Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2.. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm x1,x2.. Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Trang 1Tổng hợp các bài tập về phơng trình bậc hai.
I. Lí thuyết cơ bản:
Dạng 1: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:
Xét phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (1) ( a # 0 )
Tính : ∆ =b2 −4a.c hoặc: ∆ ' =b' 2 −a.c
- Nếu: ∆ > 0 hoặc ∆ ' > 0 Pt (1) có hai nghiệm phân biệt
a
b x
2
1
∆ +
−
=
a
b x
2
2
∆
−
−
a
b
x1 = − '+ ∆'
a
b
x2 = − '− ∆'
- Nếu: ∆ = 0 hoặc ∆ ' = 0 Pt (1) có nghiệm kép:
a
b x
x
2
2
1 = = − hoặc
a
b x
x1 = 2 = − '
- Nếu: ∆ < 0 hoặc ∆ ' < 0 Pt (1) vô nghiệm
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình có nghiệm:
- Hoặc : a = 0, b # 0
- Hoặc: a # 0, ∆ ≥ 0 (∆ ' ≥ 0)
Dạng 3: Tìm điều kiện của m để Pt (1) có hai nghiệm phân biệt:
>
∆
≠
0
0
a
Dạng 4: Tìm điều kiện của m để Pt (1) có một nghiệm:
≠
=
0
0
b
a
hoặc ∆ = (∆ = )
≠
0 ' 0
0
a
Dạng 5:
a Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu: ( )
>
≥
∆
≥
∆
0
0 ' 0
P
b Điều kiện có hai nghiệm dơng:
>
−
=
>
=
≥
∆
≥
∆
0 0
0 ' 0
a
b S a
c P
c Điều kiện có hai nghiệm âm:
<
>
≥
∆
≥
∆
0 0
0 ' 0
S P
d Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < 0 hoặc a, c trái dấu
e Tìm điều kiện để Pt (1) có nghiệm x= x1 Tìm nghiệm còn lại
- Thay x= x1 vào Pt (1) ta đợc: 2 1 0
1 +bx +c=
- Thay giá trị của m vào Pt (1) tìm đợc x1, x2
- Hoặc tính x2 =S−x1, hoặc:
1 2
x
P
x =
* Hệ thức Vi-et và ứng dụng
Trang 2- Định lí thuận: Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 (1) ( a # 0 )
Có hai nghiệm x1, x2 thì: x1+x2= -
a
b và x1.x2 =
-a c
- Định lí đảo: Nếu có hai số x, y thoả mãn:
=
= +
P y x
S y x
.
Thì x, y là nghiệm của phơng trình: X2-SX+P=0 (*)
Điều kiện tồn tại x, y là: ∆ =S2 −4P≥0
Giả sử (*) có hai nghiệm X1, X2 suy ra:
=
=
2
1
X y
X x
hoặc
=
=
2
2
X y
X x
Dạng 5: Phơng trình trùng phơng: ax4+bx2+c=0 (@)
Phơng pháp giải: Đặt x2= t ≥ 0 đa về tìm nghiệm không âm của phơng trình: at2+bt+c=0 ($)
Phơng trình (@) có nghiệm khi và chỉ khi Pt ($) có nghiệm không âm G/s phơng trình ($) có nghiệm thoả mãn điều kiện t ≥0 khi đó:
- Với t = t1 ⇔ x2= t1 ⇒ x1 = − t1 ; x2 = t1
- Với t = t2 ⇔ x2= t2 ⇒ x3 = − t2;x4 = t2
II. Bài tập cơ bản
trị của biểu thức sau: A = ( 2x1 - 1)(2x2 - 1) trong đó x1,x2 là hai nghiệm của phơng trình
a Giải phơng trình với m = 1
b Xác định m để phơng trình có nghiệm duy nhất
c Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn hệ thức:
(x1+1)( x2+1)=3
a Giải phơng trình với m = 3
b Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2
c Tìm giá trị của m sao cho: 1 2
19 3
x x
x + x =
a Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm x1,x2
b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 10x1 x2 + 2 2
x +x
a Giải phơng trình với m = 3
b Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 3 Tìm nghiệm còn lại
c Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Trang 3a Giải phơng trình với m = 2
b Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm x1,x2
c Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn hệ thức: 3
1
x x2 - 2(
1
x +
2
x ) + 7=0
a Chứng tỏ rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b Xác định m để phơng trình có 2 nghiêm x1,x2 thoả mãn hệ thức:
3(x1 + x2) -x1 x2 ≥5
a Giải phơng trình với m = 2
b Định m để phơng trình có 2 nghiệm
c Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn hệ thức:
x +x = −
a Với giá trị nào của m thì phơng trình có hainghiệm x1,x2 thoả mãn
2 2
x +x = 34
b Với giá trị vừa tìm đợc của m, không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức: A = 1 2
x x
x + x
a Chứng tỏ rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn hệ thức:
x +x - 40 =0
Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của phơng trình Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A = 1 2
x x
x + x Và B = 3 3
x +x
a Chứng tỏ rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b Định m để 2 nghiệm của m thoả mãn hệ thức
(3x1- 1)(3x2-1) - 1 =0
