phương pháp hàm số giải phương trình

Lớp A945học sinh Số lượng Phần trămKhông giải được 8 18% Giải sai phương pháp 32 71% Giải đúng phương trình 5 11% Nhằm giúp học sinh nắm chắc kiến thức về đạo hàm,có kỹ năng tốt phần ứn

Lớp A9(45học sinh) Số lượng Phần trăm

Không giải được 8 18%

Giải sai phương pháp 32 71%

Giải đúng phương trình 5 11%

Nhằm giúp học sinh nắm chắc kiến thức về đạo hàm,có kỹ năng tốt phần ứng dụng của đạo hàm trong giải phương trình tôi chọn đề tài “Ứng dụng của đạo hàm để tìm nghiệm của phương trình”

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đánh quá trình vận dụng đạo hàm trong giải phương trình,phương trình chứa

tham số (toán 10-11-12) của học sinh lớp 12 để có lời giải hoàn chỉnh và chính xác

4 Đối tượng nghiên cứu:

Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, phương trình chứa tham số có vận dụng đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong chương trình toán THPT

5 Phương pháp nghiên cứu:

-Phân tích-diễn giải-tổng hợp

-Phương pháp nghiên cứu tài liệu

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lý thuyết

1.Tính đơn điệu của hàm số

a Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số

- Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2 thuộc D,

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

- Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2 thuộc D,

x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

b Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến

- Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì tổng f(x) + g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D Tính chất này nói chung không đúng với hiệu f(x) - g(x)

- Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số dương, cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

D thì tích f(x)g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D Tính chất này nói chung không đúng với tích f(x)g(x) khi f(x) và g(x) là hai hàm số không cùng dương trên D

c Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số dựa trên định lí sau

- Quy tắc: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên D(Kí hiệu D là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

Nếu f x ' ( ) ≥ ∀ ∈ 0, x Dthì hàm số f x( ) đồng biến (tăng) trên D

Nếu f x ' ( ) ≤ ∀ ∈ 0, x Dthì hàm số f x( ) nghịch biến (giảm) trên D

(Dấu “=” chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên D)

2 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D

Nếu f x( ) ≥m , ∀ ∈x D (hay f x( ) ≤M , ∀ ∈x D) nhưng không ∃ ∈x0 D f x: ( )0 =m

(∃ ∈x0 D f x: ( )0 =M)thì dấu "=" không xảy ra Khi đó, không tồn tại giá trị nhỏ

nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D

-Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số

* Từ việc lập BBT của hàm số ( )f x trên tập xác định của nó ta sẽ tìm thấy

những điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó chính là GTLN ( GTNN ) của hàm số

* Nếu hàm số ( )f x xác định và liên tục trên đoạn [ ]a b thì ta có thể tìm GTLN ;

và GTNN theo các bước sau :

- Tìm các điểm x x1, , ,2 xn trên đoạn [ ]a b mà tại đó; f x bằng 0 hoặc'( ) f x '( )không xác định

- Tính các giá trị f a f b f x( ), ( ), ( ), ( ), , ( )1 f x2 f x n

- Số lớn nhất ( bé nhất ) trong các số trên là GTLN (GTNN ) của hàm số

( )

f x trên đoạn [ ]a b ;

Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D mà chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g(t) với phép đặt t = u(x) thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương

3 Các dạng toán liên quan

3.1 Giải phương trình không chứa tham số

Từ các tính chất trên ta có 3 cách biến đổi như sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng

minh f(x) đồng biến (nghịch biến) để suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng

lập luận khẳng định f(x) đồng biến (nghịch biến) còn g(x) nghịch biến(đồng

biến) hoặc hàm hằng suy ra phương trình có nghiệm duy nhất

Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn điệu khi đó

ta có: u = v

3.2 Giải phương trình chứa tham số

Xuất phát từ bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là dựa vào đồ thị hàm số ( )

y= f x biện luận số nghiệm của phương trình f x( ) =g m( ) thì số nghiệm của phương trình f x( ) =g m( ) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f x( )với đường thẳngy g m= ( ).Ta giải các bài toán phương trình chứa tham số theo các định hướng sau:

