Phương pháp giải phương trình bậc 4 tổng quát dạng :??+ ?... Phương pháp 2: Lượng giác hóa... Thay vào phương trình , ta được: ?3.. Đáp số xin dành cho bạn đọc tự tính.
Trang 1Phương pháp giải phương trình bậc 4 tổng quát dạng :𝒙𝟒+ 𝒂 𝒙𝟑+ 𝒃 𝒙𝟐+ 𝒄 𝒙 + 𝒅 = 𝟎
Đặ𝑡 𝑡 = 𝑥 +𝑎
4→ 𝑥 = 𝑡 −
𝑎
4 𝑇𝑎 đượ𝑐:
(𝑡 −𝑎
4)
4
+ 𝑎 (𝑡 −𝑎
4)
3 + 𝑏 (𝑡 −𝑎
4)
2 + 𝑐 (𝑡 −𝑎
4) + 𝑑 = 0
↔ 𝑡4+ (3
2𝑎
2+ 𝑏) 𝑡2+ (𝑐 −13
16𝑎
3−𝑎𝑏
2) 𝑡 + (
63
64 𝑎
4+𝑎
2𝑏
16 −
𝑎𝑐
4 + 𝑑) = 0 (∗)
Đặ𝑡
{
𝑝 = 3
2𝑎
2+ 𝑏
𝑞 = 𝑐 −13
16𝑎
3−𝑎𝑏
2
𝑟 =63
64𝑎
4+𝑎
2𝑏
16 −
𝑎𝑐
4 + 𝑑 𝑃𝑇(∗) 𝑡𝑟ở 𝑡ℎà𝑛ℎ:
𝒕𝟒+ 𝒑 𝒕𝟐+ 𝒒 𝒕 + 𝒓 = 𝟎
↔ 𝒕𝟒+ 𝟐𝒑𝒕𝟐+ 𝒑𝟐 = 𝒑 𝒕𝟐− 𝒒 𝒕 − 𝒓 + 𝒑𝟐
↔ (𝒕𝟐+ 𝒑)𝟐= 𝒑 𝒕𝟐− 𝒒 𝒕 − 𝒓 + 𝒑𝟐
Do p, q, r là các số thực đã xác định nên biểu thức 𝒑𝒕𝟐− 𝒒𝒕 − 𝒓 + 𝒑𝟐 có thể không là một bình phương Do đó, ta chọn số y thỏa mãn:
(𝒕𝟐+ 𝒑)𝟐+ 𝒚𝟐+ 𝟐(𝒕𝟐+ 𝒑) 𝒚 = 𝒑 𝒕𝟐− 𝒒 𝒕 − 𝒓 + 𝒑𝟐+ 𝒚𝟐+ 𝟐(𝒕𝟐+ 𝒑) 𝒚
↔ (𝒕𝟐+ 𝒑 + 𝒚)𝟐 = (𝒑 + 𝟐𝒚) 𝒕𝟐− 𝒒 𝒕 + (𝒑𝟐+ 𝒚𝟐+ 𝟐𝒑𝒚 − 𝒓)
Ta chọn y sao cho (𝒑 + 𝟐𝒚) 𝒕𝟐− 𝒒 𝒕 + (𝒑𝟐+ 𝒚𝟐+ 𝟐𝒑𝒚 − 𝒓) là một bình phương
Khi đó:
(𝒑 + 𝟐𝒚) 𝒕𝟐− 𝒒 𝒕 + (𝒑𝟐+ 𝒚𝟐+ 𝟐𝒑𝒚 − 𝒓) = (√𝒑 + 𝟐𝒚 𝒕 − √𝒑𝟐+ 𝒚𝟐+ 𝟐𝒑𝒚 − 𝒓)𝟐
↔ 𝟒 (𝒑 + 𝟐𝒚) (𝒑𝟐+ 𝒚𝟐+ 𝟐𝒑𝒚 − 𝒓) − 𝒒 = 𝟎
↔ 𝟖𝒚𝟑+ 𝟐𝟎𝒑 𝒚𝟐+ 𝟒 (𝟑𝒑𝟐− 𝒓) 𝒚 + 𝟒𝒑 (𝒑𝟐− 𝒓) − 𝒒 = 𝟎
Giải phương trình bậc 3 này, ta tìm được y, từ đó tìm được x
Dưới đây là phương pháp giải PT bậc 3:
Trang 2𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑝ℎá𝑝 𝑔𝑖ả𝑖 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑏ậ𝑐 3 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑞𝑢á𝑡: 𝑥3 + 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Phương pháp 1: Hệ số bất định
Đưa phương trình ban đầu về dạng:
(𝑥 + 𝑚)3 = 2 (𝑥 + 𝑛)3
Ví dụ:
𝑥3 − 6𝑥 − 6 = 0
↔ (𝑥 + 2)3 = 2 (𝑥 + 1)3
↔ 𝑥 + 2 = √23 (𝑥 + 1)
↔ 𝑥 = 2 − √23
√2
3
− 1
Lưu ý: Phương pháp này chỉ giải được phương trình bậc 3 có nghiệm duy nhất m, n là là các số thực
Phương pháp 2: Lượng giác hóa
Xét phương trình: 𝒙𝟑+ 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 (1)
Đặ𝑡 𝑥 = 𝑦 −𝑎
3, 𝑡𝑎 đượ𝑐:
𝒚𝟑+ 𝒑𝒚 + 𝒒 = 𝟎(∗)
Trong đó:
𝑝 = 𝑏 −𝑎
2
3 ; ; 𝑞 = 𝑐 +
