 2 − =) 2 [Dự bị 2 ĐH A03]

6) 5sinx 2 3(1 sinx)tan x− = − 2 [ĐH B04]

2

cos2x 1 tan x 3tan x

7) tan 3 x sinx 2

8) cotx sinx 1 tanxtanx 4

2

9) sin2x sinx 1 1 2cot2x

2sinx sin2x

10) sin2x cosx tanx cotx

cosx +sinx= − [Dự bị 2 ĐH B07]

11) (1 tanx)(1 sin2x) 1 tanx− + = + [Dự bị 2 ĐH D07]

LỜI GIẢI

4

4

2 sin 2x sin3x tan x 1

cos x

−

Điều kiện : cosx 0≠

2 sin 2x sin3x 2 sin 2x sin3x

sin x cos x (2 sin 2x)sin3x

2

sin 2x

1 (2 sin 2x)sin3x 2 sin 2x 2(2 sin 2x)sin3x

2

(2 sin 2x)(1 2sin3x) 0 sin3x

2

⇔ − − = ⇔ = hoặc sin 2x 22 = (vô nghiệm)

k2 sin3x sin x

18 3

tanx cosx cos x sinx 1 tanx.tan

2

Điều kiện :

,k 2

x

2

¢

Ta có:

x

sinxsin cosxcos sinxsin 2

1 tanx.tan 1

 

 

(1) tanx cosx cos x2 sinx cosx(1 cosx) 0 cosx 1

cosx

( )

x k2 , k

So với điều kiện nghiệm của phương trình x k2 , k= π( ∈¢)

3) sin2 x tan x cos2 2x 0

Điều kiện : cosx 0≠ ⇔sinx≠ ±1

1 cos x

1 sin x

−

−

(1 sinx) ( (1 cosx 1 cosx) ( ) ( ) ( ) 1 cosx) 0

1 sinx 1 sinx

(1 cosx 1 cosx) ( ) (1 cosx) 0

1 sinx

+

(1 cosx 1 cosx) ( ) (1 cosx 1 sinx) ( ) 0

(1 cosx sinx cosx) ( ) 0 1 cosx 0

4

π

So với điều kiện nghiệm phương trình x= π +k2π, x k , k( )

4

π

4) 3 tanx tanx 2sinx− ( + )+6cosx 0= (1)

Điều kiện : cosx 0≠

(1) 3 sinx sinx 2sinxcosx 6cosx 0

3cos x sin x 1 2cosx 6cos x 0

3cos x 1 2cosx sin x 1 2cosx 0

⇔ + − + = ⇔ +(1 2cosx 3cos x sin x) ( 2 − 2 )=0 (1 2cosx 4cos x 1) ( 2 ) 0

2

1 cosx

1 4cos x 1 0 cos x

4





cos x

4

1 cos2x cos2x

3

π

So với điều kiện nghiệm phương trìnhx k k( )

3

π

5) cos2x cosx 2tan x 1+ ( 2 − =) 2 (1)

Điều kiện : cosx 0≠

(1) cos2x 2sin x2 cosx 2

cosx

⇔ + − = 2sin x2 cosx 2 cos2x

cosx

2

2 2sin x

cosx 1 2sin x

cosx

2

2 2sin x

2sin x 1 cosx cosx

2sin x 1 1 cosx

cosx

2 2(1 cos x)(1 cosx) (1 cosx)cosx

(1 cosx 2(1 cosx)) 2 cosx 0

( ) 2

cosx 1 cosx 1

, k 1

3 2

 = π + π

So với điều kiện nghiệm phương trình x k ,x k2 , k( )

3

π

6) 5sinx 2 3(1 sinx)tan x− = − 2 (1)

Điều kiện : cosx 0≠

(1)

2

2 2

3sin x 5sinx 2 (1 sinx) (5sinx 2)(1 sinx) 3sin x

1 sin x

−

2sin x 3sinx 2 0 sinx

2

Với sinx 1 x k2

π

6

π

So với điều kiện nghiệm phương trình x k2

6

π

= + π, x 5 k2 , k( )