Biến đổi các phương trình tham số m về dạng : f x( ) =g m( )với hàm sốy= f x( )

có GTLN - GTNN trên tập xác định D Khi đó: Phương trình f x( ) =g m( )có nghiệm trên D khi và chỉ khi m in (x)D f ≤g m( ) max ( )≤ D f x Trong trường hợp hàm số ( )

y= f x không có GTLN hoặc GTNN trên tập D ta phải kết hợp với BBT hoặc

1 Biện pháp thực hiện

1.1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt

- Phân tích các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của

các khái niệm, định nghĩa, định lí đó

- Đưa ra các ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí

- Cung cấp phương pháp giải phương trình bằng phương pháp hàm số cho học sinh

1.2 Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp

- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh,

- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề

- Phương pháp: phương pháp giải toán.

1 3 Đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm )

- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế

- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh

- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học :bảng phụ, phiếu học tập, giáo

án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ,hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng

1 4 Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá

- Giáo viên đánh giá học sinh

- Học sinh đánh giá học sinh.

1 5 Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Hệ thống kiến thức cơ bản.

- Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Đưa ra các bài tập vận dụng, bài tập nâng cao

- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển,tổng quát bài toán

IV.Ví dụ vận dụng

1 Giải phương trình không chứa tham số

1.1 Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k hoặc f(x) = g(x) áp dụng cách

giải 1 hoặc cách giải 2 (như đã nêu)

Ví dụ 1: Giải phương trình: x+ x− + 5 x+ + 7 x+ 16 14 =

Nhận xét: Khi gặp dạng toán phương trình chứa căn,thường ta phải khử

căn thức bằng cách bình phương, lập phương, nhân lượng liên hợp hoặc đánh giá.Trong bài này tôi xin đưa thêm cách dùng hàm số nữa:rất ngắn gọn,hay và dễ sử dụng.

Mà f(9) 14 = nênx= 9 là nghiệm duy nhất của phương trình

Cách 2:Tham khảo thêm cách dùng lượng liên hợp

Điều kiện:x≥ 5 Khi đó

Vậy x= 9 là nghiệm của phương trình

Hoặc ta đánh giá như sau:

Điều kiện: x≥ 5 Phương trình trở thành:

nghiệm duy nhât của phương trình

Nhận xét:Từ một bài toán rất phức tạp,nhưng sử dụng tính đơn điệu thì lời

giải vô cùng đơn giản.

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: a/ 4 15 + −x 4 2 − =x 1 (*)

Nghiệm của phương trình đã cho là x= 1.

Nhận xét: Đối với phương trình này,ta chỉ có thể đặt ẩn phụ đưa về hệ

phương trình để giải,còn giải trực tiếp khử căn sẽ rất khó khăn.Tuy nhiên khi đưa phương pháp hàm bài toán được giai quyết rất ngắn gọn.

Nhận xét : Quan sát vế trái của phương trình,ta thấy khi x tăng thì giá trị

của biểu thức vế trái cũng tăng.Từ đó suy ra vế trái là hàm đồng biến trên tập xác định,vế phải là hàm hằng, đây là điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu.

Ví dụ 5: Giải phương trình

(x+2 2) ( x− −1) 3 x+ = −6 4 ( x+6 2) ( x− +1) 3 x+2 Giải: Điều kiện : 1

Mà f ( )7 = 4nên x= 7là nghiệm duy nhất của phương trình.

Nhận xét: Lưu ý tính chất này chỉ áp dụng khi hai hàm dương và cùng đồng

biến hoặc nghịch biến.

1.2 Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) áp dụng cách giải 3(Cách

chọn hàm đặc trưng như đã nêu)

Nhận xét:Trong hai cách giải:Cách 1 sử dụng phương pháp đoán nghiệm và

chứng minh nghiệm duy nhất, rõ ràng cách 2 đơn giản hơn rất nhiều,tuy

nhiên đây là dạng toán khó đòi hỏi học sinh phải có tư duy và kỹ năng biến

đổi tốt mới có thể phát hiện được lời giải.Các em có thể tham khảo thêm vài

nghiệm duy nhất của phương trình hay x=-1 là nghiệm phương trình đã cho

Nhận xét: Cách 1 dùng biến đôi hệ qủa nên học sinh dễ mắc sai lầm không

thử lại nghiệm.Cách 2 dễ nhận thấy khi x tăng,vế trái tăng nên dùng

1 5 2

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 1; 1 5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x= 1