2𝑎3 − 9𝑎𝑏 27 Đặt 𝑦 = 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑡 và tìm u để đưa (*) về dạng:
4𝑐𝑜𝑠3𝑡 − 3𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑐𝑜𝑠3𝑡 = 0
𝑀𝑢ố𝑛 𝑣ậ𝑦, 𝑡𝑎 𝑐ℎọ𝑛 𝑢 = 2√−𝑝
3 𝑣à 𝑐ℎ𝑖𝑎 ℎ𝑎𝑖 𝑣ế 𝑐ủ𝑎 (∗) 𝑐ℎ𝑜
𝑢3
4 để đượ𝑐:
4𝑐𝑜𝑠3𝑡 − 3𝑐𝑜𝑠𝑡 −3𝑞
2𝑝 √
−3
𝑝 ↔ 𝑐𝑜𝑠3𝑡 =
3𝑞 2𝑝 √
−3 𝑝 Nếu 𝑝 < 0 → 𝑔𝑖ả𝑖 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑔𝑖á𝑐 𝑛ℎư 𝑏ì𝑛ℎ 𝑡ℎườ𝑛𝑔
Nếu 𝑝 > 0 → 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑝ℎứ𝑐
Trang 3𝑽𝑫: 𝒙𝟑− 𝒙𝟐− 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ( bạn đọc tự giải )
Phương pháp 3: Đặt ẩn bằng hàm Hyperbolic
Đặ𝑡 𝑥 = 𝑘 (𝑡 ±1
𝑡) 𝑟ồ𝑖 𝑠𝑎𝑢 đó 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑙ạ𝑖 để 𝑡ì𝑚 𝑟𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑡𝑟ù𝑛𝑔 𝑝ℎươ𝑛𝑔
𝒚𝟑+ 𝒑𝒚 + 𝒒 = 𝟎(∗)
𝑁ế𝑢 𝑝 < 0 𝑡ℎì đặ𝑡 𝑦 = 𝑘 (𝑡 +1
𝑡) 𝑁ế𝑢 𝑝 > 0 𝑡ℎì đặ𝑡 𝑦 = 𝑘 (𝑡 −1
𝑡)
𝑉í 𝑑ụ: 𝑥3+ 2𝑥 − 2
3√3= 0 ( 𝑻𝒓í𝒄𝒉 𝒕𝒓𝒐𝒏𝒈 410 bài hệ ) Đặt 𝑥 = 𝑘 (𝑡 −1
𝑡) Thay vào phương trình , ta được:
𝑘3 𝑡3− 3𝑘3 𝑡 +3𝑘
3
𝑡 −
𝑘3
𝑡3 + 2𝑘 (𝑡 −1
𝑡) = 0
Giờ ta tìm k sao cho đưa được về dạng trùng phương Tức là phải làm mất phần t và 1
𝑡 Vậy ta được:
3𝑘3 = 2𝑘 ↔ 𝑘 = √2
3
Đặ𝑡 𝑦 = √2
3 (𝑡 −
1
𝑡) , 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ, 𝑡𝑎 đượ𝑐:
2
3 √
2
3 (𝑡 −
1
𝑡)
3 + 2 √2
3(𝑡 −
1
𝑡) −
2 3√3↔ √2 (𝑡
3− 1
𝑡3) = 1 ↔ [
𝑡3 = √2
𝑡3 = − 1
√2
↔ [
𝑡 = √26
𝑡 = − 1
√2 6
Từ đó tìm dược x Đáp số xin dành cho bạn đọc tự tính
Phương pháp 4: Phương pháp Cardano
Xét phương trình :
𝒚𝟑+ 𝒑𝒚 + 𝒒 = 𝟎(∗)
Đặt 𝑦 = 𝑢 + 𝑣 Thay vào (*), ta được:
(𝑢 + 𝑣)3+ 𝑝(𝑢 + 𝑣) + 𝑞 = 0 ↔ 𝑢3+ 𝑣3 + (3𝑢𝑣 + 𝑝) (𝑢 + 𝑣) + 𝑞 = 0 (1)
Trang 4Chọn u, v sao cho 3𝑢𝑣 + 𝑝 = 0(2)
Như vậy, để tìm u,v, từ (1) và (2), ta có hệ:
{
𝑢3+ 𝑣3 = −𝑞
𝑢3 𝑣3 = −𝑝
3 27 Theo định lý Vi-et, 𝑢3, 𝑣3 là nghiệm của phương trình:
𝑋2+ 𝑞𝑋 −𝑝
3
27= 0
Từ đó, ta tìm được u, v,
→ 𝒚 = 𝒖 + 𝒗
Lưu ý:
Phương trình: 𝒚𝟑+ 𝒑𝒚 + 𝒒 = 𝟎 là phương trình hệ quả của phương trình
𝒙𝟑+ 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 qua cách đặt 𝑥 = 𝑦 −𝑎
3