Phương pháp giải phương trình bậc 3 có đúng 1 nghiệm bằng Cadarno • Tiểu sử: Phương trình bậc ba được đề cập lần đầu tiên bởi nhà toán học Ấn Độ cổ Jaina khoảng giữa năm 400 TCN và 20
Trang 1Phương pháp giải phương trình bậc 3 (có đúng 1 nghiệm) bằng Cadarno
• Tiểu sử:
Phương trình bậc ba được đề cập lần đầu tiên bởi nhà toán
học Ấn Độ cổ Jaina khoảng giữa năm 400 TCN và 200 CN
Nhà toán học Ba-tư Omar Khayyám (1048–1123) đã công bố việc giải phương trình bậc ba nhờ giao của một thiết diện co-nic với đường tròn Ông công bố rằng lời y có thể dùng để cho các lời giải số nhờ các bảng lượng giác
Sau này vào thế kỷ 16, nhà toán học người Ý Scipione del Ferro (1465-1526) tìm ra cách giải một lớp các phương trình bậc ba
dạng x3
+ mx = n với m và n đều lớn hơn 0.[1]Thực ra, mọi phương trình bậc ba có thể đưa về dạng này Tuy nhiên có thể dẫn đến căn bậc hai của những số âm, điều đó lúc này chưa giải quyết được Del Ferro giữ kín điều này cho đến trước khi ông chết mới nói cho học trò ông là sinh viên Antonio Fiore về nó
Vào 1530, Niccolo Tartaglia (1500-1557) tiếp nhận hai bài toán trong phương trình bậc ba từ Zuanne da Coi và công bố ông đã giải được chúng Ông nhận lời thách thức của Fiore, và từ đó dấy lên cuộc cãi vã giữa hai người Mỗi người hàng ngày đặt một số tiền và đưa ra một số bài toán cho đối thủ giải Ai giải được nhiều bài toán hơn trong 30 ngày thì nhận tất cả số tiền
Tartaglia khi giải quyết các vấn đề trong dạng x3
+ mx = n, đã
đề xuất một phương pháp tổng quát hơn Fiore giải quyết các vấn đề
trong dạng x3
+ mx2 = n, khó hơn và Tartaglia đã thắng cuộc
Sau này, Tartaglia được Gerolamo Cardano (1501-1576) thuyết phục tiết lộ bí mật của cách giải phương trình bậc ba Tartaglia đã đặt điều kiện yêu cầu Cardano không tiết lộ nó Ít năm sau, Cardano hiểu được công trình của Ferro và vi phạm lời hứa khi công bố phương pháp
Tartaglia trong cuốn sách của ông nhan đề Ars Magna (1545) với lời ca
ngợi dành cho Tartaglia
Trang 2Qua đoạn tiểu sử chắc hẳn chắc bạn cũng phần nào hiểu được nguồn gốc ra đời của phương trình bậc 3 Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp giải phương trình bậc 3
**Dạng tổng quát của phương trình bậc 3:
0
x ax bx c (1)
Các bạn cứ theo dõi qua từng bước của phương pháp ở phần cuối phương pháp mình sẽ giải thích vì sao người ta làm như vậy
Cách giải tổng quát:
Đặt
3
a
x t (&)
(1)
3
Bạn có thấy điều gì đặc biệt không? Vì sao người ta lại đặt 3
a
x t ? Dễ dàng nhận ra phương trình bị mất đi 2
t Vậy mục đích
để làm mất đi 2
t là gì ?
Chắc hẳn những bạn học Toán dùng hằng đẳng thức lớp 8 còn nhớ t3 y3 z3 3 tyz (t y z )(t2 y2 z2 ty yz zt ).Sau
đây là các bước tiếp theo của phương pháp
Ta có 1 vài biến đổi :
(2)
Trang 3Đặt
3
27
(2) t y z 3 tyz 0
Như vậy ta đã biến đổi được về dạng chuẩn của bất đẳng thức trên
Vì:
t y z tyz y z y z ty yz zt
Nên
(t y z)(t y z ty yz zt) 0
t y z
Mình không giải phương trình q2 y2 z2 qy yz zq 0 vì
như tiêu đề ( phương trình bậc 3 có 1 nghiệm nên phương trình đó chắc chắn vô nghiệm, các bạn có thể giải sau khi tìm được y,z)
Như vậy như ta đã có được mối liên hệ giữa t=-y-z Vậy để tìm được t thì ta phải tìm y và z
Chúng ta hãy nhìn lại cách đặt này đã có tổng của
3
y + z3=
3
2 9 27
và có tích
3 3
tổng và tích nó làm chứng nhớ đến định lý vi-et
X SX P S y z P y z
từ phương trình này dễ dàng tìm được
3
y và z3, từ đó => được y và z
Để các bạn có thể nắm vững phương pháp chúng ta hãy sang các ví dụ!