Qua các ví dụ về giải phương trình đối với những ví dụ có hai cách giải thì ta thấy cách giải dùng tính đơn điệu của hàm số hay và tự nhiên Cách giải không dùng hàm số thường biến đổi phức tạp và có bài thấy thiếu

sự tự nhiên,không có “Manh mối” để tìm lời giải Đây là dạng toán khó đối với học sinh lần đầu tiếp xúc , các em rất khó khăn trong việc sử dụng các phương pháp khác để giải Vì vậy việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy, sáng tạo, vận dụng các kiến thức cơ bản về tính đơn điệu của hàm số là một việc làm rất cần thiết Từ đó hình thành ở học sinh Tư duy linh hoạt trong giải toán, để học sinh không bối rối trước các bài toán lạ.

2 Giải phương trình chứa tham số

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + 2(m− 2)x+ 5m+ = 4 0 (1) có hai nghiệm thực phân biệt x x1 , 2thoả mãn x1 < − < 1 x2

Nhận xét :

Do trong chương trình mới không có mặt định lý đảo về dấu của tam

thức bậc hai nên việc sử dụng đinh lý này học sinh phải chứng minh.Vì vậy

Bảng biến thiên:

x -∞ -7 5

2 − -1 2 +∞

f x'( ) 0 + + + 0

+∞ +∞

f x( ) 0

9

-3

-∞ -∞

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m<-3 là giá trị cần tìm

Nhận xét :

Ngoài cách giải trên ta có thể dùng định lý Viét để giải như sau

Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 và thoả mãn(x1 + 1)(x2 + < 1) 0 hay x1+ +x2 x x1 2+ < 1 0

Qua cách giải bài toán này mở đường cho các dạng toán về câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số như:

Tìm điều kiện để hàm số y= ax 3 +bx2 + +cx d a( ≠ 0) có cực trị tại hai điểm

x 1 ,x 2 và thoả mãn x 1 <α<x 2 ,hay tìm m để hàm số y= ax 3 +bx2 + +cx d a( ≠ 0) có cực trị tại hai điểm x 1 ,x 2 và thoả mãn α<x 1 <x 2 Đây là một câu hỏi mà các thí sinh thừờng gặp trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng Qua bài toán này ta thấy được mối quan hệ giữa phương trình và đồ thị hàm số, đồng thời phát triển ở học sinh tư duy linh hoạt, biết lột bỏ cái ngụy trang của bài toán để đưa chúng về bài toán quen thuộc.

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: x2 + + −x 1 x2 − + =x 1 mcó nghiệm

Giải

f x = x + + −x x − +x trên ¡

Ta có '( ) 22 1 22 1

f x

(2 1)(2 1) 0

− + >





(Vô nghiệm)

(0) 1 0 ( ) 0

f = > ⇒ f x > nên hàm số đồng biến trên ¡

2

1

limf(x) limx

x

x

→−∞

→−∞

2

1

limf(x) limx

x

x

→+∞

→+∞

Bảng biến thiên:

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 < m < 1.

Nhận xét: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn

hàm số, rất có thể học sinh sai lầm cho rằng tập giá trị của hàm số là ¡ và dẫn đến việc kết luận sai phương trình có nghiệm với mọi m Do đó việc tìm giới hạn trong bài toán khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị.

Ví dụ 3 Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt :

92

+∞

−∞

Đặt t= 2x+ 1, bình phương hai vế đưa về phương trình bậc hai ẩn

biệt thì pt (1) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 0

Tức là

0

9 0

2 0

t = f x( ) ± g x( ) sau đó chuyển về bài toán tìm điều kiện của tham số để

phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước Tuy nhiên cách đặt

ẩn phụ đó thường phải quy về giải bằng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai Định lý này trong chương trình sách giáo khoa mới đã giảm tải

Vì vậy phương pháp hàm số là sự lựa chọn thích hợp nhất cho dạng toán này.Với bài này ta sẽ tìm hiểu cách giải đặt ẩn phụ trước rồi sau đó mới giải bằng hàm số theo ẩn phụ

Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi3 2 9 3

2 m

− ≤ ≤

Nhận xét: Việc tìm điều kiện của t như trên thực chất là việc tìm tập giá trị

của hàm số t= ( ) f x trên tập xác định của phương trình đã cho.