6

π

2

cos2x 1

Điều kiện : sin2x 0 2x k x k , k( )

2

π

2

2sin x cotx 3tan x

cos x

tanx

3

tan x 1 tanx 1

4

π

So với điều kiện nghiệm của phương trình: x k , k( )

4

π

7) tan 3 x sinx 2

Ta có tan 3 x tan x tan x cotx

 π− = π + −π =  π− =

(1) cotx sinx 2 cosx sinx 2

1 cosx sinx 1 cosx

Điều kiện : sinx 0≠

2 cosx(1 cosx) sin x 2sinx(1 cosx)

cosx cos x sin x 2sinx(1 cosx)

cosx 1 2sinx 1 cosx

⇔ + = +

(1 cosx) 1 2sinx 0

⇔ + − = ⇔ +1 cosx 0= hoặc 1 2sinx 0− =

Với 1 cosx 0+ = ⇔cosx= −1 (so với điều kiện loại)

Với 1 2sinx 0 x k2

6

π

6

π

So với điều kiện nghiệm của phương trình: x k2

6

π

= + π, x 5 k2 , k( )

6

π

8) cotx sinx 1 tanxtanx 4

2

Điều kiện :

sin2x 0

x cos 0

2



 Ta có :

1 tanx.tan

2 cosx

sinx cosx sinxcosx

12

π

⇔ = + π hoặc x 5 k , k( )

12

π

So với điều kiện nghiệm của phương trình: x k

12

π

12

π

= + π (k∈¢) 9) sin2x sinx 1 1 2cot2x

2sinx sin2x

Điều kiện : sin2x 0≠

(1) ⇔sin 2x sin2xsinx cosx 1 2cos2x2 + − − =

sin 2x 1 cosx(2sin x 1) 2cos2x

⇔ − + − = ⇔ −cos 2x cos2x.cosx 2cos2x 02 + − =

cos2x(cos2x cosx 2) 0

⇔ + + = ⇔cos2x(2cos x cosx 1) 02 + + =

cos2x 0

⇔ = hoặc 2cos x cosx 1 02 + + =

Với cos2x 0 x k ;k

4 2

Với 2cos x cosx 1 02 + + = phương trình vô nghiệm

So với điều kiện nghiệm của phương trình x k ;k

4 2

10) sin2x cos2x tanx cotx

cosx + sinx = − (1)

Điều kiện :sin2x 0 2x k x k , k( )

2

π

(1) cos2x.cosx sin2x.sinx sinx cosx

sinxcosx cosx sinx

+

sinxcosx sinxcosx

−

cosx cos2x 0

2cos x cosx 1 0 cosx cosx 1

2

Với cosx 1 x k2 , k( )

π

Với cosx= − ⇔ = π +1 x k2 ,(kπ ∈¢ So với điều kiện nghiệm này loại.) Kết luận nghiệm của phương trình x k2 , k( )

3

π

11) (1 tanx)(1 sin2x) 1 tanx− + = + (1)

Điều kiện : cosx 0≠

(1) cosx sinx.(sinx cosx)2 sinx cosx

2 (cosx sinx)(sinx cosx) cosx sinx

(cosx sinx) (cosx sinx)(cosx sinx) 1 0

(cosx sinx)(cos x sin x 1) 0

(cosx sinx)(cos2x 1) 0 cosx sinx 0 cos2x 1 0

Với cosx sinx 0 2cos x 0 x 3 k , k( )

Với cos2x 1 0− = ⇔cos2x 1= ⇔ = πx k ,(k∈¢)

Kết luận nghiệm của phương trình x 3 k ,

4

π

= + π x k ,(k= π ∈¢)

Câu : Giải các phương trình sau:

1) tanx cotx 4cos 2x= + 2 (1) [Dự bị 1 ĐH A08]

2)

2

2

tan x tanx 2

sin x

tan x 1

+   (1) [Dự bị 2 ĐH D08]