Trang 4Giải phương trình:
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
Giải
3
3; 9; 2 : x t 1(1)
3 ( 1) 3(t 1) 9( 1) 2 0
3 3 1 3 6 3 9 11 0
6 9 0(*)
a
Ta đã làm mất đi 2
t như phương pháp ở trên vì vậy bước tiếp theo là đi đặt ẩn và ta có cách làm như sau:
3 3
3 3
3 3 2
; :
2
Thay(**) vao(2)
Dat b c
b c bct
t b c t b c bt ct bc
bc b c
b c la nghiem cua pt
x x
x
t
t b c bt ct bc
0( )
1
vn Theo x t
x
Trang 53 2
3
3
3 3
1 :
2
0
2
b x x x
Dat x t
t t
t t
b la nghiem cua pt
x
1
t
x
Còn 3 ví dụ còn lại là bài tập tự luyện dành cho các bạn!
Trang 6Cách giải tổng quát phương trình bậc 4
Sau khi kết thúc cách giải tổng quát cho phương trình bậc 3 ta hãy cùng đến cách giải tổng quát cho phương trình bậc 4 Các bạn hãy nhớ là chỉ học được cách giải phương trình bậc 4 khi ta biết giải tổng quát phương trình bậc 3
Mục đích của các bước dưới đâu nhằm để tạo ra
( ) ( )
( Ax ) ( Bx )
4 3 2
2
2
0 ( 0)
a
a
Để tìm y với y là 1 số sao cho ta sẽ đưa phương ta cần lập delta của trình về dạng ( A( )x )2 ( B( )x )2
2
( b 2 y) ( 2 b )
sau đó giải theo phương trình bậc 3 đã có cách giải như trên
B) Ví dụ minh họạ
4 3 2
( 4 ) 2 9 7 ( 4 4) 2 9 7 ( 2) 2 9 7 ( 2) 2 ( 2) y y 2 9 7 2 ( 2) y y ( 2 ) 2 ( 1) (4 9) 7
: 2 ( 1) (4 9) 7 (4 y
a x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x y x y x y y Lap delta x y x y y
2 2
3 2
9) 8( 7)( 1) 0
8 y 8 16 25 0
y y
y y
Các bạn tự giải tiếp nhé, mình đã chỉ phương trình bậc 3 rồi, nếu delta nó ra xấp xỉ thì các bạn dùng công thức delta rồi cho vào căn
Trang 7Ví dụ 2:
2 2
2
4 7 6 3 0 ( 4 4) 3 6 3 ( 2) 2 ( 2) 3 6 3 2 ( 2) ( 2 ) (2 3) 2 (3 2 ) 3(1) _(2 3) 2 (3 2 ) 3
(2 3) ( 3)(2 3) (2 3)(2 3 3)
x x x x
x x x x y y x x x x y y
x x y y x x y y delta of y x x y y
( ) ( )
0 3
; 0; y 2 2
Chon : y 2; (1) ( 2 2) 2 1
( 2 2) ( 1) (( ) ( ) ) ( 3 3)( 1) 0( )
y y
Mục đích của mình giới thiệu ví dụ này là đối với 1 số bạn không biết cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm bằng đạo hàm hay các phương pháp khác thì các bạn cũng có thể sử dụng cách này của mình, từ 1 phương trình bậc 4 ta quy về tích của 2 phương bậc 2, và dễ dàng chứng minh nó vô nghiệm
Ví dụ 3: ( Ở bài tập này cách bạn sẽ phải nhóm sao cho về dạng)
(a x b x c) (a x b x c )
16 x 36 x 22 x 4 x 39 0
Ví dụ 4:
2
3x 8x 3 4x x 1
(4)
Ta nhận ra ở phương trình bày việc đặt ẩn, hàm số, liên hợp ,…
là không khả thi Sau khi nháp mình nhận thấy phương trình này có 4 nghiệm, 2 nghiệm bị loại do điều kiện x(3x2 8x 3) 0 Vậy các bạn có thể dùng bình phương có thể giải quyết nhanh gọn thông qua phương pháp đã được giới thiệu
Trang 84 3 2
(4) 9 64 30 48 9 0
1024 754
_( 6 ) 2 (24 )
2 2
9
(24 ) ( 9)( 6 ) 0
5
(5) (3 5) ( 30) 2 (24 ) 25 9
( 6 3)(9 10 3) 0
3 2 3
5 2 13 9
y
x x
Vì giải theo phương trình hệ quả nên ta phải thế lại nghiệm và
có 2 nghiệm thỏa mãn:
3 2 3
5 2 13 9
x
x
Bài tập tự luyện:
a x x x x
Tài liệu này được tham khảo từ wiki
Made by Bùi Minh Nguyên
-*** -