Với bài toán này, ta có thể tìm điều kiện của ẩn phụ t như sau:

2

t= + +x − ⇒ = +x t +x −x ≥ ⇒ ≥t Mặt khác, áp dụng bất đẳng thưc Bunhiacopxki ta được: ( )2

t = + +x −x ≤ ⇒ ≤t Do đó điều

kiện của t là 3 ≤ ≤t 3 2.Xét thêm ví dụ sau:

Ví dụ 5 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt

•Dạng tổng quát của bài toán trên là : Tìm m để phương trình sau có

nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước a ( )f x +bg x( ) +c f x g x( ) ( ) 0 =

• Đối với những bài toán dạng này ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho f(x) hoặc g(x) hoặc f x g x( ) ( ) ta sẽ đưa được về phương trình bậc hai Sau đó vận dụng hàm số vào để giải

Từ các ví dụ trên ta thấy cách dùng bất đẳng thức để tìm điều kiện ẩn phụ rất khó và phức tạp,không phải bài nào cũng làm được.Dùng đạo hàm

tìm điều kiện ẩn phụ luôn đơn giản và hầu như áp dụng được cho nhiều bài toán.Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 6 :Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau 2 2

x − x+ = +m x x−

(1) có đúng 2 nghiệm thực dương

Giải

Đặt t= x2 − 4x+ 5 Phương trình (1) trở thành t2 + − =t 5 m

Tìm điều kiện của t trên (0; +∞) Ta có ( ) 2 2 0 2

x

−

Bảng biến thiên

x 0 2 +∞

t x′( ) - 0 +

+∞

t x( ) 5

1

Nhận thấy với mỗi t∈( )1; 5 thì phương trình (1) có 2 nghiệm thực x> 0.Do đó bài toán quy về tìm m để phương trình t2 + − =t 5 m có nghiệm t∈( )1; 5 . Xét hàm số f t( ) = + −t2 t 5 trên ( )1; 5 Ta có f t′( ) = + > ∀ ∈ 2t 1 0, t ( )1; 5 nên hàm số f t( ) = + −t2 t 5đồng biến trên ( )1; 5 Bảng biến thiên: t 1 5

f t′( ) +

5

f t( ) -3

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm là: − < < 3 m 5 Ví dụ 7: Tìm tham số m để PT: cos2x mc= os 2x 1 t anx + có nghiệm 0; 4 x  π  ∈   Giải :Phương trình có dạng: 2 2 2 2 os 1 os2 os 1 t anx 1 t anx os c x c x mc x m c x − = + ⇔ = + ( 0;

4

x  π 

∈   nên cosx≠0).Phương

trình trở thành:1 tan − 2x m= 1 t anx + (*)

Đặt t= 1 t anx + ; 0; ,0 t anx 1 1 2

4

và t anx = −t2 1

Khi đó, phương trình (*) trở thành : 4 2 3

− + = ⇔ − + = (Do1≤ ≤t 2 )Phương trình đã cho có nghiệm 0;

Suy ra f t( ) = − +t3 2t là hàm số nghịch biến trên 1; 2 

Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

− − ≥ ⇔ < ≤

−

Nhận xét: Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải phương trình,học

sinh cũng hay mắc sai lầm trong việc kết luận về tổng, tích hai hàm đồng biến, nghịch biến Do đó khi vận dụng tính chất của hàm số vào giải phương trình ta cũng cần lưu ý: Khi xét trên tập D thì tích của hai hàm đồng biến (Nghịch biến )chưa chắc là hàm đồng biến (nghịch biến) chỉ có tích của hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến ) mới là hàm số đồng biến (nghịch biến) Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 10 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Suy ra f x( ) =h x g x( ) ( ) đồng biến trên 0 ≤ ≤x 2012

Vì vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (0) (2012) 12( 2013 2012) 2012 2012 2024

C KẾT LUẬN