a Giải phơng trình với m = -15
b Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 1, tìm nghiệm còn lại
a giải và biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
b Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn hệ thức:
x x
x + x = 2; 2x1+ 3x2= -5
Trang 4c Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x1,x2 để biểu thức
A = 12 - 10x1 x2- ( 2 2
x +x ) đạt giá trị lớn nhất
a Giải phơng trình với m = 5/2
b Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm
a Giải phơng trình với m = 1
b Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn: 2 2
x +x = 12
Bài 17: Cho phơng trình x2 - ( m + n ) x - ( m2 + n2 ) = 0
a Giải phơng trình với m = n = 1
b CMR với mọi giá trị của m, n phơng trình luôn có nghiệm
c Tìm m,n để phơng trình tơng đơng với phơng trình
x2 - x - 5 = 0
a CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phơng trình Hãy lập một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1,x2 mà không phụ thuộc vào m
c Tìm các giá trị của m để : A = 2 2
x +x đạt giá trị nhỏ nhất
a Giải phơng trình với m = 1
b Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1,x2 khi đó hãy tìm m để nghiệm này gấp đôi nghiệm kia (x1 = 2x2)
a Với giá trị nào của m thì phơng trình là phơng trình bậc hai
b Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
a CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm m để giá trị biểu thức
x x +x x đạt giá trị nhỏ nhất.
c Tìm m để phơng trình trên và phơng trình
x2 + (m - 5 )x +7 m + 6 = 0 có nghiệm chung
a Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm
b Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm m để phơng trình có nghiêm thoả mãn:
x x
x + x = -10
3
x +x + 4x1 x2= 10
a CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm phân biệt với mọi m
b Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 4 2 3+ Tìm nghịêm còn lại
Trang 5Bài 24: Cho phơng trình : x2 - 2x + m2 = 0
a Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm
b CMR phơng trình đã cho không thể có hai nghiệm âm
c Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm x1,x2 thoả mãn:
1
x - 2x2 = -5
a Giải phơng trình với m = 1
b Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm x1 = - 2
c Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm x1,x2 thoả mãn: 2 2
x +x = 13
a Tìm m để phơng trình có nghiệm bằng -1 Tìm nghiệm còn lại
b Giải phơng trình với m = -6
c Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
D Với giá trị của m tìm đợc ở câu c, hãy viết một hệ thức giữa x1,x2 độc lập với m
a CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm x1,x2 thoả mãn:
1 < x1 < x2 < 6
c Xác định m để 2 2
x +x đạt giá trị nhỏ nhất
a CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m # 1
b Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm x1,x2 thoả mãn:
1
x x2 = 5
Từ đó hãy tính : 2 2
x +x
c Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm x1,x2 không phụ thuộc vào m
d Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm x1,x2 thoả mãn:
x x
x + x + 5
2 = 0
a Giải phơng trình với m = 1
b Tìm m để phơng trình có nghiệm
c Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phơng trình tính : 2 2
x +x theo m
d Tìm m sao cho 2 2
x +x = 12
a CMR phơng trình có hai nghiệm trái dấu với mọi m
b CMR nghiệm của phơng trình trên là nghịch đảo nghiệm của phơng trình:
m2x2 + 10x - 1 = 0 ( m # 0 )
c Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm x1,x2 thoả mãn
6x1 + x2 = 5
Trang 6Bµi 31: Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2mx +2m -1 = 0
a Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 1
b Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m
c §Æt A = 2( 2 2
x +x ) - 5x1.x2
- Chøng minh: A = 8m2 – 18m + 9 =0
- T×m m sao cho A = 27
- T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x1= 2x2
Bµi 32: Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2( k-2)x – 2k – 5 =0
a CMR: Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi k
b Gäi x1,x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh T×m gi¸ trÞ cña k sao cho:
x +x =18