3) (1 sinx cos2x sin x)

4 1 cosx

 π 

+

(1) [ĐH A10]

4) 1 sin2x cos2x2 2sinxsin2x

1 cot x

5) sin2x 2cosx sinx 1 0

tanx 3

+ (1) [ĐH D11]

6) 1 tanx 2 2sin x 1( )

4

  [ĐH A 2013]

LỜI GIẢI 1) tanx cotx 4cos 2x= + 2 (1)

Điều kiện : sin2x 0≠

(1) cosx sinx 4cos 2x 02

sinx cosx

2 cos2x 2cos 2xsin2x 0

⇔ + = ⇔cos2x sin4x.cos2x 0+ =

cos2x(1 sin4x) 0

⇔ + = ⇔cos2x 0= hoặc sin4x= −1

k

x

4 2

8 2

So với điều kiện nghiệm của phương trìnhx k

4 2

8 2

2)

2

2

tan x tanx 2sin x

tan x 1

Điều kiện : cosx 0≠

tan x tanx 1

sinx cosx 2

tan x 1

+

+

2cos x tan x tanx sinx cosx

2 2

2

sin x sinxcosx

cos x

2sinx sinx cosx sinx cosx 0 sinx cosx 2sinx 1 0

sinx cosx 0 2sinx 1

So với điều kiện nghiệm của phương trình

( )

5

3) (1 sinx cos2x sin x)

cosx

 π 

+

(1)

Điều kiện 1 tanx 0 x 4 k , k( )

2

 ≠ − + ππ





¢

1

1 sinx cos2x sinx cosx cosx

1 2

+

1 sinx cos2x 1 sinx 1 2sin x 0 2sin x sinx 1 0

1 sinx 1 sinx

2

Với sinx 1 x k2 ,k

2

π

= ⇔ = + π ∈¢ so với điều kiện nghiệm này loại

Với sinx 1 x k2

π

= − ⇔ = − + π hoặc x 7 k2 , k( )

6

π

Vậy nghiệm của phương trình: x k2

6

π

= − + π, x 7 k2

6

π

= + π , k( ∈¢) 4) 1 sin2x cos2x2 2sinxsin2x

1 cot x

Điều kiện sinx 0≠ ⇔ ≠ π ∈x k ,k ¢

( ) (1 ⇔ +1 sin2x cos2x sin x 2 2sin xcosx+ ) 2 = 2

⇔sin2x 1 cos2x 2 2cosx+ + = ⇔2sinxcosx 2cos x 2 2cosx+ 2 =

⇔cosx sinx cosx( + − 2) =0 ⇔cosx 0 sinx cosx= ∨ + − 2 0=

Với cosx 0 x k ,k

2

π

Với sinx cosx 2 0 sin x 1 x k2 , k( )

So với điều kiện nghiệm của phương trình: x k

2

π

= + π, x k2 , k( )

4

π

5) sin2x 2cosx sinx 1 0

tanx 3

Điều kiện tanx 3 0 x 3 k , k( )

2

 ≠ − + ππ



≠



¢

( )1 ⇔sin2x 2cosx sinx 1 0+ − − = ⇔2sinxcosx sinx 2cosx 1 0− + − =

sinx 2cosx 1 2cosx 1 0 2cosx 1 sinx 1 0

2cosx 1 0 sinx 1 0

Với 2cosx 1 0 cosx 1 x k2 ,k

π

Với sinx 1 0 sinx 1 x k2 ,k

2

π

So với điều kiện nghiệm của phương trình: x k2 ,k

3

π

6) 1 tanx 2 2sin x 1( )

4

 π 

Điều kiện cosx 0 x k ,k

2

π

( )1 1 sinx 2 2sin x

  sinx cosx 2 2cosxsin x 4

 π 

2sin x 2 2cosxsin x

4

 π 

 +π = ⇔ + = π ⇔ = − + ππ π

Với cosx 1 x k2

π

So với điều kiện nghiệm của phương trình x k

4

π

3

π