Một số phương pháp hay giải phương trình bậc 3

Đặng Ngọc Thanh, SĐT:01634011197,thanhdangngoc95@gmail.com Một số phương pháp hay giải phương trình bậc 3 +khi giải các phương trình hay hệ phương trình đôi lúc ta đưa về một phương trìn

Đặng Ngọc Thanh, SĐT:01634011197,(thanhdangngoc95@gmail.com)

Một số phương pháp hay giải phương trình bậc 3

+khi giải các phương trình hay hệ phương trình đôi lúc ta đưa về một phương trình bậc 3 mà ta không biết giải quyết như thế nào sau đây mình xin trình bày một vài cách giúp các ban “gỡ rối” khi gặp

I)phương trình có dạng x3 px  q  0(*)

+Ta chỉ xét p,q0 vì nếu một trong 2 phần tử đó có 1 phần tử bằng 0 thì đưa về trường hợp đơn giản +Khi đó: Đặt x  u  v thay vào (*) ta được:

0 )

)(

3 ( 0

) (

)

( u  v 3  p u  v  q   u3  v3  uv  p u  v  q 

+ta chọn 3 uv  p  0  u3  v3  q  0 sau đó giải hệ sau sẽ ra được u và v:





















27

3

3

3

3

3

p

v

u

q

v

u

(chú ý: đây là tổng tích nên dựa vào Vi-et)

+Ví dụ áp dụng:

Giải phương trình : x3  x2 20(*)

Ta chỉ cần áp dụng công thức đã chứng minh trên thì:

















27

8

2

3

3

3

3

v

u

v

u

























9

9 57 9

9 57

3 3

v

u

























3 3

9

9 57 9

9 57

v u

Vậy x  u  v 3

9

9

57 

+3

9

9

57 



là nghiệm của (*)

*Một câu hỏi đặt ra là nếu như không có dạng x3 px  q  0 có giải được không?

Câu trả lời là được ,bằng cách ta biến đổi phương trình đó về dạng này và áp dụng

Ví dụ : phương trình dạng: x3  ax2  bx  c  0 (*' )

+ta biến đổi (*’) về (*) bằng cách Đặt:

3

a t

x  khi đó :

(*’) t3  pt  q  0 với























27

9 2

3 3

ab a

c q

a b p

+Ví dụ áp dụng:

Giải phương trình : 3 6 2 6 10 0







Đặt x=t+2 :Áp dụng công thức ta tính được:











 6

6

q

p

khi đó phương trình trở thành:

0

6

6

3





 t

t tới đây áp dụng tiếp công thức phần đầu đã chứng minh ta thu được:



















3

3

4

2

v

4 2 2 4

2      



*chú ý: nếu hệ số 3

x không bang 1 mà bằng 1 số gì đó thì ta chia phương trình đó cho chính số đó để đưa về dạng quen thuộc này

II) dạng đặc biệt của phần I) có dạng :ax3  3 ax  b  0 ; ( a  0 )

+ ta cần chứng minh được phương trình này có nghiệm thuộc tập K với K là tập con của   2 ; 2  (có thể dung công cụ đạo hàm để chứng minh)

+Khi đó: Đặt x=2cost; t   0 ;   phương trình trở thành:

a

b t b

t t

a b

t a

t

a

2 3 cos 0

) cos 3 cos 4 ( 2 0 cos

6

cos

Ví dụ áp dụng: giải phương trình sau: x3  x 3  1  0 (*)

+Bạn đọc tự chứng minh nghiệm thuộc K

+Đặt x=2cost; t   0 ;   ta có:

2

1 3 cos 0

1 ) cos

3

cos

4

(































2 3

2

3

2 3

2

3

k t

k t

=>























3

2 9 2 3

2 9 2









k t

k t

Do t   0 ;   nên

























9 4 9 8 9 2







t t t

Vậy

























9

4

cos

9

8

cos

9

2

cos







x

x

x

*Sauk hi học xong bài này chắc chắn các bạn đã tự tin khi đối mặt với phương trình bậc 3 mà không cần phải tránh biến đổi thành nó khi giải phương trình vô tỷ hay hệ phương trình

Biên soạn : Đặng Ngọc Thanh