giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

+ Thông thường ta sẽ quan sát 1 phương trình của hệ có dạng xem nó có dạng fu=fv hay không?. - nếu phương trình có các biến dạng bậc 3 ta có thể sử dụng phương pháp điêm uốn, hoặc phương

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Cơ sở phương pháp Nếu f x( ) đơn điệu trên khoảng ( ; )a b và u v, ( ; )a b thì : f u( ) f v( ) u v

Phương pháp:

Mấu chốt của PP này đó là xác định được hàm đặc trưng f(t) và chứng minh nó đơn điệu trên khoảng xác định

+ Thông thường ta sẽ quan sát 1 phương trình của hệ có dạng xem nó có dạng f(u)=f(v) hay không?

- nếu phương trình có các biến dạng bậc 3 ta có thể sử dụng phương pháp điêm uốn, hoặc phương pháp hệ số

bất định

- nếu không có dạng hàm bậc 3 thì thường đặt ẩn phụ tạm các biểu thức chứa căn, hoặc các biểu thức xuất hiện nhiều lần từ đó sẽ dễ quan sát phát hiện ra hàm đặc trưng f

Chú ý hàm ta xét f trên tập D1 D2 trong đó D D1, 2 lần lượt là miền xác định của biến u, v

+ Khi không có phương trình nào của hệ có dạng hàm đặc trưng thì ta nghĩ tới việc kết hợp 2 phương trình lại với

nhau bằng các phép biến đổi thường để đưa về dạng f(u)=f(v) hoặc f(t)=0 với f là một hàm số đơn điệu

Bài 1: Giải hệ phương trình:  2   

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

GIÁO VIÊN: NGUYỄN BÁ TUẤN

Tài liệu dành cho học sinh lớp 12

Mặt khác: 1 1

0

g      x

  là nghiệm duy nhấy , thay vào (4) tìm được y=2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất :   1

       Phương trình vô nghiệm

Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)=  3;3 ,    3;3

Cách 2: dùng hàm số

- Phương trình (1) khi x=0 và y=0 không là nghiệm ( do không thỏa mãn (2) )

- Chia 2 vế phương trình (1) cho 3   3 3

Bài 3: Giải hệ phương trình sau :  2 2

Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f(x)=f(-y) chỉ xảy ra x=-y (*)

- Thay vào phương trình (2) :

Hàm số nghịch biến và f(0)= -49<0 chứng tỏ f(t)<0 với mọi t    0; 7   Phương trình vô nghiệm

Bài 5: Giải hệ phương trình sau:

Bài 6: Giải hệ phương trình:

Vậy hệ đã cho vô nghiệm

Bài 7: Giải hệ phương trình: 3 2 2  

x y x

x y x

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm trên

Bài 10 Giải hệ phương trình:

Bài 12 Giải hệ phương trình

2 2

2 2

=>x  5 là nghiệm duy nhất của (**) => y =1 vậy nghiệm của hệ (5; 1)

Bài 14 Giải hệ phương trình

3 3

Bài 20 (Thi Thử Gia Lai) Giải hệ phương trình

Thay vào (2) có nghiệm x   2; 6 vậy hệ có nghiệm (2;2); ( 6; 6)  

Bài 21 (HSG tỉnh Hải Dương 2012)

TH1 : Xét y  0 thay vào hệ thây không thỏa mãn

TH2 : Xét y  0, chia 2 vế của (1) cho y5 ta được ( ) x 5 x y5 y (3)

Bài 26 Giải hệ phương trình sau :  

()

Bài 2 Giải hệ phương trình:

Thử lại ta thấy x1,y 1 là nghiệm của hệ

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm là:    x y ;  1; 1  

Bài 3 Giải hệ phương trình:

Nếu: 0              y 1 y 1 0 x y 0 0 x y 1 y3 6 x y2  7 (mâu thuẫn với (2))

Nếu: y            1 y 1 0 x y 0 x y 1 y3 6 x y2  7 (mâu thuẫn với (2))

Nên y1 thay vào (2) ta suy ra x  1

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm là:     x y ;  1;1

Bài 4 Giải hệ phương trình:

1

11

y

y y



       Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm là:      x y ;  1;1 , 1; 1  

Bài 5 Giải hệ phương trình:

Đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi: x y

Thay x y vào (2) ta được:

(5) 1 cos sin 1 2 cos

2 cos 2 sin cos 1 2 1 2 sin 0; cos 0

23sin 4 sin

3sin sin

k k t

2 1 2

t

x x t

Bài 6 Giải hệ phương trình:   

    

2 4

81 32

x x

Thay vào (2) ta được:

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Bài 7 Giải hệ phương trình: 2  2  

3 2

 

3 3

Từ (3) và (4) suy ra:

 

2 2 2

1

23

x y

Bài 9 Giải hệ phương trình:  

Ta có: f t '( )  3 t2    4 t 2 0 t Suy ra f t( ) đồng biến trên R

Hệ đã cho tương đương với hệ: ( ) 2

Lại suy ra yx, mâu thuẫn Vậy hệ không có nghiệm x y

Nếu x y, tương tự như trên, cũng loại được trường hợp này

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất    x y ;  1; 1  

Bài 11 Giải hệ phương trình:

Bài 12 Giải hệ phương trình:

Bài 14 Giải hệ phương trình:  

Chú ý:  2 2  2

4 x y1   2 1 1 xy thì đẳng thức (3) xảy ra

 được nghiệm của hệ phương trình (1; 1)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:   1;1

Bài 15 Giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  1; 3  

Bài 16 Giải hệ phương trình:

ïïî

Dấu "= "xảy ra khi: x = 16; y = 3

Bài 19 Giải hệ phương trình:

4

3

(1) 8

y x

íï =ï

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUY N

 Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng

 Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực

 Học mọi lúc, mọi nơi

 Tiết kiệm thời gian đi lại

 Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN

 Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất

 Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam

 Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên

 Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn

bộ kiến thức cơ bản theo

chương trình sách giáo khoa

(lớp 10, 11, 12) Tập trung

vào một số kiến thức trọng

tâm của kì thi THPT quốc gia

Là các khóa học trang bị toàn diện kiến thức theo cấu trúc của

kì thi THPT quốc gia Phù hợp với học sinh cần ôn luyện bài

bản

Là các khóa học tập trung vào rèn phương pháp, luyện kỹ năng trước kì thi THPT quốc gia cho các học sinh đã trải qua quá trình ôn luyện tổng

thể

Là nhóm các khóa học tổng

ôn nhằm tối ưu điểm số dựa trên học lực tại thời điểm trước kì thi THPT quốc gia

1, 2 tháng